POSIBILIDAD NG KONDISYON: PORMULA AT MGA EQUATION, MGA KATANGIAN, MGA HALIMBAWA - DUDAS - 2025

Ang posibilidad ng kondisyon ay ang posibilidad ng paglitaw ng isang tiyak na kaganapan, na ibinigay na ang isa pang nangyayari bilang isang kondisyon. Ang karagdagang impormasyon na ito ay maaaring (o maaaring hindi) baguhin ang pang-unawa na mangyayari ang isang bagay.

Halimbawa, maaari nating tanungin ang ating sarili: "Ano ang posibilidad na mag-ulan ngayon, dahil sa hindi ito umulan ng dalawang araw?" Ang kaganapan kung saan nais naming malaman ang posibilidad ay na umuulan ngayon, at ang karagdagang impormasyon na makakasiguro sa sagot ay "hindi ito umulan ng dalawang araw."

Larawan 1. Ang posibilidad na umuulan ngayon na ibinigay na umulan kahapon ay isa ring halimbawa ng posibilidad na kondisyon. Pinagmulan: Pixabay.

Hayaan ang isang puwang ng posibilidad na binubuo ng Ω (sample space), ℬ (ang random na mga kaganapan) at P (ang posibilidad ng bawat kaganapan), kasama ang mga kaganapan A at B na kabilang sa ℬ.

Ang kondisyon na posibilidad na nangyayari ang A, na ibinigay na naganap ang B, na kung saan ay ipinapahiwatig bilang P (A│B), ay tinukoy bilang sumusunod:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A at B) / P (B)

Kung saan: P (A) ang posibilidad ng paglitaw ng A, P (B) ay ang posibilidad ng kaganapan B at naiiba sa 0, at P (A∩B) ay ang posibilidad ng intersection sa pagitan ng A at B, iyon ay, , ang posibilidad na mangyari ang parehong mga kaganapan (magkasanib na posibilidad).

Ito ay isang expression para sa teorema ng Bayes na inilapat sa dalawang mga kaganapan, na iminungkahi noong 1763 ng teologo ng Ingles at matematiko na si Thomas Bayes.

Ari-arian

-Ang lahat ng posibilidad na may posibilidad ay nasa pagitan ng 0 at 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Ang posibilidad na ang kaganapan A ay nangyayari, na ibinigay na sinabi ng kaganapan ay nangyayari, ay malinaw naman 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Kung dalawa ang mga kaganapan ay eksklusibo, iyon ay, mga kaganapan na hindi maaaring mangyari nang sabay-sabay, kung gayon ang kondisyon na posibilidad na mangyari ang isa sa kanila ay 0, dahil ang intersection ay zero:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Ang B ay isang subset ng A, kung gayon ang kondisyong may posibilidad din ay 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Mahalaga

Ang P (A│B) ay sa pangkalahatan ay hindi katumbas ng P (B│A), samakatuwid dapat tayong mag-ingat na huwag ipagpalitan ang mga kaganapan sa paghahanap ng posibilidad na may posibilidad.

Pangkalahatang panuntunan ng pagdami

Maraming beses na nais mong hanapin ang magkasanib na posibilidad na P (A∩B), sa halip na posibilidad na may posibilidad. Pagkatapos, sa pamamagitan ng sumusunod na theorem mayroon kami:

P (A∩B) = P (A at B) = P (A│B). P (B)

Ang teorya ay maaaring pahabain para sa tatlong mga kaganapan A, B at C:

P (A∩B∩C) = P (A at B at C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

At para sa iba't ibang mga kaganapan, tulad ng A ₁ , A ₂ , A ₃ at higit pa, maaari itong ipahiwatig tulad ng sumusunod:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ )… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

Kapag ito ang kaso ng mga kaganapan na nagaganap nang pagkakasunod-sunod at sa pamamagitan ng iba't ibang mga yugto, maginhawa upang ayusin ang data sa isang diagram o isang mesa. Ginagawa nitong mas madaling mailarawan ang mga pagpipilian ng maabot ang hiniling na posibilidad.

Ang mga halimbawa ay ang diagram ng puno at ang talahanayan ng contingency. Mula sa isa sa kanila maaari kang bumuo ng iba pa.

Mga halimbawa ng posibilidad na kundisyon

Tingnan natin ang ilang mga sitwasyon kung saan ang mga posibilidad ng isang kaganapan ay binago sa paglitaw ng isa pa:

- Halimbawa 1

Ang dalawang uri ng cake ay ibinebenta sa isang matamis na tindahan: presa at tsokolate. Sa pagrehistro ng mga kagustuhan ng 50 mga kliyente ng parehong kasarian, natukoy ang mga sumusunod na halaga:

-27 kababaihan, kung saan 11 mas gusto ang strawberry cake at 16 tsokolate.

-23 kalalakihan: 15 pumili ng tsokolate at 8 presa.

Ang posibilidad na pumili ng isang customer ng isang cake ng tsokolate ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng paglalapat ng panuntunan ni Laplace, alinsunod sa kung saan ang posibilidad ng anumang kaganapan ay:

P = bilang ng mga kanais-nais na kaganapan / kabuuang bilang ng mga kaganapan

Sa kasong ito, sa 50 mga customer, isang kabuuan ng 31 mas gusto ang tsokolate, kaya ang posibilidad ay magiging P = 31/50 = 0.62. Iyon ay, 62% ng mga customer ang ginustong cake ng tsokolate.

Ngunit kakaiba ba kung babae ang kliyente? Ito ay isang kaso ng posibilidad na may posibilidad.

Talahanayan ng contingency

Gamit ang talahanayan ng contingency na tulad nito, ang kabuuan ay madaling ipinakita:

Pagkatapos ay ang mga kanais-nais na kaso ay sinusunod at ang patakaran ni Laplace ay inilalapat, ngunit una naming tinukoy ang mga kaganapan:

-B ay ang "babaeng customer" na kaganapan.

-Ang kaganapan na "ginustong tsokolate" bilang isang babae.

Pumunta kami sa haligi na may tatak na "kababaihan" at doon namin nakita na ang kabuuan ay 27.

Kung gayon ang kanais-nais na kaso ay hinahangad sa hilera na "tsokolate". Mayroong 16 sa mga kaganapang ito, samakatuwid ang posibilidad na hinahangad ay, nang direkta:

P (A│B) = 16/27 = 0.5924

Ang 59.24% ng mga babaeng customer ay ginusto ang cake ng tsokolate.

Tumutugma ang halagang ito kapag pinaghahambing namin ito sa paunang ibinigay na kahulugan ng posibilidad na kundisyon:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Tiyaking ginagamit namin ang panuntunan ni Laplace at ang mga halaga ng talahanayan:

P (B) = 27/50

P (A at B) = 16/50

Kung saan ang P (A at B) ay ang posibilidad na mas gusto ng customer ang tsokolate at isang babae. Ngayon ang mga halaga ay nahalili:

P (A│B) = P (A at B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924.

At napatunayan na pareho ang resulta.

- Halimbawa 2

Sa halimbawang ito, ang tuntunin ng pagpaparami ay nalalapat. Ipagpalagay na mayroong mga pantalon sa tatlong sukat na ipinapakita sa isang tindahan: maliit, katamtaman, at malaki.

Sa isang pulutong na may isang kabuuang 24 pantalon, kung saan mayroong 8 sa bawat laki at lahat ay halo-halong, ano ang posibilidad na kunin ang dalawa sa kanila at pareho silang maliit?

Malinaw na ang posibilidad ng pag-alis ng isang maliit na pantalon sa unang pagtatangka ay 8/24 = 1/3. Ngayon, ang pangalawang pagkuha ay kondisyon sa unang kaganapan, dahil kapag tinanggal ang isang pares ng pantalon, wala nang 24, ngunit 23. At kung ang isang maliit na pantalon ay tinanggal, mayroong 7 sa halip na 8.

Ang Kaganapan A ay kumukuha ng isang maliit na pantalon, na nakuha ang isa pa sa unang pagsubok. At ang kaganapan B ay ang isa na may maliit na pantalon sa unang pagkakataon. Kaya:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Sa wakas, gamit ang multiplikasyong panuntunan:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0.097

Nalutas ang ehersisyo

Sa isang pag-aaral ng oras ng oras sa komersyal na flight sa hangin, magagamit ang sumusunod na data:

-P (B) = 0.83, ay ang posibilidad na ang isang eroplano ay tumatagal sa oras.

-P (A) = 0.81, ay ang posibilidad ng pag-landing sa oras.

-P (B∩A) = 0.78 ang posibilidad na ang flight ay darating sa oras na tatagal sa oras.

Hiniling na makalkula:

a) Ano ang posibilidad na ang eroplano ay makarating sa oras na ibinigay na ito ay tumagal sa oras?

b) Ang posibilidad ba sa itaas ay pareho ng posibilidad na iniwan mo sa oras kung pinamamahalaan mong makarating sa oras?

c) At sa wakas: ano ang posibilidad na darating sa oras na ibinigay na hindi ito iniwan sa oras?

Larawan 2. Ang katuruan sa mga komersyal na flight ay mahalaga, dahil ang pagkaantala ay nakabuo ng milyun-milyong dolyar sa pagkalugi. Pinagmulan: Pixabay.

Solusyon sa

Upang masagot ang tanong ang ginamit na kahulugan ng kondisyon ng posibilidad:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A at B) / P (B) = 0.78 /0.83 = 0.9398

Solusyon b

Sa kasong ito ang mga kaganapan sa kahulugan ay ipinagpapalit:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A at B) / P (A) = 0.78 /0.81 = 0.9630

Tandaan na ang posibilidad na ito ay bahagyang naiiba sa nauna, tulad ng itinuro namin dati.

Solusyon c

Ang posibilidad na hindi umaalis sa oras ay 1 - P (B) = 1 - 0.83 = 0.17, tatawagin natin itong P (B ^C ), sapagkat ito ay ang pantulong na kaganapan na aabutin sa oras. Ang kundisyon ng kondisyon na hinahangad ay:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A at B ^C ) / P (B ^C )

Sa kabilang kamay:

P (A∩B ^C ) = P (landing sa oras) - P (landing sa oras at tumagal sa oras) = ​​0.81-0.78 = 0.03

Sa kasong ito ang hinahangad na probabilidad na hinahangad ay:

P (A│B ^C ) = 0.03 / 0.17 = 0.1765

Mga Sanggunian

1. Canavos, G. 1988. Posibilidad at Mga Istatistika: Aplikasyon at pamamaraan. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Posible at Statistics para sa Engineering at Science. Ika-8. Edisyon. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Series ng Schaum: Posibilidad. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorya ng posibilidad. Ang editorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Posible at Statistics para sa Engineering at Science. Pearson.
6. Wikipedia. Kondisyon na maaaring mangyari. Nabawi mula sa: es.wikipedia.org.