- Mga halimbawa ng antiderivatives
- Pagkakaiba-iba ng mga equation
- Mga pagsasanay sa antiderivative
- - Ehersisyo 1
- Solusyon sa
- Solusyon b
- Solusyon c
- Solusyon e
- - Ehersisyo 2
- Solusyon
- Mga Sanggunian
Ang isang antiderivative F (x) ng isang function f (x) ay tinatawag ding primitive o simpleng hindi tiyak na integral ng nasabing function, kung sa isang naibigay na agwat ako, natutupad na ang F '(x) = f (x)
Halimbawa, gawin natin ang sumusunod na pagpapaandar:
f (x) = 4x 3
Ang isang antiderivative ng pagpapaandar na ito ay F (x) = x 4 , dahil kapag ang pagkakaiba ng F (x) gamit ang derivation rule para sa mga kapangyarihan:
Nakuha namin ang tumpak na f (x) = 4x 3 .
Gayunpaman, ito ay isa lamang sa maraming mga antiderivatives ng f (x), dahil ang iba pang pag-andar na ito: G (x) = x 4 + 2 din ito, dahil kapag ang pagkakaiba-iba ng G (x) na may paggalang sa x, pareho ay nakuha pabalik f (x).
Tignan natin:
Alalahanin na ang derivative ng isang pare-pareho ay 0. Samakatuwid , maaari kaming magdagdag ng anumang pare - pareho sa term x 4 at ang derivative nito ay mananatiling 4x 3 .
Napagpasyahan na ang anumang pag-andar ng pangkalahatang form F (x) = x 4 + C, kung saan ang C ay isang tunay na pare-pareho, nagsisilbing isang antiderivative ng f (x).
Ang halimbawang halimbawa sa itaas ay maipahayag nang ganito:
dF (x) = 4x 3 dx
Ang antiderivative o di-natukoy na integral ay ipinahayag gamit ang simbolo ∫, samakatuwid:
F (x) = ∫4x 3 dx = x 4 + C
Kung saan ang pagpapaandar f (x) = 4x 3 ay tinatawag na integrand, at ang C ay ang patuloy na pagsasama.
Mga halimbawa ng antiderivatives
Larawan 1. Ang antiderivative ay walang higit pa sa isang hindi tiyak na integral. Pinagmulan: Pixabay.
Ang paghahanap ng isang antiderivative ng isang function ay prangka sa ilang mga kaso kung saan ang mga derivatives ay kilala. Halimbawa, hayaan ang pagpapaandar f (x) = kasalanan x, isang antiderivative para sa mga ito ay isa pang function F (x), tulad na kapag ang pagkakaiba-iba nito ay nakukuha natin ang f (x).
Ang pagpapaandar na iyon ay maaaring:
F (x) = - kos x
Suriin natin na totoo ito:
F '(x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = kasalanan x
Samakatuwid maaari naming isulat:
∫sen x dx = -cos x + C
Bilang karagdagan sa pag-alam ng mga derivatives, may ilang mga pangunahing at simpleng mga panuntunan sa pagsasama upang mahanap ang antiderivative o walang katiyakan integral.
Hayaan ang k ay isang tunay na pare-pareho, kung gayon:
1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Kung ang isang function h (x) ay maaaring ipahiwatig bilang karagdagan o pagbabawas ng dalawang mga pag-andar, kung gayon ang hindi tiyak na integral nito ay:
3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Ito ang pag-aari ng linya.
Ang panuntunan ng mga kapangyarihan para sa mga integral ay maaaring maitatag sa ganitong paraan:
Para sa kaso ng n = -1, ang sumusunod na panuntunan ay ginagamit:
5.- ∫ x -1 dx = ln x + C
Madaling ipakita na ang hinango ng ln x ay tumpak na x -1 .
Pagkakaiba-iba ng mga equation
Ang isang kaugalian na equation ay isa kung saan ang hindi alam ay natagpuan bilang isang hango.
Ngayon, mula sa nakaraang pagsusuri, madaling mapagtanto na ang kabaligtaran na operasyon patungo sa derivatibo ay ang antiderivative o walang katiyakan integral.
Hayaan ang f (x) = y '(x), iyon ay, ang hinango ng isang tiyak na pagpapaandar. Maaari naming gamitin ang sumusunod na notasyon upang ipahiwatig ang derivative na ito:
Agad itong sumusunod:
Ang hindi alam ng pagkakaiba-iba ng equation ay ang function y (x), ang isa na ang nagmula ay f (x). Upang malutas ito, ang nakaraang expression ay isinama sa magkabilang panig, na katumbas ng paglalapat ng antiderivative:
Ang kaliwang integral ay nalulutas ng patakaran ng pagsasama 1, na may k = 1, sa gayon paglutas ng nais na hindi kilalang:
At dahil ang C ay isang tunay na pare-pareho, upang malaman kung alin ang naaangkop sa bawat kaso, ang pahayag ay dapat maglaman ng sapat na karagdagang impormasyon upang makalkula ang halaga ng C. Ito ay tinatawag na paunang kondisyon.
Makakakita kami ng mga halimbawa ng aplikasyon ng lahat ng ito sa susunod na seksyon.
Mga pagsasanay sa antiderivative
- Ehersisyo 1
Ilapat ang mga panuntunan sa pagsasama upang makuha ang mga sumusunod na antiderivatives o walang limitasyong integral ng mga naibigay na pag-andar, pinadali ang mga resulta hangga't maaari. Maginhawa upang i-verify ang resulta sa pamamagitan ng derivation.
Larawan 2. Mga pagsasanay ng antiderivatives o tiyak na integral. Pinagmulan: Pixabay.
Solusyon sa
Una naming inilalapat ang panuntunan 3, dahil ang integrand ay ang kabuuan ng dalawang termino:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
Para sa unang integral na panuntunan ng kapangyarihan ay nalalapat:
∫ dx = (x 2 /2) + C 1
Sa pangalawang integral na panuntunan 1 ay inilalapat, kung saan k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + C 2
At ngayon ang mga resulta ay idinagdag. Ang dalawang constants ay pinagsama-sama sa isa, generally na tinatawag na C:
∫ (x + 7) dx = (x 2 /2) + 7x + C
Solusyon b
Sa pamamagitan ng pagkakasunud-sunod ang integral na ito ay nabulok sa tatlong mas simpleng integral, kung saan mailalapat ang panuntunan ng kapangyarihan:
∫ (x 3/2 + x 2 + 6) dx = ∫x 3/2 dx + ∫x 2 dx + ∫6 dx =
Tandaan na ang isang pare-pareho ng pagsasama ay lilitaw para sa bawat integral, ngunit nagkita sila sa isang solong tawag C.
Solusyon c
Sa kasong ito, maginhawa na ilapat ang namamahagi ng pag-aari ng pagpaparami upang mapaunlad ang integrand. Pagkatapos ay ang kapangyarihan ng kapangyarihan ay ginagamit upang mahanap ang bawat integral nang hiwalay, tulad ng sa nakaraang ehersisyo.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x 2 -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x 2 + x - 2) dx
Ang maingat na mambabasa ay mapapansin na ang dalawang gitnang termino ay magkatulad, samakatuwid ay nabawasan sila bago isama ang:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x 2 dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x 3 + (1/2) x 2 - 2x + C
Solusyon e
Ang isang paraan upang malutas ang integral ay ang pagbuo ng kapangyarihan, tulad ng ginawa sa halimbawa d. Gayunpaman, dahil ang exponent ay mas mataas, maipapayo na baguhin ang variable, upang hindi na kailangang gawin ang isang mahabang pag-unlad.
Ang pagbabago ng variable ay ang mga sumusunod:
u = x + 7
Ang pagbibigay ng ekspresyong ito sa magkabilang panig:
du = dx
Ang integral ay binago sa isang mas simple na may bagong variable, na nalutas kasama ang kapangyarihan na panuntunan:
∫ (x + 7) 5 dx = ∫ u 5 du = (1/6) u 6 + C
Sa wakas ang pagbabago ay bumalik upang bumalik sa orihinal na variable:
∫ (x + 7) 5 dx = (1/6) (x + 7) 6 + C
- Ehersisyo 2
Ang isang maliit na butil sa una ay nagpapahinga at gumagalaw kasama ang x-axis. Ang pagpabilis nito para sa t> 0 ay ibinibigay ng pagpapaandar ng (t) = cos t. Ito ay kilala na sa t = 0, ang posisyon ay x = 3, lahat sa mga yunit ng International System. Hiniling na hanapin ang bilis ng v (t) at ang posisyon x (t) ng maliit na butil.
Solusyon
Dahil ang pabilis ay ang unang nagmula ng bilis na may paggalang sa oras, mayroon kaming sumusunod na equation na kaugalian:
a (t) = v '(t) = cos t
Ito ay sumusunod na:
v (t) = ∫ cos t dt = kasalanan t + C 1
Sa kabilang banda, alam natin na ang bilis ay sa turn ng derivative ng posisyon, samakatuwid kami ay muling nagbabalik:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (kasalanan t + C 1 ) dt = ∫sen t dt + ∫C 1 dt = - cos t + C 1 t + C 2
Ang mga konstant ng pagsasama ay natutukoy mula sa impormasyong ibinigay sa pahayag. Una, sinasabi nito na ang maliit na butil ay una sa pamamahinga, samakatuwid v (0) = 0:
v (0) = kasalanan 0 + C 1 = 0
C 1 = 0
Pagkatapos mayroon kaming x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C 1 0 + C 2 = - 1 + C 2 = 3 → C 2 = 3 + 1 = 4
Ang bilis at posisyon function ay tiyak na tulad nito:
v (t) = kasalanan t
x (t) = - cos t + 4
Mga Sanggunian
- Engler, A. 2019. Integral Calculus. Pambansang Unibersidad ng Litoral.
- Larson, R. 2010. Pagkalkula ng isang variable. Ika-9. Edisyon. McGraw Hill.
- Libreng Teksto ng Matematika. Mga antiderivatives. Nabawi mula sa: matematika.liibretexts.org.
- Wikipedia. Antiderivative. Nabawi mula sa: en.wikipedia.org.
- Wikipedia. Walang limitasyong pagsasama. Nabawi mula sa: es.wikipedia.org.