MGA PAGKAKASUNUD-SUNOD NG PARISUKAT: MGA HALIMBAWA, PANUNTUNAN AT NALUTAS NA PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga tagumpay ng Quadratic , sa mga term na pang-matematika, ay binubuo ng mga pagkakasunud-sunod ng mga numero na sumusunod sa isang tiyak na panuntunan aritmetika. Ito ay kagiliw-giliw na malaman ang panuntunang ito upang matukoy ang alinman sa mga termino ng isang pagkakasunud-sunod.

Ang isang paraan upang gawin ito ay upang matukoy ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkakasunod na termino at tingnan kung ang halaga na nakuha ay palaging paulit-ulit. Kapag ito ang kaso, sinasabing isang regular na pagkakasunod-sunod.

Ang mga pagkakasunud-sunod ng numero ay isang paraan ng pag-aayos ng mga pagkakasunud-sunod ng mga numero. Pinagmulan: pixabay.com

Ngunit kung hindi nito ulitin ang sarili nito, maaari mong subukang suriin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga pagkakaiba at makita kung ang halaga na ito ay pare-pareho. Kung gayon, kung gayon ito ay isang pagkakasunod-sunod na pagkakasunud-sunod .

Mga halimbawa ng mga regular na pagkakasunud-sunod at pagkakasunud-sunod ng parisukat

Ang mga sumusunod na halimbawa ay makakatulong na linawin kung ano ang ipinaliwanag sa ngayon:

Halimbawa ng regular na sunud-sunod

Hayaan ang pagkakasunud-sunod ng S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Ang pagkakasunud-sunod na ito, na tinukoy ng S, ay isang walang-katapusang hanay ng numero, sa kasong ito ng mga integer.

Makikita na ito ay isang regular na pagkakasunud-sunod, dahil ang bawat term ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng 3 sa nakaraang term o elemento:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Sa madaling salita: ang pagkakasunud-sunod na ito ay regular dahil ang pagkakaiba sa pagitan ng susunod na term at ang nakaraang isa ay nagbibigay ng isang nakapirming halaga. Sa halimbawang ibinigay ang halagang ito ay 3.

Ang mga regular na pagkakasunud-sunod na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang nakapirming dami sa nakaraang term ay tinatawag ding mga pag-unlad na aritmetika. At ang pagkakaiba -constant- sa pagitan ng sunud-sunod na mga termino ay tinatawag na ratio at tinukoy bilang R.

Halimbawa ng pagkakasunud-sunod na hindi regular at parisukat

Tingnan ngayon ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Kapag ang mga sunud-sunod na pagkakaiba ay kinakalkula, ang mga sumusunod na halaga ay nakuha:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Ang kanilang pagkakaiba ay hindi pare-pareho, kaya masasabi na ito ay HINDI regular na pagkakasunud-sunod.

Gayunpaman, kung isasaalang-alang namin ang hanay ng mga pagkakaiba-iba, mayroon kaming isa pang pagkakasunud-sunod, na kung saan ay isinasaalang-alang bilang S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Ang bagong pagkakasunud-sunod na ito ay isang regular na pagkakasunud-sunod, dahil ang bawat term ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng naayos na halaga R = 2 sa nauna. Iyon ang dahilan kung bakit maaari nating kumpirmahin na ang S ay isang parisukat na pagkakasunud-sunod.

Pangkalahatang panuntunan para sa pagtatayo ng isang pagkakasunud-sunod ng pagkakasunod-sunod

Mayroong pangkalahatang pormula upang mabuo ang pagkakasunud-sunod na parisukat:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

Sa pormula na ito, ang T _n ay ang term sa posisyon n ng pagkakasunud-sunod. Ang A, B at C ay mga nakapirming halaga, habang magkakaiba-iba ang isa, iyon ay, 1, 2, 3, 4, …

Sa pagkakasunud-sunod ng S ng nakaraang halimbawa A = 1, B = 1 at C = 0. Mula doon ay sumusunod na ang pormula na bumubuo ng lahat ng mga termino ay: T _n = n ² + n

Na ibig sabihin:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkakasunod na termino ng isang magkakasunod na pagkakasunud-sunod

T _{n + 1} - T _n = -

Ang pagbuo ng ekspresyon sa pamamagitan ng kamangha-manghang produkto ay nananatili:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Sa pamamagitan ng pagpapadali nito, makakakuha ka:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Ito ang pormula na nagbibigay ng pagkakasunud-sunod ng mga pagkakaiba-iba ng S _Pagkakaiba na maaaring isulat tulad nito:

Pagkakaiba _n = A ∙ (2n + 1) + B

Kung saan malinaw ang susunod na term ay 2 ∙ Minsan ang nauna. Iyon ay, ang ratio ng pagkakasunod-sunod ng mga pagkakaiba S _diff ay: R = 2 ∙ A.

Malutas ang mga problema ng mga pagkakasunud-sunod ng kuwadratik

Ehersisyo 1

Hayaan ang pagkakasunud-sunod ng S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Alamin kung:

i) Regular ba o hindi

ii) Ito ba ay quadratic o hindi

iii) Ito ay parisukat, ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkakaiba-iba at ang kanilang ratio

Mga sagot

i) Alamin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga sumusunod at mga naunang termino:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Maaari naming kumpirmahin na ang pagkakasunud-sunod ng S ay hindi regular, dahil ang pagkakaiba sa pagitan ng sunud-sunod na mga term ay hindi pare-pareho.

ii) Ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkakaiba ay regular, dahil ang pagkakaiba sa pagitan ng mga termino nito ay ang patuloy na halaga 2. Samakatuwid, ang orihinal na pagkakasunud-sunod ng S ay parisukat.

iii) Natukoy na namin na ang S ay parisukat, ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkakaiba ay:

S _dif = {2, 4, 6, 8, …} at ang ratio nito ay R = 2.

Mag-ehersisyo 2

Hayaan ang pagkakasunud-sunod ng S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} mula sa nakaraang halimbawa, kung saan napatunayan na ito ay quadratic. Alamin:

i) Ang pormula na tumutukoy sa pangkalahatang termino T _n.

ii) Suriin ang pangatlo at ikalimang termino.

iii) Ang halaga ng ikasampung term.

Mga sagot

i) Ang pangkalahatang pormula ng T _n ay A ∙ n ² + B ∙ n + C. Pagkatapos ay nananatili itong malaman ang mga halaga ng A, B at C.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkakaiba ay may ratio 2. Bukod dito, para sa anumang pagkakasunud-sunod na parisukat na ratio ng R ay 2 ∙ A tulad ng ipinakita sa mga nakaraang mga seksyon.

R = 2 ∙ A = 2 na humahantong sa amin upang tapusin na A = 1.

Ang unang termino ng pagkakasunud-sunod ng pagkakaiba ng S _Pagkakaiba ay 2 at dapat masiyahan ang A ∙ (2n + 1) + B, kasama ang n = 1 at A = 1, iyon ay:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

paglutas para sa B natamo namin: B = -1

Kung gayon ang unang termino ng S (n = 1) ay nagkakahalaga ng 1, iyon ay: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Tulad nang nalalaman natin na ang A = 1 at B = -1, ang kahalili natin:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Ang paglutas para sa C ay nakukuha namin ang halaga nito: C = 1.

Sa buod:

A = 1, B = -1 at C = 1

Pagkatapos ang nth term ay magiging T _n = n ² - n + 1

ii) Ang pangatlong termino T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 at napatunayan ito. Ang ikalimang T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 na napatunayan din.

iii) Ang ikasampung term ay magiging T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Mag-ehersisyo 3

Sequence ng mga lugar para sa Ehersisyo 3. Pinagmulan: sariling pagpapaliwanag.

Ang figure ay nagpapakita ng isang pagkakasunud-sunod ng limang mga figure. Ang sala-sala ay kumakatawan sa yunit ng haba.

i) Alamin ang pagkakasunud-sunod para sa lugar ng mga figure.

ii) Ipakita na ito ay isang pagkakasunod-sunod na pagkakasunud-sunod.

iii) Hanapin ang lugar ng Larawan # 10 (hindi ipinakita).

Mga sagot

i) Ang pagkakasunud-sunod ng S na naaayon sa lugar ng pagkakasunud-sunod ng mga figure ay:

S = {0, 2, 6, 12, 20,. . . . . }

ii) Ang pagkakasunud-sunod na naaayon sa magkakasunod na pagkakaiba ng mga termino ng S ay:

S _diff = {2, 4, 6, 8,. . . . . }

Dahil ang pagkakaiba sa pagitan ng magkakasunod na termino ay hindi palaging, kung gayon ang S ay hindi isang regular na pagkakasunud-sunod. Ito ay nananatiling malaman kung ito ay parisukat, kung saan muli nating ginagawa ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkakaiba, pagkamit:

{2, 2, 2, …….}

Dahil ang lahat ng mga term ng pag-uulit ng pagkakasunud-sunod, nakumpirma na ang S ay isang parisukat na pagkakasunud-sunod.

iii) Ang pagkakasunud-sunod ng S _dif ay regular at ang ratio nito R ay 2. Gamit ang equation na ipinakita sa itaas R = 2 ∙ A, nananatili ito:

2 = 2 ∙ A, na nagpapahiwatig na A = 1.

Ang pangalawang termino ng pagkakasunud-sunod ng pagkakaiba ng S _Pagkakaiba ay 4 at ang pang-unang termino ng S _Dif ay

A ∙ (2n + 1) + B

Ang pangalawang term ay may n = 2. Bilang karagdagan, natukoy na ang A = 1, kaya ang paggamit ng nakaraang equation at pagpapalit na mayroon kami:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Paglutas para sa B, nakukuha namin: B = -1.

Ito ay kilala na ang pangalawang termino ng S ay nagkakahalaga ng 2, at dapat itong tuparin ang pormula ng pangkalahatang term na may n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Na ibig sabihin

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Napagpasyahan na ang C = 0, ibig sabihin na ang pormula na nagbibigay ng pangkalahatang term ng pagkakasunud-sunod ng S ay:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Ngayon ang ikalimang termino ay napatunayan:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Larawan # 10, na hindi pa iginuhit dito, ay magkakaroon ng lugar na naaayon sa ikasampung term ng pagkakasunud-sunod ng S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Mga Sanggunian

1. https://www.geogebra.org