MAKASAYSAYANG BACKGROUND NG ANALYTIC GEOMETRY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga makasaysayang antecedents ng analytic geometry ay bumalik sa ikalabimpitong siglo, nang tinukoy ni Pierre de Fermat at René Descartes ang pangunahing ideya nito. Ang kanyang imbensyon ay sumunod sa modernisasyon ng algebra at algebraic na notasyon ni François Viète.

Ang patlang na ito ay may mga batayan sa Sinaunang Greece, lalo na sa mga gawa ni Apollonius at Euclid, na may malaking impluwensya sa lugar na ito ng matematika.

Ang mahahalagang ideya sa likod ng analytic geometry ay ang isang relasyon sa pagitan ng dalawang variable, tulad na ang isa ay isang function ng iba pa, tumutukoy sa isang curve.

Ang ideyang ito ay unang binuo ni Pierre de Fermat. Salamat sa napakahalagang balangkas na ito, sina Isaac Newton at Gottfried Leibniz ay nakapagpagawa ng calculus.

Ang pilosopo ng Pranses na si Descartes ay natuklasan din ang isang algebraic na diskarte sa geometry, na tila sa kanyang sarili. Ang akda ni Descartes sa geometry ay lilitaw sa kanyang tanyag na libro na Discourse on Paraan.

Itinuturo ng aklat na ito na ang compass at tuwid na gilid na geometric na mga konstruksyon ay nagsasangkot ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, at mga ugat ng parisukat.

Ang analytic geometry ay kumakatawan sa unyon ng dalawang mahahalagang tradisyon sa matematika: geometry bilang pag-aaral ng form, at arithmetic at algebra, na may kinalaman sa dami o numero. Samakatuwid, ang analytical geometry ay ang pag-aaral ng larangan ng geometry gamit ang mga coordinate system.

Kasaysayan

Ang background ng analytical geometry

Ang ugnayan sa pagitan ng geometry at algebra ay umusbong sa buong kasaysayan ng matematika, bagaman ang geometry ay umabot sa isang mas maagang yugto ng kapanahunan.

Halimbawa, ang Greek matematiko na si Euclid ay nagawang ayusin ang maraming mga resulta sa kanyang klasikong aklat na The Element.

Ngunit ito ay ang sinaunang Griego na Apollonius ng Perga na hinulaang ang pagbuo ng analytic geometry sa kanyang aklat na Conics. Tinukoy niya ang isang conic bilang intersection sa pagitan ng isang kono at isang eroplano.

Gamit ang mga resulta ng Euclid sa magkatulad na mga tatsulok at mga segundo ng bilog, natagpuan niya ang isang relasyon na ibinigay ng mga distansya mula sa anumang puntong "P" ng isang conic sa dalawang patayo na linya, ang pangunahing axis ng isang conic, at ang tangent sa isang dulo ng axis. Ginamit ni Apollonius ang ugnayang ito upang maibawas ang mga pangunahing katangian ng conics.

Ang kasunod na pag-unlad ng mga coordinate system sa matematika lumitaw lamang pagkatapos algebra ay matured salamat sa mga matematiko ng Islam at India.

Hanggang sa Renaissance, ginamit ang geometry upang bigyang-katwiran ang mga solusyon sa mga problema sa algebra, ngunit walang gaanong maaaring magbigay ng algebra sa geometry.

Ang sitwasyong ito ay magbabago sa pag-ampon ng isang maginhawang notasyon para sa mga relasyon sa algebraic at ang pag-unlad ng konsepto ng isang matematikal na pag-andar, na posible na ngayon.

Siglo XVI

Sa pagtatapos ng ika-16 na siglo, ipinakilala ng matematika na Pranses na si François Viète ang unang sistematikong notasyon ng algebraic, na gumagamit ng mga titik upang kumatawan sa bilang ng bilang, parehong kilala at hindi kilala.

Bumuo rin siya ng mga malalakas na pangkalahatang pamamaraan para sa pagtatrabaho ng mga expression ng algebraic at paglutas ng mga equation ng algebraic.

Salamat sa mga ito, ang mga matematiko ay hindi ganap na nakasalalay sa mga geometric na figure at geometric intuition upang malutas ang mga problema.

Kahit na ang ilang mga matematiko ay nagsimulang iwaksi ang pamantayang geometric na paraan ng pag-iisip, ayon sa kung aling mga linear variable ng haba at mga parisukat na tumutugma sa mga lugar, habang ang mga cubic variable ay tumutugma sa mga volume.

Ang unang gumawa ng hakbang na ito ay ang pilosopo at matematiko na si René Descartes, at ang abogado at matematiko na si Pierre de Fermat.

Ang pundasyon ng analitikong geometry

Si Descartes at Fermat ay nakapag-iisa na itinatag ang analitikong geograpiya sa panahon ng 1630s, pinagtibay ang algebra ng Viète para sa pag-aaral ng lokus.

Napagtanto ng mga matematiko na ang algebra ay isang malakas na tool sa geometry at naimbento kung ano ang kilala ngayon bilang analitikong geometry.

Ang isang pambihirang tagumpay na ginawa nila ay upang malampasan ang Viète sa pamamagitan ng paggamit ng mga titik upang kumatawan sa mga distansya na variable kaysa sa maayos.

Ang mga Descartes ay gumagamit ng mga equation upang pag-aralan ang mga curves na tinukoy ng geometrically, at binigyang diin ang pangangailangan na isaalang-alang ang mga pangkalahatang kurbatang algebraic-grapiko ng mga equation ng polynomial sa mga degree na "x" at "y".

Para sa kanyang bahagi, binigyang diin ni Fermat na ang anumang ugnayan sa pagitan ng mga coordinate na "x" at "y" ay nagpasiya ng isang curve.

Gamit ang mga ideyang ito, inayos niya ang mga pahayag ni Apollonius sa mga termino ng algebraic at naibalik ang ilan sa kanyang nawalang trabaho.

Ipinahiwatig ni Fermat na ang anumang quadratic equation sa "x" at "y" ay maaaring mailagay sa karaniwang form ng isa sa mga seksyon ng conic. Sa kabila nito, hindi kailanman nai-publish ni Fermat ang kanyang trabaho sa paksa.

Salamat sa kanilang pagsulong, kung ano lamang ang malulutas ni Archimedes na may malaking kahirapan at para sa mga nakahiwalay na kaso, maaaring malutas nang mabilis sina Fermat at Descartes at para sa isang malaking bilang ng mga curves (na kilala ngayon bilang mga algebraic curves).

Ngunit ang kanyang mga ideya ay nakakuha lamang ng pangkalahatang pagtanggap sa pamamagitan ng mga pagsisikap ng iba pang mga matematiko sa huling kalahati ng ika-17 siglo.

Ang mga matematiko na Frans van Schooten, Florimond de Beaune, at Johan de Witt ay tumulong sa pagpapalawak ng gawain ni Decartes at nagdagdag ng mahalagang karagdagang materyal.

Impluwensya

Sa Inglatera, John Wallis ay na-popularized na analitikong geograpiya. Gumamit siya ng mga equation upang tukuyin ang mga conics at makuha ang kanilang mga katangian. Bagaman malayang gumamit siya ng mga negatibong koordinasyon, si Isaac Newton na gumamit ng dalawang pahilig na axes upang hatiin ang eroplano sa apat na quadrant.

Si Newton at ang German Gottfried Leibniz ay nagbago ng matematika sa pagtatapos ng ika-17 siglo sa pamamagitan ng malayang ipinapakita ang kapangyarihan ng calculus.

Ipinakita ni Newton ang kahalagahan ng mga pamamaraan ng analitikal sa geometry at ang kanilang papel sa calculus, nang iginiit niya na ang anumang kubo (o anumang third-degree na algebraic curve) ay may tatlo o apat na pamantayang mga equation para sa angkop na mga axes ng coordinate. Sa tulong ni Newton mismo, pinatunayan ito ng matematika ng Scottish na si John Stirling noong 1717.

Analytical geometry ng tatlo at higit pang mga sukat

Bagaman iminungkahing parehong Descartes at Fermat gamit ang tatlong mga coordinate upang pag-aralan ang mga curves at mga ibabaw sa espasyo, ang three-dimensional na analytical geometry ay mabagal hanggang 1730.

Ang mga matematiko Euler, Hermann, at Clairaut ay gumawa ng mga pangkalahatang equation para sa mga cylinders, cones, at mga ibabaw ng rebolusyon.

Halimbawa, ang Euler ay gumagamit ng mga equation para sa mga pagsasalin sa espasyo upang mabago ang pangkalahatang quadratic na ibabaw upang ang mga punong axes nito ay magkakasabay sa mga axes ng coordinate nito.

Euler, Joseph-Louis Lagrange, at Gaspard Monge ay gumawa ng analytic geometry na independiyenteng ng synthetic (non-analytic) geometry.

Mga Sanggunian

1. Ang pagbuo ng analytic geometry (2001). Nabawi mula sa encyclopedia.com
2. Kasaysayan ng analytic geometry (2015). Nabawi mula sa maa.org
3. Pagtatasa (Matematika). Nabawi mula sa britannica.com
4. Analitikong geometry. Nabawi mula sa britannica.com
5. Si Descartes at ang kapanganakan ng analytic geometry. Nabawi mula sa sciencedirect.com