TEOREMA NG GREEN, PATUNAY, APLIKASYON AT EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2024

Ang teorema ng Green ay isang pamamaraan ng pagkalkula na ginamit upang kumonekta sa linya ay nagsasama ng dobleng integral o lugar ng ibabaw. Ang mga pag-andar na kasangkot ay dapat na isinasaalang-alang bilang mga patlang na vector at tinukoy sa loob ng landas C.

Halimbawa, ang isang linya ng integral na expression ay maaaring napakahirap malutas; gayunpaman, sa pamamagitan ng pagpapatupad ng teorema ng Green, ang dobleng integral ay nagiging pangunahing. Laging mahalaga na igalang ang positibong direksyon ng tilapon, tumutukoy ito sa direksyon na anti-sunud-sunod.

Ang teorema ng Green ay isang partikular na kaso ng teorema ng Stokes, kung saan isinasagawa ang projection ng vector function sa xy plane.

Kahulugan

Ang expression ng Teorem ng Green ay ang mga sumusunod:

Ipinapakita ng unang termino ang linya ng integral na tinukoy ng landas na "C", ng produktong scalar sa pagitan ng function ng vector na "F" at ng vector "r".

C: Ito ang tinukoy na landas kung saan ang pag-andar ng vector ay inaasahan hangga't ito ay tinukoy para sa eroplano.

F: Pag-andar ng Vector, kung saan ang bawat isa sa mga sangkap nito ay tinukoy ng isang function tulad ng (f, g).

r: Ito ay isang vector tangent sa rehiyon R kung saan ang integral ay tinukoy. Sa kasong ito nagpapatakbo kami sa isang pagkakaiba-iba ng vector na ito.

Sa pangalawang termino makikita natin ang teorema ng Green na binuo, kung saan ang dobleng integral na tinukoy sa rehiyon R ng pagkakaiba ng bahagyang derivatives ng g at f ay sinusunod, na may paggalang sa x at y ayon sa pagkakabanggit. Sa pamamagitan ng isang pagkakaiba-iba ng lugar na walang higit pa kaysa sa produkto ng parehong dalawang dimensional na pagkakaiba-iba (dx.dy).

Ang teorema na ito ay perpektong naaangkop para sa mga integral ng puwang at pang-ibabaw.

Demonstrasyon

Upang mapatunayan ang teorema ng Green sa isang simpleng paraan, ang gawaing ito ay masira sa 2 bahagi. Una sa lahat, ipapalagay namin na ang function ng vector F ay mayroon lamang isang kahulugan sa manlalaro i. Habang ang function na "g" na katumbas ng versor j ay magiging pantay sa zero.

May-akda

F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0

r = x i + y j

dr = dx i + dy j

Una, binuo namin ang linya na integral sa landas C, kung saan ang landas ay na-sektor sa 2 mga seksyon na una sa isang a b at pagkatapos ay mula sa b a a.

Ang kahulugan ng pangunahing teorya ng calculus ay inilalapat para sa isang tiyak na integral.

Ang ekspresyon ay muling nabuo sa iisang integral, ang negatibo ay ginawang isang karaniwang kadahilanan, at ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay baligtad.

Kapag pinagmamasdan nang detalyado ang expression na ito, maliwanag na kapag inilalapat ang pamantayan sa pag-andar ng primitive, naroroon kami sa pagkakaroon ng integral ng expression na nagmula sa f na may paggalang sa y. Nasuri sa mga parameter

Ngayon ay sapat na upang ipagpalagay na ang pagpapaandar ng vector F ay tinukoy lamang para sa g (x, y) j . Kung saan kapag nagpapatakbo sa paraang katulad ng nakaraang kaso, ang sumusunod ay nakuha:

Upang matapos, ang 2 patunay ay kinuha at sumali sa kaso kung saan ang pag-andar ng vector ay tumatagal ng mga halaga para sa parehong mga nagagawang. Sa ganitong paraan, ipinapakita kung paano ang linya ng integral matapos na tinukoy at isinasaalang-alang bilang isang isang-dimensional na tilapon, ay maaaring ganap na binuo para sa eroplano at espasyo.

F = f (x, y) i + g (x, y) j

Sa ganitong paraan, ang teorema ng Green ay napatunayan.

Aplikasyon

Ang mga aplikasyon ng teorem ng Green ay malawak sa mga sanga ng pisika at matematika. Ang mga ito ay umaabot sa anumang aplikasyon o paggamit na maaaring ibigay sa pagsasama ng linya.

Ang gawaing mekanikal na ginawa ng isang puwersa F sa pamamagitan ng isang landas C, ay maaaring mabuo ng isang integral na linya na ipinahayag bilang isang double integral ng isang lugar ng teoryang Green.

Ang mga sandali ng pagkawalang-galaw ng maraming mga katawan na sumailalim sa mga panlabas na puwersa sa iba't ibang mga punto ng aplikasyon ay tumugon din sa mga integral ng linya na maaaring malikha ng teorema ng Green.

Ito ay may maraming mga pag-andar sa mga pag-aaral ng pagtutol ng mga materyales na ginagamit. Kung saan ang mga panlabas na halaga ay maaaring masukat at isinasaalang-alang bago ang pag-unlad ng iba't ibang mga elemento.

Sa pangkalahatan, ang teorema ng Green ay nagpapadali sa pag-unawa at kahulugan ng mga lugar kung saan ang mga pag-andar ng vector ay tinukoy nang may paggalang sa isang rehiyon kasama ang isang landas.

Kasaysayan

Nai-publish ito noong 1828 sa akdang pagtatasa ng matematika sa mga teorya ng koryente at magnetism, na isinulat ng British matematiko na si George Green. Sa loob nito, ang mga tiyak na mapagpasyang mga seksyon sa aplikasyon ng calculus sa pisika ay ginalugad, tulad ng konsepto ng mga potensyal na pag-andar, mga pag-andar ng Green at ang mga aplikasyon ng kanyang teorem na may sariling titulo.

Pormal na ginawang pormal ni George Green ang kanyang karera ng mag-aaral sa edad na 40, na hanggang ngayon ay isang ganap na nagturo sa matematika. Matapos mag-aral sa University of Cambridge, ipinagpatuloy niya ang kanyang pananaliksik, gumawa ng mga kontribusyon sa mga akustika, optika at hydrodynamics na may bisa pa rin ngayon.

Pakikipag-ugnay sa iba pang mga teoryang

Ang teorema ng Green ay isang espesyal na kaso, at ito ay lumitaw mula sa 2 iba pang napakahalagang mga theorems sa larangan ng calculus. Ito ang teorem ng Kelvin-Stokes at ang pagkakaiba-iba o Gauss Ostrogradski teorema.

Simula sa alinman sa dalawang teorema, ang isa ay maaaring makarating sa teorema ng Green. Ang ilang mga kahulugan at panukala ay kinakailangan upang makabuo ng nasabing mga patunay.

Pagsasanay

- Ang sumusunod na ehersisyo ay nagpapakita kung paano ibahin ang anyo ng isang linya na integral sa isang dobleng integral na may paggalang sa isang rehiyon ng R.

Ang orihinal na expression ay ang mga sumusunod:

Mula sa kung saan ang mga kaukulang pag-andar af at g ay kinuha

f (x, y) = x ³ g (x, y) = yx

df / dy = 0 dg / dx = y

Walang iisang paraan upang tukuyin ang mga limitasyon ng pagsasama kapag inilalapat ang teorema ng Green. Ngunit may mga paraan kung saan ang mga integral pagkatapos matukoy ay maaaring maging mas simple. Kaya ang pag-optimize ng mga limitasyon ng pagsasama ay nararapat pansin.

Kung saan kapag nalulutas ang mga integral na nakuha namin:

Ang halagang ito ay tumutugma sa mga cubic unit sa rehiyon sa ibaba ng vector function at sa tatsulok na rehiyon na tinukoy ng C.

Sa kaso ng linya ng integral nang hindi isinasagawa ang pamamaraan ng Green, kakailanganin itong i-parameter ang mga pag-andar sa bawat seksyon ng rehiyon. Iyon ay, magsagawa ng 3 mga parameter na integral para sa paglutas. Ito ay sapat na katibayan ng kahusayan na dinala ni Robert Green kasama ang kanyang teorama sa calculus.

Mga Sanggunian

1. Panimula sa Magpapatuloy na Mekanika. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, Jul 23. 2009
2. Multivariate Calculus. James Stewart. Pag-aaral ng Cengage, Mar 22 2011
3. Isang Di-Pormal na Kasaysayan ng Teorema ng Green at Mga Kaakibat na Ideya. James Joseph Cross. Kagawaran ng Matematika, Unibersidad ng Melbourne, 1975
4. Pag-init ng Inumin Gamit ang Mga Gulay na Pag-andar. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, Jul 16 2010
5. Application ng Green's Theorem sa Extremization ng Linear Integrals. Defense Technical Information Center, 1961