HINDI PAGKAKAPANTAY-PANTAY NA TATSULOK: PATUNAY, HALIMBAWA, MALULUTAS NA EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ito ay tinatawag na hindi pantay na pag- aari ng tatsulok na nakakatugon sa dalawang tunay na numero na binubuo ng ganap na halaga ng kanilang kabuuan ay palaging mas mababa kaysa o katumbas ng kabuuan ng kanilang ganap na mga halaga. Ang ari-arian na ito ay kilala rin bilang hindi pagkakapareho ng Minkowski o tatsulok na hindi pagkakapantay-pantay.

Ang pag-aari ng mga numero na ito ay tinatawag na tatsulok na hindi pagkakapantay-pantay dahil sa mga tatsulok na nangyayari na ang haba ng isang panig ay palaging mas mababa kaysa o katumbas ng kabuuan ng dalawa pa, kahit na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay hindi laging naaangkop sa lugar ng mga tatsulok.

Larawan 1. Ang ganap na halaga ng kabuuan ng dalawang numero ay palaging mas mababa kaysa o katumbas ng kabuuan ng kanilang mga ganap na halaga. (Inihanda ni R. Pérez)

Mayroong maraming mga patunay ng hindi pagkakapareho ng tatsulok sa mga tunay na numero, ngunit sa kasong ito ay pipiliin namin ang isa batay sa mga katangian ng ganap na halaga at binomial parisukat.

Theorem: Para sa bawat pares ng mga numero at b kabilang sa totoong mga numero na mayroon tayo:

- isang + b - ≤ - a - + - b -

Demonstrasyon

Nagsisimula kami sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa unang miyembro ng hindi pagkakapareho, na parisukat:

- isang + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Eq. 1)

Sa nakaraang hakbang ginamit namin ang pag-aari na ang anumang numero na parisukat ay katumbas ng ganap na halaga ng sinabi na parisukat na numero, iyon ay: -x- ^ 2 = x ^ 2. Ginagamit na rin ang square binomial expansion.

Ang bawat bilang x ay mas mababa sa o katumbas ng ganap na halaga nito. Kung ang numero ay positibo ay pantay, ngunit kung negatibo ang numero ay palaging mas mababa ito sa isang positibong numero. Sa kasong ito ang sarili nitong ganap na halaga, iyon ay, maaari itong ipahiwatig na x ≤ - x -.

Ang produkto (ab) ay isang numero, samakatuwid nalalapat na (ab) ≤ - ab -. Kapag ang pag-aari na ito ay inilalapat sa (Eq. 1) mayroon kaming:

- isang + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Eq. 2)

Isinasaalang-alang na - ab - = - a - b - la (Eq. 2) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

- isang + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Eq. 3)

Ngunit dahil sinabi namin bago na ang parisukat ng isang numero ay katumbas ng ganap na halaga ng bilang na parisukat, kung gayon ang equation 3 ay maaaring maisulat muli tulad ng sumusunod:

- isang + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Eq. 4)

Sa pangalawang miyembro ng hindi pagkakapantay-pantay, ang isang kapansin-pansin na produkto ay kinikilala, na kapag inilalapat ay humahantong sa:

- isang + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Eq. 5)

Sa nakaraang pagpapahayag dapat pansinin na ang mga halaga na parisukat sa parehong mga miyembro ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibo, samakatuwid dapat din itong masiyahan na:

- isang + b - ≤ (-a- + -b-) (Eq. 6)

Ang dating expression ay eksakto kung ano ang nais mong ipakita.

Mga halimbawa

Susunod susuriin natin ang hindi pagkakapantay-pantay na tatsulok na may ilang mga halimbawa.

Halimbawa 1

Kinukuha namin ang halaga ng isang = 2 at ang halaga b = 5, iyon ay, parehong positibong numero at sinusuri namin kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan o hindi.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Ang pagkakapantay-pantay ay napatunayan, samakatuwid ang teorem ng hindi pagkakapantay-pantay ay tatupad.

Halimbawa 2

Ang mga sumusunod na halaga ng isang = 2 at b = -5 ay pinili, iyon ay, isang positibong numero at ang iba pang negatibo, sinusuri namin kung nasiyahan ba o hindi pagkakapantay-pantay.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan, samakatuwid ang tatsulok na hindi pagkakapantay-pantay na teorema ay napatunayan.

Halimbawa 3

Kinukuha namin ang halaga ng isang = -2 at ang halaga b = 5, iyon ay, isang negatibong numero at iba pang positibo, sinusuri namin kung nasiyahan ba o hindi pagkakapantay-pantay.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay napatunayan, samakatuwid ang teorama ay natupad.

Halimbawa 4

Ang mga sumusunod na halaga ng isang = -2 at b = -5 ay pinili, iyon ay, parehong negatibong numero at sinusuri namin kung nasiyahan o hindi pagkakapantay-pantay o hindi.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Ang pagkakapantay-pantay ay napatunayan, samakatuwid ang pagiging hindi pagkakapantay-pantay na teorema ni Minkowski ay natupad.

Halimbawa 5

Kinukuha namin ang halaga ng isang = 0 at ang halaga b = 5, iyon ay, isang numero ng zero at ang iba pang positibo, pagkatapos suriin namin kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan o hindi.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Ang pagkakapantay-pantay ay natutupad, samakatuwid ang teorem ng hindi pagkakapantay-pantay na tatsulok ay napatunayan.

Halimbawa 6

Kinukuha namin ang halaga ng isang = 0 at ang halaga b = -7, iyon ay sabihin ng isang numero ng zero at ang iba pang positibo, pagkatapos suriin namin kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan o hindi.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Ang pagkakapantay-pantay ay napatunayan, samakatuwid ang teorem ng hindi pagkakapantay-pantay na teorya ay natupad.

Malutas na ehersisyo

Sa mga sumusunod na pagsasanay, kumakatawan sa geometrically ang hindi pagkakapantay-pantay na tatsulok o hindi pagkakapantay-pantay ng Minkowski para sa mga numero a at b.

Ang bilang a ay kinakatawan bilang isang segment sa X axis, ang pinagmulan O coincides na may zero ng X axis at ang iba pang dulo ng segment (sa puntong P) ay nasa positibong direksyon (sa kanan) ng X axis kung ang isang > 0, ngunit kung ang isang <0 ay patungo sa negatibong direksyon ng X axis, ng maraming mga yunit ng ipinahihiwatig nito ang halaga.

Katulad nito, ang bilang b ay kakatawan bilang isang segment na ang pinagmulan ay nasa point P. Ang iba pang matindi, iyon ay, point Q ay magiging sa kanan ng P kung ang b ay positibo (b> 0) at point Q ay magiging -b - mga yunit sa kaliwa ng P kung b <0.

Ehersisyo 1

I-graphic ang hindi pagkakapareho ng tatsulok para sa isang = 5 at b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, kung saan c = a + b.

Mag-ehersisyo 2

I-graphic ang tatsulok na hindi pagkakapantay-pantay para sa isang = 5 at b = -3.

- isang + b - ≤ - a - + - b -, kung saan c = a + b.

Mag-ehersisyo 3

Graphically ipakita ang hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok para sa isang = -5 at b = 3.

- isang + b - ≤ - a - + - b -, kung saan c = a + b.

Ehersisyo 4

Mahusay na itayo ang tatsulok na hindi pagkakapantay-pantay para sa isang = -5 at b = -3.

- isang + b - ≤ - a - + - b -, kung saan c = a + b.

Mga Sanggunian

1. E. Whitesitt. (1980). Boolean Algebra at ang mga Aplikasyon nito. Ang Editorial Company Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Mga Elemento ng Pagsusuri ng Abstract. . Kagawaran ng matematika. Unibersidad sa kolehiyo Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematika at Teknolohiya sa Computer Science. Institute para sa Computer Sciences at Teknolohiya. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Matematika para sa Science Science. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Calculus. Kagawaran ng Matematika at ang Computer Science at AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan Academy. Teorem ng Kakayahang Walang-hanggan Nabawi mula sa: khanacademy.org
7. Wikipedia. Triangular hindi pagkakapantay-pantay. Nabawi mula sa: es. wikipedia.com