PAMAMAHAGI NG POISSON: MGA PORMULA, EQUATION, MODELO, MGA KATANGIAN - DUDAS - 2025

Ang pamamahagi ng Poisson ay isang pamamahagi ng diskriminasyon na posibilidad, sa pamamagitan ng kung saan posible na malaman ang posibilidad na, sa loob ng isang malaking sukat ng sample at sa panahon ng isang tiyak na agwat, isang kaganapan na ang posibilidad ay maliit ay magaganap.

Kadalasan beses, ang pamamahagi ng Poisson ay maaaring magamit sa lugar ng binomial pamamahagi, hangga't ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan: malaking sample at maliit na posibilidad.

Larawan 1. Grap ng pamamahagi ng Poisson para sa iba't ibang mga parameter. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Ang Siméon-Denis Poisson (1781-1840) ay nilikha ang pamamahagi na nagdala ng kanyang pangalan, napaka-kapaki-pakinabang pagdating sa hindi mahuhulaan na mga kaganapan. Inilathala ni Poisson ang kanyang mga resulta noong 1837, isang gawain ng pagsisiyasat sa posibilidad ng paglitaw ng mga maling pangungusap na kriminal.

Nang maglaon, iniakma ng ibang mga mananaliksik ang pamamahagi sa iba pang mga lugar, halimbawa, ang bilang ng mga bituin na maaaring matagpuan sa isang tiyak na dami ng puwang, o ang posibilidad na ang isang sundalo ay mamamatay mula sa sipa ng isang kabayo.

Formula at equation

Ang matematiko na anyo ng pamamahagi ng Poisson ay ang mga sumusunod:

- μ (kung minsan ay minarkahan din bilang λ) ay ang ibig sabihin o parameter ng pamamahagi

- Euler na numero: e = 2.71828

- Ang posibilidad ng pagkuha ng y = k ay P

- k ang bilang ng mga tagumpay 0, 1,2,3 …

- n ang bilang ng mga pagsubok o kaganapan (ang laki ng halimbawang)

Itapon ang mga variable na variable, tulad ng ipinapahiwatig ng kanilang pangalan, nakasalalay sa pagkakataon at kumuha lamang ng mga hiwalay na halaga: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Ang kahulugan ng pamamahagi ay ibinibigay ng:

Ang pagkakaiba-iba, na sumusukat sa pagkalat ng data, ay isa pang mahalagang parameter. Para sa pamamahagi ng Poisson ito ay:

σ = μ

Natukoy ni Poisson na kapag n → ∞, at p → 0, ang ibig sabihin ay μ ​​- tinawag din ang inaasahang halaga - ay may posibilidad na maging:

-Ang mga kaganapan o kaganapan na isinasaalang-alang ay independiyenteng sa bawat isa at nagaganap nang random.

-Ang posibilidad ng P ng isang tiyak na kaganapan na nagaganap sa isang tiyak na tagal ng panahon ay napakaliit: P → 0.

-Ang posibilidad ng higit sa isang kaganapan na nagaganap sa agwat ng oras ay 0.

-Ang average na halaga ay humigit-kumulang isang pare-pareho na ibinigay ng: μ = np (n ay ang laki ng sample)

-Siguro na ang pagpapakalat σ ay katumbas ng,, dahil ito ay nagpatibay ng mas malaking halaga, ang pagkakaiba-iba ay nagiging mas malaki rin.

-Events ay dapat na pantay na ipinamamahagi sa agwat ng oras na ginamit.

-Ang hanay ng mga posibleng halaga ng kaganapan y ay: 0,1,2,3,4….

-Ang kabuuan ng mga variable na ako na sumusunod sa pamamahagi ng Poisson ay isa ring variable na Poisson. Ang average na halaga nito ay ang kabuuan ng mga average na halaga ng mga variable na ito.

Mga pagkakaiba sa pamamahagi ng binomial

Ang pamamahagi ng Poisson ay naiiba sa pamamahagi ng binomial sa mga sumusunod na mahahalagang paraan:

-Ang binomial pamamahagi ay apektado ng parehong laki ng sample n at ang posibilidad na P, ngunit ang pamamahagi ng Poisson ay apektado lamang ng ibig sabihin.

-Sa isang binomial pamamahagi, ang mga posibleng halaga ng random variable y ay 0,1,2, …, N, samantalang sa pamamahagi ng Poisson ay walang itaas na limitasyon para sa mga halagang ito.

Mga halimbawa

Una nang inilapat ni Poisson ang kanyang tanyag na pamamahagi sa mga ligal na kaso, ngunit sa isang pang-industriya na antas, ang isa sa mga pinakaunang gamit nito ay sa paggawa ng serbesa. Sa prosesong ito ang mga kultura ng lebadura ay ginagamit para sa pagbuburo.

Ang lebadura ay binubuo ng mga buhay na selula, ang populasyon na kung saan ay variable sa paglipas ng panahon. Sa paggawa ng serbesa ay kinakailangan upang magdagdag ng kinakailangang halaga, samakatuwid kinakailangan na malaman ang dami ng mga cell na mayroong bawat yunit ng lakas ng tunog.

Sa panahon ng Ikalawang Digmaang Pandaigdig ang pamamahagi ng Poisson ay ginamit upang malaman kung ang mga Aleman ay aktuwal na naglalayong sa London mula sa Calais, o pagpaputok lamang nang random. Mahalaga ito upang matukoy ng Mga Kaalyado kung gaano kahusay ang magagamit na teknolohiya sa mga Nazi.

Mga praktikal na aplikasyon

Ang mga aplikasyon ng pamamahagi ng Poisson ay palaging tumutukoy sa mga bilang sa oras o bilang sa espasyo. At dahil maliit ang posibilidad ng paglitaw, kilala rin ito bilang "batas ng bihirang mga kaganapan."

Narito ang isang listahan ng mga kaganapan na nahuhulog sa isa sa mga kategoryang ito:

-Pagdadala ng mga particle sa isang radioactive decay, na, tulad ng paglaki ng mga selulang lebadura, ay isang exponential function.

-Number ng mga pagbisita sa isang tiyak na website.

-Ang pagdating ng mga tao sa isang linya upang magbayad o dumalo (pila na teorya).

-Number ng mga kotse na pumasa sa isang tiyak na punto sa isang kalsada, sa isang naibigay na agwat ng oras.

Larawan 2. Ang bilang ng mga kotse na dumadaan sa isang punto na halos sumusunod sa isang pamamahagi ng Poisson. Pinagmulan: Pixabay.

-Mga pagdurusa ay nagdusa sa isang tiyak na kadena ng DNA pagkatapos matanggap ang pagkakalantad sa radiation.

-Number of meteorites na may diameter na higit sa 1 m na nahulog sa isang taon.

-Tukoy ng bawat square meter ng isang tela.

-Ang katumpakan ng mga selula ng dugo sa 1 kubiko sentimetro.

-Mga mall bawat minuto sa isang palitan ng telepono.

-Chocolate chips na naroroon sa 1 kg ng cake na humampas.

-Number ng mga puno na nahawahan ng isang tiyak na parasito sa 1 ektaryang kagubatan.

Tandaan na ang mga random variable na ito ay kumakatawan sa bilang ng mga beses na nangyayari ang isang kaganapan sa isang takdang panahon (mga tawag bawat minuto sa palitan ng telepono), o isang naibigay na rehiyon ng puwang (mga depekto ng tela sa bawat square meter).

Ang mga pangyayaring ito, tulad ng naitatag na, ay independiyenteng ng oras na lumipas mula sa huling pangyayari.

Tinatayang ang pamamahagi ng binomial sa pamamahagi ng Poisson

Ang pamamahagi ng Poisson ay isang mahusay na pagtataya sa pamamahagi ng binomial hangga't:

-Ang laki ng sample ay malaki: n ≥ 100

-Ang posibilidad ng p ay maliit: p ≤ 0.1

- Ang is ay nasa pagkakasunud-sunod ng: np ≤ 10

Sa mga ganitong kaso ang pamamahagi ng Poisson ay isang mahusay na tool, dahil ang pamamahagi ng binomial ay maaaring maging mahirap na mag-aplay sa mga kasong ito.

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Ang isang seismological na pag-aaral ay nagpasiya na sa huling 100 taon, mayroong 93 malaking lindol sa buong mundo, na may hindi bababa sa 6.0 sa scale Richter -logarithmic-. Ipagpalagay na ang pamamahagi ng Poisson ay isang angkop na modelo sa kasong ito. Hanapin:

a) Ang average na paglitaw ng mga malalaking lindol bawat taon.

b) Kung ang P (y) ay ang posibilidad ng mga lindol na nagaganap sa isang napiling random na taon, hanapin ang mga sumusunod na posibilidad:

Medyo mas mababa ito sa P (2).

Ang mga resulta ay nakalista sa ibaba:

P (0) = 0.395, P (1) = 0.367, P (2) = 0.171, P (3) = 0.0529, P (4) = 0.0123, P (5) = 0.00229, P (6) = 0.000355, P (7) = 0.0000471.

Halimbawa, maaari nating sabihin na mayroong 39.5% na posibilidad na walang malaking lindol na magaganap sa isang naibigay na taon. O kaya mayroong 5.29% ng 3 malalaking lindol na nagaganap sa taon na iyon.

Solusyon c)

c) Ang mga dalas ay nasuri, dumarami ng n = 100 taon:

39.5; 36.7; 17.1; 5.29; 1.23; 0.229; 0.0355 at 0.00471.

Halimbawa:

- Ang dalas ng 39.5 ay nagpapahiwatig na 0 malalaking lindol ang naganap sa 39.5 sa 100 taon, masasabi nating malapit na ito sa aktwal na resulta ng 47 taon nang walang malaking lindol.

Ihambing natin ang isa pang resulta ng Poisson sa aktwal na mga resulta:

- Ang halaga na nakuha ng 36.7 ay nangangahulugang sa isang panahon ng 37 taon mayroong 1 malaking lindol. Ang aktwal na resulta ay sa 31 taon mayroong 1 pangunahing lindol, isang mahusay na tugma sa modelo.

- 17.1 taon ay inaasahan na may 2 malaking lindol at kilala na sa 13 taon, na kung saan ay isang malapit na halaga, talagang mayroong 2 malaking lindol.

Samakatuwid ang modelong Poisson ay katanggap-tanggap para sa kasong ito.

Mag-ehersisyo 2

Tinatantya ng isang kumpanya na ang bilang ng mga sangkap na nabigo bago maabot ang 100 oras ng operating ay sumusunod sa isang pamamahagi ng Poisson. Kung ang average na bilang ng mga pagkabigo ay 8 sa oras na iyon, hanapin ang mga sumusunod na posibilidad:

a) Ang isang sangkap ay nabigo sa loob ng 25 oras.

b) Pagkabigo ng mas mababa sa dalawang sangkap, sa loob ng 50 oras.

c) Hindi bababa sa tatlong sangkap ang nabigo sa 125 oras.

Solusyon sa)

a) Alam na ang average ng mga pagkabigo sa 100 oras ay 8, samakatuwid sa 25 oras isang quarter ng mga pagkabigo ay inaasahan, iyon ay, 2 pagkabigo. Ito ang magiging parameter ng μ.

Ang posibilidad na ang 1 sangkap ay nabigo ay hiniling, ang random variable ay "mga sangkap na nabigo bago ang 25 oras" at ang halaga nito ay y = 1. Sa pamamagitan ng paghahalili sa pag-andar ng posibilidad:

Gayunpaman, ang tanong ay ang posibilidad na mas kaunti sa dalawang sangkap ang nabigo sa 50 oras, hindi iyon eksaktong 2 sangkap ay nabigo sa 50 oras, samakatuwid dapat nating idagdag ang mga posibilidad na:

-Walang mabigo

- Pagkabigo lamang 1

Ang parameter μ ng pamamahagi sa kasong ito ay:

μ = 8 + 2 = 10 pagkabigo sa 125 oras.

P (3 o higit pang mga sangkap ay nabigo) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Mga Sanggunian

1. MathWorks. Pamamahagi ng Poisson Nabawi mula sa: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Mga Istatistika para sa Pamamahala at Pangkabuhayan. Ika-3. edisyon. Grupo ng Editorial Iberoamérica.
3. Stat Trek. Turuan ang iyong sarili Mga Istatistika. Poisson Pamamahagi. Nabawi mula sa: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Elementong Istatistika. Ika-11. Edukasyong Pearson Ed.
5. Wikipedia. Pamamahagi ng Poisson Nabawi mula sa: en.wikipedia.org