MGA PAMAMARAAN NG PAGBIBILANG: MGA PAMAMARAAN, APLIKASYON, HALIMBAWA, PAGSASANAY - DUDAS - 2025

Ang mga diskarte sa pagbilang ay isang serye ng mga pamamaraan ng posibilidad upang mabilang ang bilang ng mga posibleng pag-aayos sa loob ng isang hanay o ilang mga hanay ng mga bagay. Ginagamit ang mga ito kapag manu-mano ang pagiging kumplikado sa paggawa ng mga account dahil sa malaking bilang ng mga bagay at / o mga variable.

Halimbawa, ang solusyon sa problemang ito ay napaka-simple: isipin na hiniling ka ng iyong boss na mabibilang ang pinakabagong mga produkto na dumating sa huling oras. Sa kasong ito maaari kang pumunta at bilangin ang mga produkto nang paisa-isa.

Gayunpaman, isipin na ang problema ay ito: hinihiling sa iyo ng iyong boss na mabilang kung gaano karaming mga pangkat ng 5 mga produkto ng parehong uri ang maaaring nabuo sa mga dumating sa huling oras. Sa kasong ito, ang pagkalkula ay kumplikado. Para sa ganitong uri ng sitwasyon, ginagamit ang tinatawag na mga diskarte sa pagbilang.

Ang mga pamamaraan na ito ay iba-iba, ngunit ang pinakamahalaga ay nahahati sa dalawang pangunahing mga prinsipyo, na kung saan ay ang multiplikal at ang additive; pahintulot at kumbinasyon.

Multiplicative na prinsipyo

Aplikasyon

Ang multiplikatibong prinsipyo, kasama ang pagdaragdag, ay pangunahing maunawaan ang pagpapatakbo ng mga pamamaraan ng pagbilang. Sa kaso ng pagpaparami, binubuo ito ng mga sumusunod:

Isipin natin ang isang aktibidad na nagsasangkot ng isang tiyak na bilang ng mga hakbang (minarkahan namin ang kabuuan bilang "r"), kung saan ang unang hakbang ay maaaring gawin sa mga paraan ng N1, ang pangalawang hakbang sa N2, at ang hakbang na "r" sa mga paraan ng Nr. Sa kasong ito, ang aktibidad ay maaaring isagawa mula sa bilang ng mga hugis na nagreresulta mula sa operasyong ito: N1 x N2 x ……… .x Nr mga hugis

Iyon ang dahilan kung bakit ang prinsipyong ito ay tinatawag na dumarami, at ipinapahiwatig nito na ang bawat isa sa mga hakbang na kinakailangan upang maisagawa ang aktibidad ay dapat isagawa nang paisa-isa.

Halimbawa

Isipin natin ang isang taong nais magtayo ng isang paaralan. Upang gawin ito, isaalang-alang na ang base ng gusali ay maaaring itayo sa dalawang magkakaibang paraan, semento o kongkreto. Tulad ng para sa mga dingding, maaari silang gawin ng adobe, semento o ladrilyo.

Tulad ng para sa bubong, maaari itong gawin ng semento o galvanized sheet. Sa wakas, ang pangwakas na pagpipinta ay maaari lamang gawin sa isang paraan. Ang tanong na lumitaw ay ang mga sumusunod: Gaano karaming paraan ang kailangan niyang itayo ang paaralan?

Una, isinasaalang-alang namin ang bilang ng mga hakbang, na magiging base, dingding, bubong at pintura. Sa kabuuan, 4 na mga hakbang, kaya r = 4.

Ang mga sumusunod ay ilista ang N's:

N1 = mga paraan upang mabuo ang base = 2

N2 = mga paraan upang mabuo ang mga dingding = 3

N3 = mga paraan ng paggawa ng bubong = 2

N4 = mga paraan ng pagpipinta = 1

Samakatuwid, ang bilang ng mga posibleng mga hugis ay kinakalkula gamit ang pormula na inilarawan sa itaas:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 mga paraan ng paggawa ng paaralan.

Mga prinsipyo ng pagdaragdag

Aplikasyon

Ang prinsipyong ito ay napaka-simple, at binubuo ito sa katotohanan na, kung sakaling mayroong maraming mga alternatibo upang isagawa ang parehong aktibidad, ang mga posibleng paraan ay binubuo ng kabuuan ng iba't ibang mga posibleng paraan upang maisagawa ang lahat ng mga kahalili.

Sa madaling salita, kung nais naming magsagawa ng isang aktibidad na may tatlong mga kahalili, kung saan ang unang kahalili ay maaaring gawin sa mga paraan ng M, ang pangalawa sa mga paraan ng N at ang huli sa mga paraan ng W, ang aktibidad ay maaaring gawin sa: M + N + ………. W mga hugis.

Halimbawa

Isipin natin sa oras na ito ang isang tao na nais bumili ng raket sa tennis. Upang gawin ito, mayroon kang tatlong tatak na pipiliin mula: Wilson, Babolat o Ulo.

Kapag nagpunta ka sa tindahan nakita mo na ang racket ng Wilson ay maaaring mabili gamit ang hawakan sa dalawang magkakaibang laki, L2 o L3 sa apat na magkakaibang mga modelo at maaari itong maging strung o unstrung.

Ang Babolat racket, sa kabilang banda, ay may tatlong hawakan (L1, L2 at L3), mayroong dalawang magkakaibang mga modelo at maaari rin itong maging strung o unstrung.

Ang Racket ng Ulo, para sa bahagi nito, ay magagamit lamang sa isang hawakan, ang L2, sa dalawang magkakaibang mga modelo at unstrung lamang. Ang tanong ay: Gaano karaming mga paraan ang bumili ng taong ito ng kanilang raketa?

M = Bilang ng mga paraan upang pumili ng isang raket ng Wilson

N = Bilang ng mga paraan upang pumili ng isang rakol na Babolat

W = Bilang ng mga paraan upang pumili ng isang raketa ng Ulo

Isinasagawa namin ang prinsipyo ng multiplier:

M = 2 x 4 x 2 = 16 na hugis

N = 3 x 2 x 2 = 12 mga paraan

W = 1 x 2 x 1 = 2 mga paraan

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 mga paraan upang pumili ng isang raketa.

Upang malaman kung kailan gagamitin ang prinsipyo ng multiplikatibong at ang pagdaragdag, kailangan mo lamang tingnan kung ang aktibidad ay may isang serye ng mga hakbang upang maisagawa, at kung mayroong maraming mga kahalili, ang additive.

Permutations

Aplikasyon

Upang maunawaan kung ano ang isang pahintulot, mahalaga na ipaliwanag kung ano ang isang kombinasyon upang maaari mong makilala ang mga ito at malaman kung kailan gagamitin ang mga ito.

Ang isang kumbinasyon ay isang pag-aayos ng mga elemento kung saan hindi kami interesado sa posisyon na sinasakop ng bawat isa.

Ang isang pahintulot, sa kabilang banda, ay isang pag-aayos ng mga elemento kung saan kami ay interesado sa posisyon na sinakop ng bawat isa sa kanila.

Maglagay tayo ng isang halimbawa upang mas maunawaan ang pagkakaiba.

Halimbawa

Isipin natin ang isang klase na may 35 mga mag-aaral, at sa mga sumusunod na sitwasyon:

1. Nais ng guro na tatlo sa kanyang mga mag-aaral na tulungan siyang panatilihing malinis ang silid-aralan o upang ibigay ang mga materyales sa ibang mga mag-aaral kung kinakailangan.
2. Nais ng guro na magtalaga ng mga delegado sa klase (isang pangulo, isang katulong at isang financier).

Ang solusyon ay ang mga sumusunod:

1. Isipin natin na sa pamamagitan ng boto, sina Juan, María at Lucía ay pinili upang linisin ang klase o ihatid ang mga materyales. Malinaw, ang iba pang mga grupo ng tatlo ay maaaring nabuo, kabilang sa 35 posibleng mag-aaral.

Dapat nating tanungin ang ating sarili sa sumusunod: mahalaga ba ang pagkakasunud-sunod o posisyon ng bawat mag-aaral kapag pumipili sa kanila?

Kung iisipin natin ang tungkol dito, nakita natin na hindi talaga ito mahalaga, dahil ang grupo ay magiging namamahala sa dalawang gawain nang pantay. Sa kasong ito, ito ay isang kumbinasyon, dahil hindi kami interesado sa posisyon ng mga elemento.

1. Isipin natin ngayon na si Juan ay nahalal bilang pangulo, si Maria bilang katulong, at si Lucia bilang pinansyal.

Sa kasong ito, mahalaga ba ang pagkakasunud-sunod? Oo ang sagot, dahil kung binago natin ang mga elemento, nagbabago ang resulta. Iyon ay, kung sa halip na ilagay si Juan bilang pangulo, inilalagay namin siya bilang katulong, at si María bilang pangulo, babaguhin ang pangwakas na resulta. Sa kasong ito ito ay isang permutation.

Kapag naiintindihan ang pagkakaiba, kukuha kami ng mga pormula ng permutasyon at mga kumbinasyon. Gayunpaman, dapat nating tukuyin ang salitang "n!" (ene factorial), dahil gagamitin ito sa iba't ibang mga formula.

n! = ang produkto mula 1 hanggang n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Gamit ang mga totoong numero:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3,628,800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Ang pormula para sa mga pahintulot ay ang mga sumusunod:

nPr = n! / (nr)!

Gamit nito maaari nating malaman ang mga pag-aayos kung saan mahalaga ang pagkakasunud-sunod, at kung saan naiiba ang mga n elemento.

Mga Kumbinasyon

Aplikasyon

Tulad ng nabanggit namin dati, ang mga kumbinasyon ay ang mga pag-aayos kung saan hindi namin pakialam ang posisyon ng mga elemento.

Ang pormula nito ay ang mga sumusunod:

nCr = n! / (nr)! r!

Halimbawa

Kung mayroong 14 na mag-aaral na nais na magboluntaryo upang linisin ang silid-aralan, gaano karaming mga pangkat ng paglilinis ang maaaring mabuo kung ang bawat pangkat ay kailangang maging 5 tao?

Samakatuwid, ang solusyon ay ang sumusunod:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 na pangkat

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Pinagmulan: Pixabay.com

Hiniling ng kanyang ina na pumunta sa isang grocery store at bumili siya ng isang soda upang mag-cool off. Nang tanungin ni Natalia ang clerk ng isang inumin, sinabi niya sa kanya na mayroong apat na lasa ng mga soft drinks, tatlong uri at tatlong laki.

Ang mga lasa ng malambot na inumin ay maaaring: cola, lemon, orange at mint.

Ang mga uri ng cola ay maaaring: regular, walang asukal, walang caffeine.

Ang mga sukat ay maaaring: maliit, katamtaman at malaki.

Hindi tinukoy ng ina ni Natalia kung anong uri ng malambot na inumin ang nais niya. Gaano karaming mga paraan na kailangang bilhin ni Natalia ang inumin?

Solusyon

M = Laki at uri ng numero na maaari mong piliin kapag pumipili ng cola.

N = Bilang ng laki at uri na maaari mong piliin kapag pumipili ng lemon soda.

W = Laki at uri ng numero na maaari mong piliin kapag pumipili ng orange soda.

Y = Laki at uri ng numero na maaari mong piliin kapag pumipili ng iyong soda soda.

Isinasagawa namin ang prinsipyo ng multiplier:

M = 3 × 3 = 9 na paraan

N = 3 × 3 = 9 na paraan

W = 3 × 3 = 9 na paraan

Y = 3 × 3 = 9 na paraan

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 mga paraan upang pumili ng soda.

Mag-ehersisyo 2

Pinagmulan: pixabay.com

Ang isang sports club ay nag-aanunsyo ng mga libreng pag-access sa mga workshop para malaman ng mga bata na mag-skate. 20 mga bata ang nakarehistro, kaya't napagpasyahan nilang hatiin ang mga ito sa dalawang pangkat ng sampung tao upang ang mga guro ay maaring magturo sa mga klase nang mas kumportable.

Kaugnay nito, nagpasya silang gumuhit kung aling pangkat ang mahuhulog sa bawat bata. Gaano karaming iba't ibang mga grupo ang maaaring pumasok sa isang bata?

Solusyon

Sa kasong ito, ang paraan upang makahanap ng sagot ay ang paggamit ng pamamaraan ng kumbinasyon, na ang pormula ay: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (bilang ng mga bata)

r = 10 (laki ng pangkat)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184,756 na pangkat.

Mga Sanggunian

1. Jeffrey, RC, Posible at ang Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Isang Panimula sa Teorya ng Probabilidad at Ang mga Aplikasyon nito", (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Mga lohikal na pundasyon at pagsukat ng posibilidad ng subjective". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Panimula sa Mga Istatistika ng Matematika (Ika-6 na ed.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Ang Science of Conjecture: Katibayan at Posible Bago ang Pascal, Johns Hopkins University Press.