BOOLEAN ALGEBRA: KASAYSAYAN, THEOREMS AT POSTULATE, HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang Boolean algebra o Boolean algebra ay algebraic na notasyon na ginagamit para sa paggamot ng mga variable na variable. Saklaw nito ang mga pag-aaral ng anumang variable na mayroon lamang 2 posibleng mga kinalabasan, pantulong at kapwa eksklusibo. Halimbawa, ang mga variable na ang tanging posibilidad ay totoo o mali, tama o hindi tama, sa o off ay ang batayan ng pag-aaral ng Boolean algebra.

Ang Boolean algebra ay bumubuo ng batayan ng digital electronics, na ginagawang ngayon sa ngayon. Ito ay pinamamahalaan ng konsepto ng mga pintuang pang-logic, kung saan ang mga kilalang operasyon sa tradisyonal na algebra ay kapansin-pansin na naapektuhan.

Pinagmulan: pexels.com

Kasaysayan

Ang Boolean algebra ay ipinakilala noong 1854 ng matematika ng Ingles na si George Boole (1815 - 1864), na isang scholar na itinuro sa sarili. Ang kanyang pag-aalala ay lumitaw mula sa isang umiiral na pagtatalo sa pagitan ng Augustus De Morgan at William Hamilton, tungkol sa mga parameter na tumutukoy sa lohikal na sistemang ito.

Nagtalo si George Boole na ang kahulugan ng mga numerical na halaga 0 at 1 ay tumutugma, sa larangan ng lohika, sa interpretasyon na Wala at Uniberso ayon sa pagkakabanggit.

Ang hangarin ni George Boole ay upang tukuyin, sa pamamagitan ng mga katangian ng algebra, ang mga pagpapahayag ng panukalang logic na kinakailangan upang harapin ang mga variable ng uri ng binary.

Noong 1854 ang pinaka makabuluhang mga seksyon ng Boolean algebra ay nai-publish sa aklat na "Isang pagsisiyasat sa mga batas ng pag-iisip kung saan ang mga teoryang matematika ng lohika at posibilidad ay batay."

Ang pamantasang ito ay maiuri sa bandang huli bilang "Ang mga batas ng pag-iisip" ("Ang mga batas ng pag-iisip"). Ang pamagat ay tumaas sa katanyagan dahil sa agarang atensyon na natanggap mula sa pamantayang matematika ng oras.

Noong 1948 inilapat ito ni Claude Shannon sa disenyo ng mga bistable electrical circuit na lumilipat. Ito ay nagsilbi bilang isang pagpapakilala sa application ng Boolean algebra sa loob ng buong scheme ng electronic-digital.

Istraktura

Ang mga pangunahing halaga sa elementong ito ng algebra ay 0 at 1, na tumutugma sa FALSE at TRUE ayon sa pagkakabanggit. Ang pangunahing operasyon sa Boolean algebra ay 3:

- AT operasyon o pagsasama. Kinakatawan ng isang panahon (.). Kasingkahulugan ng produkto.

- O operasyon o disjunction. Kinakatawan ng isang krus (+). Kasingkahulugan ng kabuuan.

- HINDI operasyon o negasyon. Kinakatawan ng prefix HINDI (HINDI A). Kilala rin ito bilang isang pandagdag.

Kung sa isang set A 2 mga batas ng panloob na komposisyon ay tinukoy bilang isang produkto at kabuuan (. +), Ang triple (A. +) ay sinasabing isang Boolean algebra kung at kung sasabihin lamang na ang triple ay nakakatugon sa kundisyon ng pagiging isang sala-sala namamahagi.

Upang tukuyin ang isang pamamahagi ng sala-sala, ang mga kondisyon ng pamamahagi ay dapat matugunan sa pagitan ng mga naibigay na operasyon:

. ay namamahagi na may paggalang sa kabuuan + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ ay namamahagi na may paggalang sa produkto. a + (b. c) = (a + b). (isang + c)

Ang mga elemento na bumubuo ng set A ay dapat maging binary, sa gayon ang pagkakaroon ng uniberso o walang halaga na mga halaga.

Aplikasyon

Ang pangunahing senaryo ng aplikasyon nito ay ang digital branch, kung saan nagsisilbi itong istraktura ang mga circuit na bumubuo sa mga lohikal na operasyon na kasangkot. Ang sining ng pagiging simple ng circuit na pabor sa pag-optimize ng mga proseso ay ang resulta ng tamang aplikasyon at kasanayan ng Boolean algebra.

Mula sa pagpapaliwanag ng mga de-koryenteng panel, na dumadaan sa paghahatid ng data, hanggang sa pagdating sa pagprograma sa iba't ibang wika, madalas nating makahanap ng Boolean algebra sa lahat ng uri ng mga digital na aplikasyon.

Ang mga variable ng Boolean ay napaka-pangkaraniwan sa istraktura ng programming. Depende sa programming language na ginamit, magkakaroon ng mga istrukturang operasyon sa code na gumagamit ng mga variable na ito. Ang mga kondisyon at argumento ng bawat wika ay umamin ang mga variable ng Boolean upang tukuyin ang mga proseso.

Nag-postulate

Mayroong mga teoryang namamahala sa mga istrukturang lohikal na batas ng Boolean algebra. Sa parehong paraan, may mga postulate upang malaman ang mga posibleng resulta sa iba't ibang mga kumbinasyon ng mga variable na binary, depende sa operasyon na isinagawa.

Sum (+)

Ang OR operator na ang lohikal na elemento ay ang unyon (U) ay tinukoy para sa mga variable variable tulad ng sumusunod:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkto (.)

Ang AND operator na ang lohikal na elemento ay ang intersection (∩) ay tinukoy para sa mga binary variable tulad ng sumusunod:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

isa. 0 = 0

isa. 1 = 1

Kabaligtaran (HINDI)

Ang HINDI operator na ang lohikal na elemento ay ang pandagdag (X) 'ay tinukoy para sa mga binary variable tulad ng sumusunod:

HINDI 0 = 1

HINDI 1 = 0

Marami sa mga postulate ay naiiba sa kanilang mga katapat sa maginoo algebra. Ito ay dahil sa domain ng mga variable. Halimbawa, ang pagdaragdag ng mga elemento ng uniberso sa Boolean algebra (1 + 1) ay hindi maaaring magbigay ng maginoo na resulta ng 2, sapagkat hindi ito kabilang sa mga elemento ng binary set.

Mga teoryang

Panuntunan ng zero at pagkakaisa

Ang anumang simpleng operasyon na nagsasangkot ng isang elemento na may mga variable variable, ay tinukoy:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

isa. A = A

Katumbas na kapangyarihan o kawalang-kilos

Ang mga operasyon sa pagitan ng pantay na variable ay tinukoy bilang:

A + A = A

TO. A = A

Pagpupuno

Ang anumang operasyon sa pagitan ng isang variable at ang pandagdag nito ay tinukoy bilang:

A + HINDI A = 1

TO. HINDI A = 0

Pag-ebolusyon o dobleng negasyon

Ang anumang dobleng negasyon ay isasaalang-alang bilang natural variable.

HINDI (HINDI A) = A

Commutative

A + B = B + A; Commutativity ng kabuuan.

TO. B = B TO; Commutativity ng produkto.

Kaakibat

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Kaakibat ng kabuuan.

TO. (B. C) = (A. B). C = A. B C; Kaakibat ng produkto.

Namamahagi

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Pamamahagi ng kabuuan na may paggalang sa produkto.

TO. (B + C) = (A. B) + (A + C); Pamamahagi ng produkto na may paggalang sa kabuuan.

Mga batas ng pagsipsip

Maraming mga batas sa pagsipsip sa maraming mga sanggunian, ang ilan sa mga pinakamahusay na kilala ay:

TO. (A + B) = A

TO. (HINDI A + B) = A. B

HINDI A (A + B) = HINDI A. B

(A + B). (A + HINDI B) = A

A + A B = A

A + HINDI A. B = A + B

HINDI A + A. B = HINDI A + B

TO. B + A. HINDI B = A

Teorema ni Morgan

Ang mga ito ay mga batas sa pagbabagong-anyo, na humahawak ng mga pares ng mga variable na nakikipag-ugnay sa pagitan ng tinukoy na operasyon ng Boolean algebra (+.).

HINDI (A. B) = HINDI A + HINDI B

HINDI (A + B) = HINDI A. HINDI B

A + B = HINDI (HINDI A + HINDI B)

TO. B = HINDI (HINDI A. HINDI B)

Duwalidad

Ang lahat ng mga postulate at theorems ay nagtataglay ng faculty ng dualidad. Nangangahulugan ito na sa pamamagitan ng pagpapalitan ng mga variable at operasyon na napatunayan ang nagreresultang panukala. Iyon ay, kapag nagpapalitan ng 0 para sa 1 at AT para sa O o kabaligtaran; isang ekspresyon ay nilikha na magiging ganap din na may bisa.

Halimbawa kung ang postulate ay nakuha

isa. 0 = 0

At ang dualidad ay inilalapat

0 + 1 = 1

Ang isa pang perpektong balidong postulate ay nakuha.

Karnaugh Map

Ang mapa ng Karnaugh ay isang diagram na ginamit sa Boolean algebra upang gawing simple ang mga lohikal na pag-andar. Binubuo ito ng isang dalawang-dimensional na pag-aayos na katulad ng mga talahanayan ng katotohanan ng panukalang lohika. Ang data mula sa mga talahanayan ng katotohanan ay maaaring direktang makuha sa mapa ng Karnaugh.

Ang mapa ng Karnaugh ay maaaring mapaunlakan ang mga proseso ng hanggang sa 6 na variable. Para sa mga pag-andar na may mas mataas na bilang ng mga variable, inirerekomenda ang paggamit ng software upang gawing simple ang proseso.

Ipinanukala noong 1953 ni Maurice Karnaugh, itinatag ito bilang isang nakapirming tool sa larangan ng Boolean algebra, dahil ang pagpapatupad nito ay nag-uugnay sa potensyal ng tao na may pangangailangan upang gawing simple ang mga pagpapahayag ng Boolean, isang pangunahing aspeto sa likido ng mga digital na proseso.

Mga halimbawa

Ang Boolean algebra ay ginagamit upang mabawasan ang mga logic gate sa isang circuit, kung saan ang prayoridad ay upang dalhin ang pagiging kumplikado o antas ng circuit sa pinakamababang posibleng pagpapahayag nito. Ito ay dahil sa pagkaantala sa computational na inaakala ng bawat gate.

Sa mga sumusunod na halimbawa makikita natin ang pagpapagaan ng isang lohikal na pagpapahayag sa pinakamababang pagpapahayag nito, gamit ang mga theorems at postulate ng Boolean algebra.

HINDI (AB + A + B). HINDI (A + HINDI B)

HINDI. HINDI (A + HINDI B); Factoring A na may isang karaniwang kadahilanan.

HINDI. HINDI (A + HINDI B); Sa pamamagitan ng teorem A + 1 = 1.

HINDI (A + B). HINDI (A + HINDI B); ni theorem A. 1 = A

(HINDI A. HINDI B). ;

Ni teorem ni Morgan HINDI (A + B) = HINDI A. HINDI B

(HINDI A. HINDI B). (HINDI A. B); Sa pamamagitan ng dobleng negatibong teorema HINDI (HINDI A) = A

HINDI A. HINDI B. HINDI A. B; Pagpapangkat ng Algebraic.

HINDI A. HINDI A. HINDI B. B; Commutativity ng produkto A. B = B TO

HINDI A. HINDI B. B; Sa pamamagitan ng teorem A. A = A

HINDI A. 0; Sa pamamagitan ng teorem A. HINDI A = 0

0; Sa pamamagitan ng teorem A. 0 = 0

TO. B C + HINDI A + A. HINDI B. C

TO. C. (B + HINDI B) + HINDI A; Ang Factoring (A. C) na may isang karaniwang kadahilanan.

TO. C. (1) + HINDI A; Sa pamamagitan ng teorema A + HINDI A = 1

TO. C + HINDI A; Sa pamamagitan ng panuntunan ng zero theorem at pagkakaisa 1. A = A

HINDI A + C ; Sa batas ng Morgan A + HINDI A. B = A + B

Para sa solusyon na ito, ang batas ni Morgan ay dapat palawakin upang tukuyin:

HINDI (HINDI A). C + HINDI A = HINDI A + C

Sapagkat HINDI (HINDI A) = A sa pamamagitan ng hindi pagkakasangkot.

Pasimplehin ang pag-andar ng lohika

HINDI A. HINDI B. HINDI C + HINDI A. HINDI B. C + HINDI A. HINDI C pababa sa pinakamababang expression nito

HINDI A. HINDI B. (HINDI C + C) + HINDI A. HINDI C; Factoring (HINDI A. HINDI B) na may karaniwang kadahilanan

HINDI A. HINDI B. (1) + HINDI A. HINDI C; Sa pamamagitan ng teorema A + HINDI A = 1

(HINDI A. HINDI B) + (HINDI A. HINDI C); Sa pamamagitan ng panuntunan ng zero theorem at pagkakaisa 1. A = A

HINDI A (HINDI B + HINDI C); Factoring HINDI A sa isang karaniwang kadahilanan

HINDI A. HINDI (B. C); Sa pamamagitan ng mga batas Morgan HINDI (A. B) = HINDI A + HINDI B

HINDI Sa pamamagitan ng mga batas ni Morgan HINDI (A. B) = HINDI A + HINDI B

Ang alinman sa 4 na mga pagpipilian sa naka-bold ay kumakatawan sa isang posibleng solusyon upang mabawasan ang antas ng circuit

Pasimplehin ang lohikal na pag-andar sa pinakasimpleng anyo nito

(A. HINDI B. C + A. HINDI B. B. D + HINDI A. HINDI B). C

(A. HINDI B. C + A. 0. D + HINDI A. HINDI B). C; Sa pamamagitan ng teorem A. HINDI A = 0

(A. HINDI B. C + 0 + HINDI A. HINDI B). C; Sa pamamagitan ng teorem A. 0 = 0

(A. HINDI B. C + HINDI A. HINDI B). C; Sa pamamagitan ng teorem A + 0 = A

TO. HINDI B. C. C + HINDI A. HINDI B. C; Sa pamamagitan ng pamamahagi ng produkto na may paggalang sa kabuuan

TO. HINDI B. C + HINDI A. HINDI B. C; Sa pamamagitan ng teorem A. A = A

HINDI B. C (A + HINDI A) ; Ang Factoring (HINDI B. C) na may karaniwang kadahilanan

HINDI B. C (1); Sa pamamagitan ng teorema A + HINDI A = 1

HINDI B. C; Sa pamamagitan ng panuntunan ng zero theorem at pagkakaisa 1. A = A

Mga Sanggunian

1. Boolean algebra at ang mga aplikasyon nito J. Eldon Whitesitt. Continental Publishing Company, 1980.
2. Matematika at Engineering sa Computer Science. Christopher J. Van Wyk. Institute para sa Computer Sciences at Teknolohiya. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
3. Matematika para sa Science Science. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Kagawaran ng Matematika at ang Computer Science at AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Mga Elemento ng Pagsusuri ng Abstract. Mícheál O'Searcoid PhD. Kagawaran ng matematika. Unibersidad sa kolehiyo Dublin, Beldfield, Dublind.
5. Panimula sa Logic at ang Paraan ng Kaalamang Pang-agham. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford university press.