PAG-AARI NG NAUUGNAY: KARAGDAGAN, PAGDARAGDAG, HALIMBAWA, PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang nag-uugnay sa ari-arian ng mga karagdagan ay kumakatawan sa associative katangian ng karagdagan na operasyon sa iba't-ibang mathematical set. Sa loob nito, tatlong (o higit pa) mga elemento ng nasabing mga hanay ay nauugnay, na tinatawag na, b at c, tulad na ito ay palaging totoo:

a + (b + c) = (a + b) + c

Sa ganitong paraan ginagarantiyahan na, anuman ang paraan ng pagpangkat upang isagawa ang operasyon, ang resulta ay pareho.

Larawan 1. Ginagamit namin ang mga pag-aari ng katauhan ng pagdaragdag ng maraming beses kapag gumagawa ng mga operasyon sa aritmetika at algebra. (Pagguhit: freepik Komposisyon: F. Zapata)

Ngunit dapat tandaan na ang ari-arian ng nauugnay ay hindi magkasingkahulugan sa pag-aari ng commutative. Iyon ay, alam natin na ang pagkakasunud-sunod ng mga adagdag ay hindi nagbabago sa kabuuan o na ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay hindi nagbabago sa produkto. Kaya para sa kabuuan maaari itong maisulat tulad nito: a + b = b + a.

Gayunpaman, sa ari-arian ng nauugnay na ito ay naiiba, dahil ang pagkakasunud-sunod ng mga elemento na idaragdag ay pinananatili at kung ano ang mga pagbabago ay ang operasyon na naisagawa muna. Na nangangahulugang ang pagdaragdag muna (b + c) at pagdaragdag ng isang resulta na ito ay hindi mahalaga kaysa sa pagsisimula ng pagdaragdag ng isang sa pagdaragdag ng resulta c.

Maraming mga mahahalagang operasyon tulad ng karagdagan ay kasama, ngunit hindi lahat. Halimbawa, sa pagbabawas ng mga tunay na numero ay nangyayari na:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Kung ang isang = 2, b = 3, c = 1, kung gayon:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Pag-aari ng Kaakibat ng Pagpaparami

Tulad ng ginawa para sa karagdagan, ang pag-aari ng pag-aari ng pagpaparami ay nagsasaad na:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Sa kaso ng hanay ng mga tunay na numero, madaling mapatunayan na palaging ito ang nangyayari. Halimbawa, gamit ang mga halaga ng isang = 2, b = 3, c = 1, mayroon tayo:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Natutupad ng mga tunay na numero ang pag-aari ng magkakaugnay ng pagdaragdag at pagpaparami. Sa kabilang banda, sa isa pang hanay, tulad ng mga vectors, ang kabuuan ay nauugnay, ngunit ang produkto ng cross o vector na produkto ay hindi.

Mga application ng pag-aari ng pag-aari ng pagpaparami

Ang isang bentahe ng mga operasyon kung saan ang katuparan ng pag-aari ay natutupad ay upang makapagpangkat sa pinaka maginhawang paraan. Ginagawa nitong mas madali ang paglutas.

Halimbawa, ipagpalagay na sa isang maliit na silid-aklatan mayroong 3 mga istante na may 5 istante bawat isa. Sa bawat istante mayroong 8 mga libro. Gaano karaming mga libro ang mayroon sa lahat?

Maaari naming isagawa ang operasyon tulad nito: kabuuang mga libro = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 mga libro.

O tulad nito: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 mga libro.

Larawan 2. Ang isang aplikasyon ng pag-aari ng ari-arian ng pagpaparami ay upang makalkula ang bilang ng mga libro sa bawat istante. Larawan na nilikha ni F. Zapata.

Mga halimbawa

-Sa mga hanay ng mga natural, integer, makatuwiran, tunay at kumplikadong mga numero, natutupad ang pag-aari ng pag-aari at pagdaragdag.

Larawan 3. Para sa mga tunay na numero, ang katuparan ng pag-aari ng karagdagan ay natutupad. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

-Para sa mga polynomial ay nag-aaplay din sila sa mga operasyong ito.

-Sa mga kaso ng pagbabawas, paghahati at pagpapatakbo ng exponentiation, ang pag-aari ng pag-uugnay ay hindi hawak para sa mga tunay na numero o polynomial.

-Sa kaso ng mga matrices, ang pag-aari ng katauhan ay natutupad para sa pagdaragdag at pagdaragdag, bagaman sa huli na kaso, ang commutativity ay hindi natutupad. Nangangahulugan ito na, na ibinigay sa mga matris A, B at C, totoo na:

(A x B) x C = A x (B x C)

Ngunit … A x B ≠ B x A

Ang pag-aari ng nauugnay sa mga vectors

Ang mga Vector ay bumubuo ng ibang hanay kaysa sa mga tunay na numero o kumplikadong mga numero. Ang mga operasyon na tinukoy para sa hanay ng mga vectors ay medyo naiiba: mayroong karagdagan, pagbabawas at tatlong uri ng mga produkto.

Ang kabuuan ng mga vectors ay tumutupad sa pag-aari ng nauugnay, tulad ng mga numero, polynomial, at matrice. Tulad ng para sa mga produktong scalar, scalar sa pamamagitan ng vector at cross na ginawa sa pagitan ng mga vectors, hindi ito tinutupad ng huli, ngunit ang produkto ng scalar, na isa pang uri ng operasyon sa pagitan ng mga vectors, ay tinutupad ito, na isinasaalang-alang ang mga sumusunod:

-Ang produkto ng isang scalar at isang vector ay nagreresulta sa isang vector.

-At kapag scalarly pagpaparami ng dalawang vectors, isang resulta ng scalar.

Samakatuwid, dahil sa mga vectors v , u at w, at bukod dito isang scalar λ, posible na magsulat:

- Kabuuan ng mga vektor: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Scalar product: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Ang huli ay posible salamat sa katotohanan na ang v • u ay isang scalar, at ang λ v ay isang vector.

Gayunpaman:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Factorization ng polynomial sa pamamagitan ng pagpangkat ng mga term

Ang application na ito ay napaka-kagiliw-giliw na, dahil tulad ng sinabi bago, ang pag-aari ng pag-aari ay tumutulong upang malutas ang ilang mga problema. Ang kabuuan ng mga monomial ay may kaugnayan at maaari itong magamit para sa factoring kapag ang isang malinaw na karaniwang kadahilanan ay hindi lilitaw sa unang sulyap.

Halimbawa, ipagpalagay na tatanungin ka sa kadahilanan: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Ang polynomial na ito ay walang karaniwang kadahilanan, ngunit tingnan natin kung ano ang mangyayari kung ito ay pinagsama-sama:

Ang unang panaklong ay may isang karaniwang kadahilanan ng ax ² :

Sa pangalawa ang karaniwang kadahilanan ay 3:

Pagsasanay

- Ehersisyo 1

Ang isang gusali ng paaralan ay may 4 na sahig at bawat isa ay may 12 silid-aralan na may 30 mesa sa loob. Ilan ang mga mesa sa kabuuan ng paaralan?

Solusyon

Malutas ang problemang ito sa pamamagitan ng pag-aaplay ng pag-aari ng pag-aari ng pag-aari, tingnan natin:

Kabuuang bilang ng mga mesa = 4 na sahig x 12 silid-aralan / sahig x 30 mga mesa / silid aralan = (4 x 12) x 30 mesa = 48 x 30 = 1440 na mga mesa.

O kung gusto mo: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 mesa

- Ehersisyo 2

Ibinigay ang mga polynomial:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Mag-apply ng pag-aari ng katauhan bilang karagdagan upang makahanap ng A (x) + B (x) + C (x).

Solusyon

Maaari mong pangkatin ang unang dalawa at idagdag ang pangatlo sa resulta:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Agad na idinagdag ang polynomial C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Maaaring mapatunayan ng mambabasa na magkatulad ang resulta kung malulutas ito ng pagpipilian A (x) +.

Mga Sanggunian

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Masaya ang matematika.Mga Batas sa Komunidad, Kaakibat at Pamamahagi ng Mga Batas. Nabawi mula sa: mathisfun.com.
3. Gawaan ng bodega ng matematika. Kahulugan ng Kaakibat na Pag-aari. Nabawi mula sa: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Associative & Commutative Property of Addition & Multiplication (Sa Mga Halimbawa). Nabawi mula sa: sciencing.com.
5. Wikipedia. Mga nauugnay na pag-aari. Nabawi mula sa: en.wikipedia.org.