- Mga formula at mga katangian
- Ang lugar sa ilalim ng curve
- Malutas na ehersisyo
- - Ehersisyo 1
- Solusyon
- - Ehersisyo 2
- Solusyon
- Mga Sanggunian
Ang Riemann sum ay ang pangalan na ibinigay sa tinatayang pagkalkula ng isang tiyak na integral, sa pamamagitan ng isang discrete na pagsumite na may isang may hangganang bilang ng mga termino. Ang isang karaniwang aplikasyon ay ang pag-asa ng lugar ng mga pag-andar sa isang grap.
Ito ang German matematiko na si Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) na unang nag-alok ng isang mahigpit na kahulugan ng integral ng isang function sa isang naibigay na agwat. Ipinakilala niya ito sa isang artikulo na inilathala noong 1854.
Larawan 1. Ang kabuuan ng Riemann ay tinukoy sa isang function f at sa isang pagkahati sa agwat. Pinagmulan: Fanny Zapata.
Ang Riemann sum ay tinukoy sa isang function y = f (x), na may x na kabilang sa saradong pagitan. Sa agwat na ito, ang isang pagkahati P ng n elemento ay ginawa:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Nangangahulugan ito na ang pagitan ay nahahati sa mga sumusunod:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
Ang Figure 1 ay graphically ay nagpapakita ng Riemann kabuuan ng function f sa agwat sa isang pagkahati ng apat na subintervals, ang mga kulay-abo na mga parisukat.
Ang kabuuan ay kumakatawan sa kabuuang lugar ng mga parihaba at ang resulta ng halagang ito ayon sa bilang na tinatayang mga lugar sa ilalim ng curve f, sa pagitan ng abscissa x = x 0 at x = x 4 .
Siyempre, ang paglapit sa lugar sa ilalim ng curve ay nagpapabuti nang malaki dahil ang bilang n ng mga partisyon ay mas malaki. Sa ganitong paraan ang kabuuan ay sumasalungat sa lugar sa ilalim ng curve, kapag ang bilang n ng mga partisyon ay may posibilidad na walang pag-asa.
Mga formula at mga katangian
Ang Riemann kabuuan ng function f (x) sa pagkahati:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Tinukoy sa pagitan ng agwat, ibinigay ito ng:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Kung saan ang t k ay isang halaga sa agwat. Sa Riemann kabuuan, ang mga regular na agwat ng lapad Δx = (b - a) / n ay karaniwang ginagamit, kung saan ang a at b ang pinakamababa at maximum na halaga ng abscissa, habang n ang bilang ng mga subdibisyon.
Sa kasong iyon ang Riemann tamang kabuuan ay:
Sd (f, n) = * Δx
Larawan 2. Tama na kabuuan ng Riemann. Pinagmulan: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Habang ang Riemann kaliwang kabuuan ay ipinahayag bilang:
Kung (f, n) = * Δx
Larawan 3. Kaliwa Riemann kabuuan. Pinagmulan: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Sa wakas ang gitnang Riemann sum ay:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Larawan 4. Intermediate Riemann kabuuan. Pinagmulan: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Nakasalalay sa kung saan matatagpuan ang punto t k sa pagitan, ang halaga ng Riemann ay maaaring masobrahan o maliitin ang eksaktong halaga ng lugar sa ilalim ng curve ng function y = f (x). Sa madaling salita, ang mga parihaba ay maaaring mag-protrude mula sa curve o maging bahagyang ibaba ito.
Ang lugar sa ilalim ng curve
Ang pangunahing pag-aari ng kabuuan ng Riemann at kung saan nagmumula ang kahalagahan nito, ay kung ang bilang ng mga subdibisyon ay may posibilidad na maging kawalang-hanggan, ang resulta ng kabuuan ay sumasama sa tiyak na integral ng pag-andar:
Malutas na ehersisyo
- Ehersisyo 1
Kalkulahin ang halaga ng tiyak na integral sa pagitan ng isang = -2 hanggang b = +2 ng pagpapaandar:
f (x) = x 2
Gumamit ng isang Riemann sum. Upang gawin ito, hanapin muna ang kabuuan para sa regular na mga partisyon ng agwat at pagkatapos ay kunin ang limitasyon ng matematika para sa kaso na ang bilang ng mga partisyon ay may posibilidad na walang pag-asa.
Solusyon
Ito ang mga hakbang na dapat sundin:
-Ang una, ang pagkahati ng pagkahati ay tinukoy bilang:
Δx = (b - a) / n.
-Tapos ang Riemann sum sa kanan na nauugnay sa function f (x) ay ganito ang hitsura:
-At pagkatapos ay maingat itong nahalili sa pagbubuod:
-Ang susunod na hakbang ay upang paghiwalayin ang mga pagbubuod at kunin ang palaging dami bilang isang karaniwang kadahilanan ng bawat kabuuan. Kinakailangan na isaalang-alang na ang index ay i, samakatuwid ang mga numero at termino na may n ay itinuturing na pare-pareho:
-Ang bawat kabuuan ay nasuri, dahil para sa bawat isa sa kanila ay may mga angkop na expression. Halimbawa, ang una sa kabuuan ay nagbibigay n:
- Sa kabuuan, ang integral na makakalkula ay:
Maaaring suriin ng mambabasa na ito ang eksaktong resulta, na maaaring makuha sa pamamagitan ng paglutas ng hindi tiyak na integral at pagsusuri ng mga limitasyon ng pagsasama ng panuntunan ni Barrow.
- Ehersisyo 2
Humigit-kumulang matukoy ang lugar sa ilalim ng pag-andar:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (-x 2 /2)
Ipasok ang x = -1 at x = + 1, gamit ang isang gitnang Riemann sum na may 10 partitions. Ihambing sa eksaktong resulta at tantyahin ang pagkakaiba sa porsyento.
Solusyon
Ang hakbang o pagdaragdag sa pagitan ng dalawang sunud-sunod na mga halaga ng discrete ay:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0.2
Kaya ang pagkahati sa P kung saan ang mga parihaba ay tinukoy ay ganito:
P = {-1.0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0}
Ngunit dahil ang nais ay ang gitnang kabuuan, ang function f (x) ay susuriin sa mga midpoints ng subintervals, iyon ay, sa hanay:
T = {-0.9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9}.
Ganito ang (gitnang) Riemann sum:
S = f (-0.9) * 0.2 + f (-0.7) * 0.2 + f (-0.5) * 0.2 + … + f (0.7) * 0.2 + f (0.9) * 0.2
Dahil ang function f ay simetriko, posible na mabawasan ang kabuuan sa 5 term lamang at ang resulta ay pinarami ng dalawa:
S = 2 * 0.2 * {f (0.1) + f (0.3) + f (0.5) + f (0.7) + f (0.9)}
S = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683
Ang pag-andar na ibinigay sa halimbawang ito ay walang iba kundi ang kilalang Gaussian bell (normalized, na nangangahulugang pantay sa zero at karaniwang paglihis ng isa). Ang lugar sa ilalim ng curve sa agwat para sa pagpapaandar na ito ay kilala na 0.6827.
Larawan 5. Area sa ilalim ng isang Gaussian bell na tinatayang sa pamamagitan ng isang Riemann sum. Pinagmulan: F. Zapata.
Nangangahulugan ito na ang tinatayang solusyon na may 10 term lamang ay tumutugma sa eksaktong solusyon sa tatlong mga lugar na desimal. Ang error na porsyento sa pagitan ng tinatayang at eksaktong integral ay 0.07%.
Mga Sanggunian
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Integral calculus (Isinalarawan ed.) Madrid: ESIC Editoryal.
- Unican. Kasaysayan ng konsepto ng integral. Nabawi mula sa: repositorio.unican.es
- UIS. Sumali si Riemann. Nabawi mula sa: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Riemann kabuuan. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Pagsasama ng Riemann. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com