MGA PINAHIHINTULUTANG PABILOG: PATUNAY, HALIMBAWA, MALULUTAS NA EHERSISYO - DUDAS - 2025

Ang mga pabilog na pinahihintulutan ay iba't ibang uri ng pag - aayos ng lahat ng mga elemento ng isang set, kapag sila ay maiayos sa mga bilog. Sa ganitong uri ng permutasyon ang mga bagay ng pagkakasunud-sunod at ang mga elemento ay hindi paulit-ulit.

Halimbawa, ipagpalagay na nais mong malaman ang bilang ng mga natatanging mga arrays ng numero ng isa hanggang sa apat, na inilalagay ang bawat numero sa isa sa mga vertice ng isang rhombus. Ito ay magiging 6 na pag-aayos sa kabuuan:

Hindi dapat malito na ang numero uno ay nasa itaas na posisyon ng rhombus sa lahat ng mga kaso bilang isang nakapirming posisyon. Ang mga pinahihintulutang pabilog ay hindi binago sa pamamagitan ng pag-ikot ng array. Ang mga sumusunod ay isang solong o parehong pahintulot:

Demo at pormula

Sa halimbawa ng iba't ibang mga 4-digit na pabilog na arrays na matatagpuan sa mga vertice ng isang rhombus, ang bilang ng mga arrays (6) ay matatagpuan tulad nito:

1- Anumang sa apat na numero ay kinuha bilang panimulang punto sa alinman sa mga vertice at sumulong sa susunod na vertex. (hindi mahalaga kung ito ay nakabukas sa takbo ng oras o counterclockwise)

2- May 3 mga pagpipilian na naiwan upang piliin ang pangalawang vertex, pagkatapos ay mayroong 2 mga pagpipilian upang piliin ang pangatlong vertex at, siyempre, may isang pagpipilian lamang para sa ika-apat na vertex.

3- Kaya, ang bilang ng mga pabilog na permutasyon, na ipinapahiwatig ng (4 - 1) P (4 - 1), ay nakuha sa pamamagitan ng produkto ng mga pagpipilian sa pagpili sa bawat posisyon:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 na magkakaibang 4-digit na mga arko ng pabilog.

Sa pangkalahatan, ang bilang ng mga pabilog na permutasyon na maaaring makamit kasama ang lahat ng n elemento ng isang set ay:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2) … (2) (1)

Tandaan na (n - 1)! Ito ay kilala bilang n factorial at pinaikling ang produkto ng lahat ng mga numero mula sa bilang (n - 1) hanggang sa numero uno, kasama.

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Gaano karaming iba't ibang mga paraan ang dapat umupo ng 6 na tao sa isang pabilog na mesa?

Nais mong hanapin ang bilang ng iba't ibang mga paraan na maaaring makaupo ang 6 na tao sa paligid ng isang bilog na mesa.

N ° ng mga paraan upang maupo = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Hindi. Ng mga paraan upang maupo = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 iba't ibang paraan

Halimbawa 2

Gaano karaming iba't ibang mga paraan ang may 5 tao upang mahanap ang kanilang mga sarili sa mga vertice ng isang pentagon?

Ang bilang ng mga paraan kung saan ang 5 tao ay matatagpuan sa bawat isa sa mga vertice ng isang pentagon.

N ° ng mga paraan na matatagpuan = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° ng mga paraan na matatagpuan = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 na magkakaibang paraan

Malutas na ehersisyo

- Ehersisyo 1

Nakukuha ng isang mananahi ang 12 magkakaibang mahalagang bato upang mailagay ang mga ito sa mga punto ng oras ng isang orasan na inihahanda niya para sa hari ng isang bansa sa Europa.

a) Gaano karaming iba't ibang mga paraan na kailangan niyang ayusin ang mga bato sa orasan?

b) Gaano karaming iba't ibang mga hugis nito kung ang bato na napunta sa ika-12 ng hapon ay kakaiba?

c) Gaano karaming iba't ibang mga hugis kung ang bato sa 12:00 ay natatangi at ang mga bato sa iba pang tatlong puntos ng kardinal, 3, 6 at 9; Mayroon bang tatlong partikular na mga bato, na maaaring palitan, at ang natitirang oras ay itinalaga mula sa natitirang mga bato?

Mga Solusyon

a) Ang bilang ng mga paraan upang ayusin ang lahat ng mga bato sa circumference ng orasan ay hiniling; iyon ay, ang bilang ng mga pag-aayos ng pabilog na kinasasangkutan ng lahat ng magagamit na mga bato.

Bilang ng mga pag-aayos sa orasan = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Bilang ng mga pag-aayos sa orasan = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Bilang ng mga pag-aayos sa orasan = 39976800 iba't ibang mga hugis

b) Nagtataka siya kung gaano karaming iba't ibang mga paraan ng pag-order ang umiiral na alam na ang bato ng 12:00 na hawakan ay natatangi at naayos; iyon ay, ang bilang ng mga pag-aayos ng pabilog na kinasasangkutan ng natitirang 11 bato.

Bilang ng mga pag-aayos sa orasan = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Bilang ng mga pag-aayos sa orasan = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Bilang ng mga pag-aayos sa orasan = 3,628,800 iba't ibang mga hugis

c) Sa wakas, ang bilang ng mga paraan upang mag-order ng lahat ng mga bato ay hinahangad maliban sa 12 na bato na naayos, ang 3, 6 at 9 na mga bato na mayroong 3 mga bato na itinalaga sa bawat isa; iyon ay, 3! mga posibilidad ng pag-aayos, at ang bilang ng mga pag-aayos ng pabilog na kinasasangkutan ng natitirang 8 bato.

Bilang ng mga pag-aayos sa orasan = 3! * = 3! * (8-1)

Bilang ng pag-aayos sa orasan = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Bilang ng mga pag-aayos sa orasan = 241920 iba't ibang mga hugis

- Ehersisyo 2

Ang steering committee ng isang kumpanya ay binubuo ng 8 miyembro at nagkita sila sa isang oval table.

a) Gaano karaming iba't ibang mga form ng pag-aayos sa paligid ng mesa ang mayroon ng komite?

b) Ipagpalagay na ang chairman ay nakaupo sa pinuno ng talahanayan sa anumang kaayusan ng komite, gaano karaming iba't ibang mga form ng pag-aayos ang natitira sa natitirang bahagi ng komite?

c) Ipagpalagay na ang bise-presidente at ang kalihim ay nakaupo sa magkabilang panig ng pangulo sa anumang kaayusan ng komite. Gaano karaming iba't ibang mga form ng pag-aayos ang mayroon ng natitirang bahagi ng komite?

Mga Solusyon

a) Nais naming hanapin ang bilang ng iba't ibang mga paraan upang ayusin ang 12 miyembro ng komite sa paligid ng oval table.

N ° ng mga kaayusan ng komite = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

N ° ng mga kaayusan ng komite = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° ng mga kaayusan ng komite = 39976800 iba't ibang anyo

b) Dahil ang komite ng upuan ay matatagpuan sa isang nakapirming posisyon, ang bilang ng mga paraan upang mag-order ng natitirang 11 miyembro ng komite sa paligid ng oval table.

N ° ng mga kaayusan ng komite = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

N ° ng mga kaayusan ng komite = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° ng mga kaayusan ng komite = 3,628,800 iba't ibang anyo

c) Ang pangulo ay matatagpuan sa isang nakapirming posisyon at sa mga panig ay ang bise presidente at ang kalihim na may dalawang posibilidad ng pag-aayos: bise presidente sa kanan at kalihim sa kaliwa o bise presidente sa kaliwa at kalihim sa kanan. Pagkatapos ay nais mong hanapin ang bilang ng iba't ibang mga paraan ng pag-order ng natitirang 9 na miyembro ng komite sa paligid ng oval table at dumami sa pamamagitan ng 2 mga form ng pag-aayos na mayroon ang bise presidente at ang kalihim.

N ° ng mga kaayusan ng komite = 2 * = 2 *

N ° ng mga kaayusan ng komite = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

N ° ng mga kaayusan ng komite = 80640 iba't ibang anyo

Mga Sanggunian

1. Boada, A. (2017). Gumamit ng permutation na may pag-uulit bilang pagtuturo ng mga eksperimento. Vivat Academia Magazine. Nabawi mula sa researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Posibilidad at istatistika. Mga aplikasyon at pamamaraan. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Salamin, G.; Stanley, J. (1996). Mga pamamaraan ng istatistika na hindi inilalapat sa mga agham panlipunan. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Mga Istatistika. Pang-apat na ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ye, Ka. (2007). Posible & Statistics para sa mga inhinyero at siyentipiko. Walong ed. Internasyonal na Serbisyo ng Prentice ng Pearson Education.
6. Webster, A. (2000). Ang mga istatistika na inilalapat sa negosyo at ekonomiya. Pangatlong ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutation. Nabawi mula sa en.wikipedia.org.