- Mga kilalang produkto at halimbawa
- Binomial na parisukat
- Produkto ng conjugated binomials
- Produkto ng dalawang binomials na may isang karaniwang term
- Mga parisukat na polynomial
- Binomial cubed
- Cube ng isang trinomial
- Malutas na pagsasanay ng mga kilalang produkto
- Ehersisyo 1
- Solusyon
- Mag-ehersisyo 2
- Solusyon
- Mga Sanggunian
Ang mga kamangha-manghang produkto ay mga operasyon ng algebra, kung saan ang pagpaparami ng mga polynomial ay ipinahayag, na hindi kailangang malutas nang ayon sa kaugalian, ngunit sa tulong ng ilang mga patakaran ang mga resulta ng pareho ay matatagpuan.
Ang mga polynomial ay pinarami ng oo, samakatuwid posible na mayroon silang isang malaking bilang ng mga term at variable. Upang gawing mas maikli ang proseso, ang mga kilalang patakaran ng produkto ay ginagamit, na nagpapahintulot sa pagpaparami nang hindi kinakailangang pumunta sa pamamagitan ng term.
Mga kilalang produkto at halimbawa
Ang bawat kilalang produkto ay isang pormula na nagreresulta mula sa isang factorization, na binubuo ng mga polynomial ng ilang mga termino, tulad ng binomial o trinomials, na tinatawag na mga kadahilanan.
Ang mga kadahilanan ay ang batayan ng isang kapangyarihan at may isang exponent. Kapag dumarami ang mga kadahilanan, dapat idagdag ang mga exponents.
Mayroong maraming mga kamangha-manghang mga formula ng produkto, ang ilan ay mas ginagamit kaysa sa iba, depende sa mga polynomial, at ang mga ito ang sumusunod:
Binomial na parisukat
Ito ay ang pagpaparami ng isang binomial mismo, na ipinahayag bilang isang kapangyarihan, kung saan ang mga term ay idinagdag o bawas:
sa. Binumial ang square square : ito ay katumbas ng parisukat ng unang termino, kasama ang dalawang beses sa produkto ng mga termino, kasama ang parisukat ng pangalawang termino. Ito ay ipinahayag tulad ng sumusunod:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Sa sumusunod na figure maaari mong makita kung paano ang produkto ay bubuo alinsunod sa nabanggit na panuntunan. Ang resulta ay tinatawag na trinomial ng isang perpektong parisukat.
Halimbawa 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Halimbawa 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Binomial ng isang parisukat na pagbabawas: ang parehong patakaran ng binomial ng isang kabuuan ay nalalapat, sa kasong ito ang pangalawang termino ay negatibo. Ang pormula nito ay ang mga sumusunod:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
Halimbawa 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Produkto ng conjugated binomials
Ang dalawang binomials ay pinagsama-samang kapag ang pangalawang termino ng bawat isa ay may magkakaibang mga palatandaan, iyon ay, ang una ay positibo at ang pangalawang negatibo o kabaligtaran. Malulutas ito sa pamamagitan ng pag-squaring ng bawat monomial at pagbabawas. Ang pormula nito ay ang mga sumusunod:
(isang + b) * (a - b)
Sa sumusunod na figure ang produkto ng dalawang conjugated binomials ay binuo, kung saan napapansin na ang resulta ay isang pagkakaiba-iba ng mga parisukat.
Halimbawa 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Produkto ng dalawang binomials na may isang karaniwang term
Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikado at bihirang gumamit ng mga kilalang produkto dahil ito ay isang pagdami ng dalawang binomials na may isang karaniwang term. Ang panuntunan ay nagsasaad ng mga sumusunod:
- Ang parisukat ng karaniwang term.
- Dagdagan ang kabuuan ng mga term na hindi pangkaraniwan at pagkatapos ay palakihin ang mga ito sa karaniwang term.
- Dagdag pa ang kabuuan ng pagpaparami ng mga term na hindi pangkaraniwan.
Ito ay kinakatawan sa pormula: (x + a) * (x + b) at nabuo tulad ng ipinapakita sa imahe. Ang resulta ay isang hindi perpektong parisukat na trinomial.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
May posibilidad na ang pangalawang termino (ang magkakaibang term) ay negatibo at ang pormula nito ay ang mga sumusunod: (x + a) * (x - b).
Halimbawa 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Maaari rin itong mangyari na ang parehong magkakaibang mga term ay negatibo. Ang pormula nito ay: (x - a) * (x - b).
Halimbawa 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Mga parisukat na polynomial
Sa kasong ito mayroong higit sa dalawang termino at upang mabuo ito, ang bawat isa ay parisukat at idinagdag kasama ang dalawang beses sa pagpaparami ng isang term sa isa pa; ang pormula nito ay: (a + b + c) 2 at ang resulta ng operasyon ay isang parisukat na trinomial.
Halimbawa 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomial cubed
Ito ay isang kamangha-manghang kumplikadong produkto. Upang mabuo ito, ang binomial ay pinarami ng parisukat nito, tulad ng sumusunod:
sa. Para sa binomial cubed ng isang kabuuan:
- Ang kubo ng unang termino, kasama ang triple ang parisukat ng unang term na beses sa pangalawa.
- Dagdag pa ang triple ng unang term, beses sa pangalawang parisukat.
- Dagdag pa ang kubo ng pangalawang termino.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(isang + b) 3 = (a + b) * (isang 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
Halimbawa 1
(isang + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(isang + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(isang + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Para sa binomial cubed ng isang pagbabawas:
- Ang kubo ng unang termino, minus tatlong beses sa parisukat ng unang term na beses sa pangalawa.
- Dagdag pa ang triple ng unang term, beses sa pangalawang parisukat.
- Minus ang kubo ng pangalawang termino.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Halimbawa 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Cube ng isang trinomial
Ito ay binuo sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa pamamagitan ng parisukat nito. Ito ay isang napakalaking kapansin-pansin na produkto dahil mayroon kang 3 term na cubed, kasama ang tatlong beses sa bawat term na parisukat, pinarami ng bawat isa sa mga termino, kasama ang anim na beses na produkto ng tatlong termino. Nakita sa isang mas mahusay na paraan:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(isang + b + c) 3 = (a + b + c) * (isang 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Halimbawa 1
Malutas na pagsasanay ng mga kilalang produkto
Ehersisyo 1
Palawakin ang sumusunod na binomial cubed: (4x - 6) 3 .
Solusyon
Ang pag-alala na ang isang binomial cubed ay katumbas ng unang term na cubed, minus tatlong beses sa parisukat ng unang term na beses sa pangalawa; kasama ang triple ng unang term, beses sa pangalawang parisukat, minus ang kubo ng pangalawang termino.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Mag-ehersisyo 2
Paunlarin ang sumusunod na binomial: (x + 3) (x + 8).
Solusyon
May binomial kung saan mayroong isang karaniwang term, na x at ang pangalawang term ay positibo. Upang mabuo ito, kailangan mo lamang parisukat ang karaniwang termino, kasama ang kabuuan ng mga term na hindi pangkaraniwan (3 at 8) at pagkatapos ay palakihin ang mga ito sa pamamagitan ng karaniwang termino, kasama ang kabuuan ng pagpaparami ng mga term na hindi pangkaraniwan.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Mga Sanggunian
- Anghel, AR (2007). Elementong Algebra. Edukasyon sa Pearson ,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra at trigonometrya na may analytical geometry. Edukasyon sa Pearson.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. United Kingdom: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Pang-elemental at Intermediate Algebra: Isang Pinagsamang Diskarte. Florida: Pag-aaral ng Cengage.
- Pérez, CD (2010). Edukasyon sa Pearson.