MGA SPHERICAL COORDINATES: MGA HALIMBAWA AT NALUTAS NA PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang spherical coordinates ay isang hanay ng mga lokasyon ng lokasyon sa tatlong dimensional space na binubuo ng isang radial coordinate at dalawang angular coordinates na tinatawag na polar coordinate at azimuthal coordinate.

Ang Figure 1, na nakikita natin sa ibaba, ay nagpapakita ng spherical coordinates (r, θ, φ) ng isang punto M. Ang mga coordinate na ito ay tinukoy sa isang orthogonal system ng Cartesian axes X, Y, Z ng pinagmulan O.

Larawan 1. Spherical coordinates (r, θ, φ) ng isang point M. (wikimedia commons)

Sa kasong ito, ang coordinate r of point M ay ang distansya mula sa puntong iyon hanggang sa pinanggalingan O. Ang polar coordinate θ ay kumakatawan sa anggulo sa pagitan ng positibong semi-axis Z at ang radius vector OM. Habang ang azimuthal coordinate φ ay ang anggulo sa pagitan ng positibong semi-axis X at ang radius vector OM ', kung saan ang M' ay orthogonal projection ng M sa eroplano XY.

Ang radial coordinate r ay tumatagal lamang ng mga positibong halaga, ngunit kung ang isang punto ay matatagpuan sa pinagmulan pagkatapos r = 0. Ang polar coordinate θ ay tumatagal ng isang minimum na halaga 0º para sa mga puntos na matatagpuan sa positibong semi-axis Z at isang maximum na halaga ng 180º para sa mga puntos ay matatagpuan sa negatibong semi-axis Z. Panghuli, ang azimuthal coordinate φ ay tumatagal ng isang minimum na halaga 0º at isang maximum na taas ng 360º.

0 <r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Pagbabago ng mga coordinate

Susunod, ang mga pormula na nagbibigay-daan sa pagkuha ng mga coordinate ng Cartesian (x, y, z) ng isang punto M ay bibigyan, sa pag-aakalang ang spherical coordinates ng parehong (r, θ, φ) na point ay kilala:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Sa parehong paraan, ito ay kapaki-pakinabang upang mahanap ang mga relasyon na pupunta mula sa mga coordinate ng Cartesian (x, y, z) ng isang naibigay na punto sa spherical coordinates ng nasabing punto:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Ang base ng Vector sa mga spherical coordinates

Mula sa spherical coordinates isang orthonormal na batayan ng mga base vectors ay tinukoy, na kung saan ay ipinapahiwatig ng Ur , Uθ , Uφ . Sa Figure 1 ang tatlong yunit ng vector na ito ay ipinapakita, na may mga sumusunod na katangian:

- Ang ur ay ang yunit ng vector tangent sa linya ng radial θ = ctte at φ = ctte;

- Ang Uθ ay ang yunit ng vector tangent sa arc φ = ctte at r = ctte;

- Ang Uφ ay ang yunit ng vector tangent sa arc r = ctte at θ = ctte.

Mga elemento ng linya at dami sa mga spherical coordinates

Ang posisyon vector ng isang punto sa puwang sa mga spherical coordinates ay nakasulat na tulad nito:

r = r Ur

Ngunit ang isang infinitesimal na pagkakaiba-iba o pag-aalis ng isang punto sa three-dimensional space, sa mga coordinate na ito, ay ipinahayag ng mga sumusunod na kaugnay na vector:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Sa wakas, ang isang impormasyong dami ng dV sa spherical coordinates ay nakasulat na tulad nito:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Ang mga ugnayang ito ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagkalkula ng linya at dami ng integral sa mga pisikal na sitwasyon na may spherical simetris.

Pakikipag-ugnay sa mga geograpikong coordinate

Naiintindihan ang mga geograpikong coordinate na ang nagsisilbi upang maghanap ng mga lugar sa ibabaw ng mundo. Ang sistemang ito ay gumagamit ng mga coordinate ng latitude at longitude upang hanapin ang posisyon sa ibabaw ng Earth.

Sa sistema ng geographic coordinate, ang ibabaw ng lupa ay ipinapalagay na maging spherical na may radius na Rt, kahit na kilala ito na flattened sa mga poste, at isang hanay ng mga haka-haka na linya na tinatawag na mga parallel at meridian ay isinasaalang-alang.

Larawan 2. Longitude α at latitude β ng isang tagamasid sa ibabaw ng lupa.

Ang latitude β ay isang anggulo na nabuo ng isang radius na nagsisimula mula sa gitna ng Daigdig hanggang sa puntong nais mong posisyon. Sinusukat ito mula sa ekwador na eroplano, tulad ng ipinakita sa Larawan 2. Sa kabilang banda, ang longitude α ay ang anggulo na ang meridian ng puntong matatagpuan na mga form na may paggalang sa zero meridian (kilala bilang Greenwich meridian).

Ang latitude ay maaaring hilaga o timog na latitude, depende sa kung ang lugar na iyong nahanap ay nasa hilagang hemisphere o sa southern hemisphere. Katulad nito, ang longitude ay maaaring maging kanluran o silangan depende sa kung ang lokasyon ay kanluran o silangan ng zero meridian.

Mga formula upang baguhin mula sa heograpiya hanggang sa spherical

Upang makuha ang mga formula na ito ang unang bagay ay upang magtatag ng isang coordinate system. Ang XY na eroplano ay pinili upang magkatugma sa ekwador na eroplano, ang positibong X semi-axis na siyang mula sa gitna ng Earth at dumaan sa zero meridian. Sa turn, ang Y axis ay dumaan sa 90º E. Ang ibabaw ng lupa ay may radius na Rt.

Sa ganitong coordinate system ang mga pagbabagong-anyo mula sa heograpiya hanggang sa spherical na hitsura nito:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Ang mga geograpiyang coordinate ng Palma de Mallorca (Spain) ay:

East Longitude 38.847º at Hilagang Latitude 39.570º. Upang matukoy ang spherical coordinates na nauugnay sa Palma de Mallorca, ang una sa mga pormula ng mga formula sa nakaraang seksyon ay inilalapat:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Kaya ang spherical coordinates ay:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50.43º, φ = 38.85º)

Sa nakaraang sagot r ay kinuha pantay sa average na radius ng Earth.

Halimbawa 2

Alam na ang mga isla ng Malvinas (Falkland) ay may mga geographic coordinate na 59ºO 51.75ºS, matukoy ang kaukulang mga coordinate ng polar. Tandaan na ang X axis ay mula sa gitna ng Earth sa 0º meridian at sa ekwador na eroplano; ang Y axis din sa ekwador na eroplano at dumaan sa 90º West meridian; sa wakas ang Z axis sa axis ng pag-ikot ng Earth sa direksyon ng Timog-Hilaga.

Upang malaman kung gayon ang kaukulang mga coordinate ng spherical ginagamit namin ang mga pormula na ipinakita sa nakaraang seksyon:

59ºO 51.75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51.75º, φ = 360º-59º) iyon ay

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141.75º, φ = 301º)

Pagsasanay

Ehersisyo 1

Hanapin ang mga coordinate ng Cartesian ng Palma de Mallorca sa XYZ Cartesian reference system na ipinapakita sa figure 2.

Solusyon: Noong nakaraan, halimbawa 1, ang mga spherical coordinates ay nakuha simula sa mga geograpikal na coordinate ng Palma de Mallorca. Kaya ang mga formula na ipinakita sa itaas ay maaaring magamit upang pumunta mula sa spherical hanggang Cartesian:

x = 6371 km Sen (50.43º) Cos (38.85º)

y = 6371 km Sen (50.43º) Sen (38.85º)

z = 6371 km Cos (50.43º)

Ang pagsasagawa ng kaukulang mga kalkulasyon na mayroon kami:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Mag-ehersisyo 2

Hanapin ang mga coordinate ng Cartesian ng Falkland Islands sa XYZ Cartesian sanggunian na ipinapakita sa figure 2.

Solusyon: Noong nakaraan, halimbawa 2, ang mga spherical coordinates ay nakuha mula sa mga geographic coordinate ng Malvinas Islands. Kaya ang mga formula na ipinakita sa itaas ay maaaring magamit upang pumunta mula sa spherical hanggang Cartesian:

x = 6371 km Sen (141.75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141.75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141.75º)

Ang pagsasagawa ng kaukulang mga kalkulasyon, nakuha namin:

Mga Isla ng Falkland: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Mga Sanggunian

1. Arfken G at Weber H. (2012). Mga pamamaraan sa matematika para sa mga pisiko. Isang komprehensibong gabay. Ika-7 na edisyon. Akademikong Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Pagkalkula cc. Malutas ang mga problema ng cylindrical at spherical coordinates. Nabawi mula sa: calculo.cc
3. Pagawaan ng astronomiya. Latitude at longitude. Nabawi mula sa: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Mga Tagapangasiwa ng Spherical." Mula sa MathWorld-Isang Wolfram Web. Nabawi mula sa: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Spherical coordinate system. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Mga patlang ng Vector sa cylindrical at spherical coordinates. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com