SANDALI NG PAGKAWALANG-GALAW: MGA PORMULA, MGA EQUATION AT MGA HALIMBAWA NG PAGKALKULA - PISIKAL - 2026

Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang matibay na katawan na may paggalang sa isang tiyak na axis ng pag-ikot ay kumakatawan sa paglaban nito sa pagbabago ng kanyang anggular na tulin sa paligid ng sinabi na axis. Ito ay proporsyonal sa masa at din sa lokasyon ng axis ng pag-ikot, yamang ang katawan, nakasalalay sa geometry nito, ay maaaring madaling paikutin sa paligid ng ilang mga axes kaysa sa iba.

Ipagpalagay na isang malaking bagay (na binubuo ng maraming mga particle) na maaaring paikutin sa paligid ng isang axis. Ipagpalagay na ang isang puwersa F ay kumikilos , na inilapat nang tangha sa elemento ng mass Δm _i , na gumagawa ng isang metalikang kuwintas o sandali, na ibinigay ng τ _net = _i r _i x F _i . Ang vector r _i ay ang posisyon ng im _i (tingnan ang figure 2).

Larawan 1. Mga sandali ng pagkawalang-kilos ng iba't ibang mga figure. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Ang sandaling ito ay patayo sa eroplano ng pag-ikot (direksyon + k = umaalis sa papel). Dahil ang lakas at ang posisyon ng radial vector ay palaging patayo, ang produkto ng krus ay nananatiling:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Larawan 2. Isang butil na kabilang sa isang mahigpit na solid sa pag-ikot. Pinagmulan: Serway, R. 2018. Physics para sa Science at Engineering. Dami 1. Pag-aaral sa Cengage.

Ang pagbilis ng isang _{i ay} kumakatawan sa tangential sangkap ng pagpabilis, dahil ang pagbilis ng radial ay hindi nag-aambag sa metalikang kuwintas. Bilang isang function ng angular acceleration α, maaari naming ipahiwatig na:

Samakatuwid ganito ang net metalikang kuwintas:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Ang angular acceleration α ay pareho para sa buong bagay, samakatuwid hindi ito apektado ng subscript "i" at maaaring iwanan ang pagbubuod, na tiyak na sandali ng pagkawalang-kilos ng bagay na sinasagisag ng titik I:

Ito ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang discrete na pamamahagi ng masa. Kapag ang pamamahagi ay nagpapatuloy, ang pagbubuod ay pinalitan ng isang integral at ang Δm ay nagiging isang mass kaugalian dm. Ang integral ay isinasagawa sa buong bagay:

Ang mga yunit para sa sandali ng pagkawalang-galaw sa SI International System ay kg xm ² . Ito ay isang scalar at positibong dami, dahil ito ay produkto ng isang masa at parisukat ng isang distansya.

Mga halimbawa ng pagkalkula

Ang isang pinahabang bagay, tulad ng isang bar, disk, globo o iba pa, na ang density ρ ay palaging at alam na ang density ay ang dami ng dami ng dami, ang mass kaugalian dm ay isinulat bilang:

Substituting sa integral para sa sandali ng pagkawalang-kilos, mayroon kami:

Ito ay isang pangkalahatang expression, may bisa para sa isang three-dimensional na object, na ang dami V at posisyon r ay mga function ng spatial coordinates x, y, at z. Tandaan na ang pagiging pare-pareho, ang density ay nasa labas ng integral.

Ang density ρ ay kilala rin bilang bulkan density, ngunit kung ang bagay ay napaka-flat, tulad ng isang sheet o napaka manipis at makitid tulad ng isang tungkod, maaaring magamit ang iba pang mga form ng density, tingnan natin:

- Para sa isang napaka manipis na sheet, ang density na gagamitin ay σ, ang density ng ibabaw (masa sa bawat unit area) at dA ay ang pagkakaiba-iba ng lugar.

- At kung ito ay isang manipis na bar, kung saan ang haba lamang ay may kaugnayan, ang linear mass density λ at isang haba ng kaugalian ay ginagamit, ayon sa axis na ginamit bilang isang sanggunian.

Sa mga halimbawa na sumusunod, ang lahat ng mga bagay ay itinuturing na matibay (hindi nababago) at may pantay na density.

Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na bar na may paggalang sa isang axis na dumadaan sa gitna nito

Narito namin makalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis, matibay, homogenous bar ng haba L at masa M, na may paggalang sa isang axis na dumadaan sa medium.

Una, kinakailangan upang magtatag ng isang coordinate system at bumuo ng isang figure na may naaangkop na geometry, tulad nito:

Larawan 3. Geometry upang makalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na baras na may paggalang sa isang vertical axis na dumadaan sa sentro nito. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang x-axis sa kahabaan ng bar at ang y-axis ay pinili bilang axis ng pag-ikot. Ang pamamaraan upang maitaguyod ang integral ay nangangailangan din ng pagpili ng isang pagkakaiba-iba ng masa sa bar, na tinatawag na dm, na may isang haba ng kaugalian dx at matatagpuan sa di-makatwirang posisyon x, na may paggalang sa sentro x = 0.

Ayon sa kahulugan ng linear mass density λ:

Dahil pare-pareho ang density, na may bisa para sa M at L, may bisa rin ito sa dm at dx:

Sa kabilang banda, ang elemento ng masa ay nasa posisyon x, kaya sa pamamagitan ng paghahalili ng geometry na ito sa kahulugan, mayroon kaming isang tiyak na integral, na ang mga limitasyon ay ang mga dulo ng bar ayon sa sistema ng coordinate:

Pagsusulat ng linear density λ = M / L:

Upang mahanap ang sandali ng pagkawalang-galaw ng bar na may paggalang sa isa pang axis ng pag-ikot, halimbawa ang isa na dumadaan sa isa sa mga dulo nito, maaari mong gamitin ang teorema ni Steiler (tingnan ang ehersisyo na nalutas sa dulo) o gumanap ng isang direktang pagkalkula na katulad ng isa na ipinakita dito, ngunit naaangkop ang pagbabago ng geometry.

Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang disk na may paggalang sa isang axis na dumadaan sa gitna nito

Ang isang napaka manipis na disk ng hindi papabaya na kapal ay isang flat figure. Kung ang masa ay pantay na ipinamamahagi sa buong ibabaw ng lugar A, ang density ng σ ay:

Parehong dm at dA ay tumutugma sa masa at sa lugar ng kaugalian na ipinakita sa figure. Ipapalagay namin na ang buong pagpupulong ay umiikot sa paligid ng y-axis.

Maaari mong isipin na ang disk ay binubuo ng maraming mga concentric na singsing ng radius r, ang bawat isa ay may kani-kanilang sandali ng pagkawalang-galaw. Pagdaragdag ng mga kontribusyon ng lahat ng mga singsing hanggang sa pag-abot sa radius R, magkakaroon kami ng kabuuang sandali ng pagkawalang-galaw ng disk.

Larawan 4. Geometry upang makalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang disk, na may paggalang sa ehe axis. Pinagmulan: F. Zapata.

Kung saan Kinakatawan ng M ang buong masa ng disk. Ang lugar ng isang disk ay nakasalalay sa radius r tulad ng:

Nagbibigay ng paggalang sa r:

Pagsusulat sa itaas sa kahulugan ng I:

Substituting σ = M / (π.R ² ) nakukuha namin:

Panandaliang pagkawalang-kilos ng isang solidong globo tungkol sa isang diameter

Ang isang globo ng radius R ay maaaring isaalang-alang bilang isang serye ng mga disk na nakasalansan sa isa sa tuktok ng iba pa, kung saan ang bawat disk ng infinitesimal mass dm, radius r at kapal ng dz, ay may isang sandali ng inertia na ibinigay ng:

Upang mahanap ang pagkakaiba-iba na ito, kinuha lamang namin ang formula mula sa nakaraang seksyon at pinalitan ang M at R para sa dm at r, ayon sa pagkakabanggit. Ang isang disk na tulad nito ay makikita sa geometry ng figure 5.

Larawan 5. Geometry upang makalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang solidong globo R na may paggalang sa isang axis na dumadaan sa isang diameter. Pinagmulan: F. Zapata.

Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lahat ng mga infinitesimal sandali ng pagkawalang-kilos ng mga naka-stack na disk, nakuha ang kabuuang sandali ng pagkawalang-kilos ng globo:

Alin ang katumbas ng:

Upang malutas ang mahalagang kailangan mong ipahayag nang naaangkop sa dm. Tulad ng nakasanayan, nakamit ito mula sa density:

Ang dami ng isang pagkakaiba sa disk ay:

Ang taas ng disk ay ang kapal dz, habang ang lugar ng base ay 2r ² , samakatuwid:

At ang pagpapalit sa iminungkahing integral ay magiging ganito:

Ngunit bago pagsasama, dapat nating obserbahan na ang r-ang radius ng disk- ay nakasalalay sa z at R-ang radius ng globo-, tulad ng makikita mula sa pigura 5. Gamit ang teorema ng Pythagorean:

Aling humahantong sa amin sa:

Upang maisama sa buong globo, napansin namin na ang z ay nag-iiba sa pagitan ng -R at R, samakatuwid:

Alam na ang ρ = M / V = ​​M / ay sa wakas nakuha, matapos gawing simple:

Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang solidong silindro na may paggalang sa axis axis

Para sa bagay na ito, ang isang pamamaraan na katulad ng ginamit para sa globo ay ginagamit, lamang sa oras na ito ay mas madali kung ang silindro ay naisip na nabuo ng mga cylindrical shells ng radius r, kapal ng dr at taas H, na parang mga layer ng isang sibuyas. .

Larawan 6. Geometry upang makalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang solidong silindro ng radius R na may paggalang sa axial axis. Pinagmulan: Serway, R. 2018. Physics para sa Science at Engineering. Dami 1. Cengage.

Ang dami dV ng isang cylindrical layer ay:

Samakatuwid ang mass ng shell ay:

Ang expression na ito ay nahalili sa kahulugan ng sandali ng pagkawalang-kilos:

Ang ekwasyon sa itaas ay nagpapahiwatig na ang sandali ng silakbo ng silindro ay hindi nakasalalay sa haba nito, ngunit sa masa at radius lamang nito. Kung ang L ay magbabago, ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa ehe axis ay mananatiling pareho. Para sa kadahilanang ito, ako sa silindro ay nag-tutugma sa na dati nang kinakalkula na manipis na disk.

Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang hugis-parihaba na sheet na may paggalang sa isang axis na dumadaan sa sentro nito

Ang pahalang na y-axis ay pinili bilang axis ng pag-ikot. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng geometry na kinakailangan upang maisagawa ang pagsasama:

Larawan 7. Geometry para sa pagkalkula ng sandali ng pagkawalang-galaw ng isang hugis-parihaba na plato na may paggalang sa isang axis na kahanay sa sheet at dumaan sa gitna nito. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang elemento ng lugar na minarkahan ng pula ay hugis-parihaba. Ang lugar nito ay base x taas, samakatuwid:

Samakatuwid ang mass kaugalian ay:

Tulad ng para sa distansya mula sa elemento ng lugar hanggang sa axis ng pag-ikot, ito ay palaging z. Kapalit namin ang lahat ng ito sa integral ng sandali ng pagkawalang-galaw:

Ngayon ang ibabaw ng density ng σ ay pinalitan ng:

At talagang ganito ang hitsura:

Tandaan na ito ay tulad ng manipis na bar.

Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang parisukat na sheet na may paggalang sa isang axis na dumadaan sa gitna nito

Para sa isang parisukat na may gilid L, sa nakaraang expression na wasto para sa isang parihaba, simpleng kapalit ng halaga ng b para sa L:

Sandali ng Mga Teoryang Inertia

Mayroong dalawang lalo na kapaki-pakinabang na theorems upang gawing simple ang pagkalkula ng mga sandali ng inertia na may paggalang sa iba pang mga axes, na kung saan ay maaaring mahirap makahanap dahil sa kakulangan ng simetrya. Ang mga teoryang ito ay:

Teorema ng Steiner

Tinawag din ang paralel teorya ng axes, iniuugnay nito ang sandali ng pagkawalang-galaw na may paggalang sa isang axis na may isa pang dumaan sa sentro ng misa ng object, hangga't ang mga axes ay magkatulad. Upang mailapat ito, kinakailangan upang malaman ang distansya D sa pagitan ng parehong mga axes at siyempre ang mass M ng bagay.

Hayaan akong _maging sandali ng pagkawalang-galaw ng isang bagay na pinalawig na may paggalang sa z axis, I _CM ang sandali ng inertia na may paggalang sa isang axis na dumadaan sa gitna ng masa (CM) ng nasabing object, kung gayon totoo

O sa notasyon ng mga sumusunod na pigura: I _{z '} = I _z + Md ²

Larawan 8. teorema ng Steiner o kahanay na ehe. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Jack See

Perpendicular axes teorem

Ang teorem na ito ay inilalapat sa mga ibabaw ng eroplano at tulad nito: ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang bagay na eroplano sa paligid ng isang axis na patayo dito ay ang kabuuan ng mga sandali ng pagkawalang-kilos sa paligid ng dalawang axes na patayo sa unang axis:

Larawan 9. Perpendicular axes teorem. Pinagmulan: F. Zapata.

Kung ang bagay ay may symmetry tulad na ko _x at ako _y ay pantay-pantay, kung gayon ito ay totoo na ang:

Nalutas ang ehersisyo

Hanapin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng bar na may paggalang sa isang axis na dumadaan sa isa sa mga dulo nito, tulad ng ipinapakita sa figure 1 (sa ibaba at sa kanan) at figure 10.

Larawan 10. Sandali ng pagkawalang-kilos ng isang homogenous bar sa paligid ng isang axis na dumadaan sa isang dulo. Pinagmulan: F. Zapata.

Solusyon:

Mayroon kaming sandali ng pagkawalang-galaw ng bar sa paligid ng isang axis na dumadaan sa geometric center nito. Dahil ang bar ay homogenous, ang sentro ng masa nito ay sa puntong iyon, kaya ito ang magiging I _{CM namin} upang mag-apply sa teorema ni Steiner.

Kung ang haba ng bar ay L, ang z axis ay nasa layo D = L / 2, samakatuwid:

Mga Sanggunian

1. Bauer, W. 2011. Physics para sa Teknolohiya at Siyensya. Dami 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Mga Batayan ng Pisika. Pearson. 190-200.
3. Parallel Axis Theorem. Nabawi mula sa: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Dami 1. Cengage.
5. Sevilla University. Spherical solids sandali ng pagkawalang-galaw. Nabawi mula sa: laplace.us.es.
6. Sevilla University. Panandaliang pagkawalang-kilos ng isang sistema ng butil. Nabawi mula sa: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Paralel axis teorem. Nabawi mula sa: en.wikipedia.org