VECTOR: MGA KATANGIAN AT KATANGIAN, ELEMENTO, URI, HALIMBAWA - SCIENCE - 2025

Ang mga vector ay matematika entidad na may pangkalahatang sinamahan ng isang yunit ng pagsukat -positiva-magnitude at direksyon nang maayos. Ang mga nasabing katangian ay angkop na mailalarawan ang mga pisikal na dami tulad ng bilis, puwersa, pagbilis, at marami pa.

Sa mga vectors posible na magsagawa ng mga operasyon tulad ng karagdagan, pagbabawas at mga produkto. Ang dibisyon ay hindi tinukoy para sa mga vectors at para sa produkto, mayroong tatlong mga klase na ilalarawan namin sa ibang pagkakataon: dot product o point, vector product o cross at produkto ng isang scalar ng isang vector.

Larawan 1. Ang mga elemento ng isang vector. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Upang lubos na ilarawan ang isang vector, dapat ipahiwatig ang lahat ng mga katangian nito. Ang magnitude o module ay isang halaga ng numero na sinamahan ng isang yunit, habang ang direksyon at pang-unawa ay itinatag sa tulong ng isang coordinate system.

Tingnan natin ang isang halimbawa: ipagpalagay na ang isang eroplano ay lumilipad mula sa isang lungsod patungo sa isa pa sa rate na 850 km / h sa isang direksyon ng NE. Narito mayroon kaming isang ganap na tinukoy na vector, dahil ang lakas ay magagamit: 850 km / h, habang ang direksyon at kahulugan ay NE.

Ang mga Vector ay karaniwang kinakatawan ng graph sa pamamagitan ng mga oriented na mga segment ng linya, na ang haba ay proporsyonal sa magnitude.

Habang tinukoy ang direksyon at ang kahulugan ng isang linya ng sanggunian ay kinakailangan, na kung saan ay karaniwang pahalang na axis, bagaman ang hilaga ay maaari ring kunin bilang isang sanggunian, ganito ang kaso ng bilis ng eroplano:

Larawan 2. Isang velcity vector. Pinagmulan: F. Zapata.

Ipinapakita ng figure ang bilis ng vector ng eroplano, na tinukoy bilang v sa naka- bold na uri , upang makilala ito mula sa isang dami ng scalar, na nangangailangan lamang ng isang numerical na halaga at ilang unit na tinukoy.

Mga Elemento ng isang vector

Tulad ng sinabi namin, ang mga elemento ng vector ay:

-Magnitude o module, kung minsan ay tinatawag ding ganap na halaga o kaugalian ng vector.

-Address

-Sense

Sa halimbawa sa Figure 2, ang modulus ng v ay 850 km / h. Ang modulus ay minarkahan bilang v nang walang naka-bold, o bilang - v -, kung saan ang mga bar ay kumakatawan sa ganap na halaga.

Ang direksyon ng v ay tinukoy na may kaugnayan sa North. Sa kasong ito ay 45º Hilaga ng Silangan (45º NE). Sa wakas ang dulo ng arrow ay nagpapaalam tungkol sa kamalayan ng v .

Sa halimbawang ito, ang pinagmulan ng vector ay iginuhit nang magkakasabay sa pinagmulan O ng sistema ng coordinate, ito ay kilala bilang isang naka-link na vector. Sa kabilang banda, kung ang pinagmulan ng vector ay hindi nag-tutugma sa sangguniang sistema, sinasabing isang libreng vector.

Dapat pansinin na upang lubos na tukuyin ang vector, ang tatlong sangkap na ito ay dapat pansinin, kung hindi man ay hindi kumpleto ang paglalarawan ng vector.

Parihabang bahagi ng isang vector

Larawan 3. Rectangular na bahagi ng isang vector sa eroplano. Pinagmulan: Wikimedia Commons. uranther

Sa imahe ibabalik namin ang aming halimbawa na vector v , na nasa xy eroplano.

Madaling makita na ang mga projection ng v sa x at y coordinate axes ay matukoy ang isang tamang tatsulok. Ang mga projection na ito ay v _{y at} v _x at tinatawag na mga parihabang bahagi ng v .

Ang isang paraan upang maipahiwatig ang v sa pamamagitan ng mga parihabang bahagi nito ay tulad nito: v =x, v _at >. Ang mga bracket na ito ay ginagamit sa halip na mga panaklong upang bigyang-diin ang katotohanan na ito ay isang vector at hindi isang panahon, dahil sa kasong ito ay gagamitin ang mga panaklong.

Kung ang vector ay nasa three-dimensional space, kailangan pa ng isang sangkap, kaya't:

v =x, v _y , v _z >

Pag-alam ang mga hugis-parihaba bahagi ng magnitude ng vector ay kinakalkula, katumbas ng paghahanap ng hypotenuse ng right triangle na ang mga binti ay v _x at v _{at ,.} Sa pamamagitan ng teorema ng Pythagorean ay sumusunod ito na:

Polar form ng isang vector

Kapag ang kalakhan ng vector - v - at ang anggulo θ na ginagawa nito gamit ang sanggunian ng sanggunian, sa pangkalahatan ang pahalang na axis, ay kilala, ang vector ay tinukoy din. Ang vector ay pagkatapos ay sinabi na ipinahayag sa polar form.

Ang mga parihabang bahagi sa kasong ito ay madaling kinakalkula:

Ayon sa nasa itaas, ang mga hugis-parihaba na bahagi ng bilis ng vector v ng eroplano ay:

Mga Uri

Mayroong maraming mga uri ng mga vectors. Mayroong mga vectors ng bilis, posisyon, pag-aalis, puwersa, electric field, momentum, at marami pa. Tulad ng nasabi na namin, sa pisika ay mayroong isang malaking bilang ng mga dami ng vector.

Tungkol sa mga vectors na may ilang mga katangian, maaari nating banggitin ang mga sumusunod na uri ng mga vectors:

-Null : ito ang mga vectors na ang kalakhan ay 0 at kung saan ay ipinapahiwatig bilang 0. Alalahanin na ang naka-bold na titik ay sumisimbolo sa tatlong pangunahing mga katangian ng isang vector, habang ang normal na titik ay kumakatawan lamang sa module.

Halimbawa, sa isang katawan sa static na balanse, ang kabuuan ng mga puwersa ay dapat na isang null vector.

- Libre at naka-link : ang mga libreng vectors ay yaong ang mga puntong pinagmulan at pagdating ay anumang pares ng mga puntos sa eroplano o puwang, hindi katulad ng mga naka-link na mga vektor, na ang pinagmulan ay nag-tutugma sa na ng sangguniang sistema na ginamit upang ilarawan ang mga ito.

Ang mag-asawa o sandali na ginawa ng isang pares ng mga puwersa ay isang mabuting halimbawa ng isang libreng vector, dahil ang mag-asawa ay hindi nalalapat sa anumang partikular na punto.

- Equipolentes : ang mga ito ay dalawang libreng vectors na nagbabahagi ng magkatulad na katangian. Samakatuwid mayroon silang pantay na kadahilanan, direksyon at kahulugan.

- Coplanar o coplanar : mga vectors na kabilang sa parehong eroplano.

- Mga oposisyon : vectors na may parehong laki at direksyon, ngunit sa kabaligtaran ng mga direksyon. Ang vector sa tapat ng isang vector v ay ang vector - v at ang kabuuan ng pareho ay ang null vector: v + (- v ) = 0 .

- Kasabay : mga vektor na ang mga linya ng pagkilos ay dumaan sa parehong punto.

- Mga Slider : ay ang mga vectors na ang point ng aplikasyon ay maaaring slide sa isang partikular na linya.

- Collinear : vectors na matatagpuan sa parehong linya.

- Unitary : mga vectors na ang module ay 1.

Mga vectors ng yunit ng orthogonal

Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na uri ng vector sa pisika na tinatawag na isang orthogonal unit vector. Ang vector ng yunit ng orthogonal ay may module na katumbas ng 1 at ang mga yunit ay maaaring maging anumang, halimbawa sa mga bilis, posisyon, puwersa o iba pa.

Mayroong isang hanay ng mga espesyal na vectors na makakatulong upang madaling kumatawan sa iba pang mga vectors at upang maisagawa ang mga operasyon sa kanila: sila ang mga orthogonal unit vectors i , j at k , yunit at patayo sa bawat isa.

Sa dalawang sukat, ang mga vectors na ito ay nakadirekta kasama ang positibong direksyon ng parehong x-axis at y-axis. At sa tatlong sukat ng isang yunit ng vector ay idinagdag sa direksyon ng positibong z axis. Ang mga ito ay kinakatawan bilang mga sumusunod:

i = <1, 0.0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Ang isang vector ay maaaring kinakatawan ng mga unit vectors i , j at k tulad ng sumusunod:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Halimbawa, ang bilis ng vector v sa mga nakaraang halimbawa ay maaaring isulat bilang:

v = 601.04 i + 601.04 j km / h

Ang sangkap sa k ay hindi kinakailangan, dahil ang vector na ito ay nasa eroplano.

Karagdagan ng Vector

Ang kabuuan ng mga vectors ay madalas na lumilitaw sa iba't ibang mga sitwasyon, halimbawa kung nais mong hanapin ang resulta ng puwersa sa isang bagay na apektado ng iba't ibang mga puwersa. Upang magsimula, ipagpalagay na mayroon kaming dalawang libreng vectors u at v sa eroplano, tulad ng ipinapakita sa sumusunod na pigura sa kaliwa:

Larawan 4. Ang grapikong kabuuan ng dalawang vectors. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Agad itong maingat na inilipat sa vector v , nang hindi binabago ang kalakhan, direksyon, o kahulugan nito, upang ang pinagmulan nito ay nagkakasabay sa pagtatapos ng u .

Ang vector kabuuan ay tinatawag na w at iguguhit simula sa u pagtatapos sa v , ayon sa tamang figure. Mahalagang tandaan na ang laki ng vector w ay hindi kinakailangan ang kabuuan ng mga magnitude ng v at u .

Kung maisip mo ito nang mabuti, ang tanging oras na ang kadakilaan ng nagreresultang vector ay ang kabuuan ng mga magnitude ng mga adagdag ay ang parehong mga pagdaragdag ay nasa parehong direksyon at may parehong kahulugan.

At ano ang mangyayari kung ang mga vectors ay hindi libre? Napakadaling idagdag ang mga ito. Ang paraan upang gawin ito ay sa pamamagitan ng pagdaragdag ng sangkap sa sangkap, o pamamaraan ng analitikal.

Bilang isang halimbawa, isaalang-alang natin ang mga vectors sa sumusunod na pigura, ang unang bagay ay upang ipahayag ang mga ito sa isa sa mga paraan ng Cartesian na dati nang ipinaliwanag:

Larawan 5. Kabuuan ng dalawang naka-link na vectors. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

Upang makuha ang x-sangkap ng sum vector w , idagdag ang kani-kanilang x-sangkap ng v at u : w _x = 5 + 2 = 7. At upang makuha ang isang _y isang pagkakatulad na pamamaraan ay sinusunod: w _y = 1 + 3. Kaya:

u = <7.4>

Mga katangian ng pagdaragdag ng vector

-Ang kabuuan ng dalawa o higit pang mga vector ay nagreresulta sa isa pang vector.

-Ako ay commutative, ang pagkakasunud-sunod ng mga adagdag ay hindi nagbabago ng kabuuan, sa paraang:

u + v = v + u

- Ang neutral na elemento ng kabuuan ng mga vectors ay ang null vector: v + 0 = v

- Ang pagbabawas ng dalawang vectors ay tinukoy bilang ang kabuuan ng kabaligtaran: v - u = v + (-u)

Mga halimbawa ng Vector

Tulad ng sinabi namin, maraming mga dami ng vector sa pisika. Kabilang sa mga pinakamahusay na kilala ay:

-Posisyon

-Pag-iisa

-Ang average na bilis at instant instant

-Ang bilis

-Tindi

-Ang dami ng kilusan

-Torque o sandali ng isang puwersa

-Ako

-Electric na patlang

-Magnetic field

-Magnetic sandali

Sa kabilang banda, hindi sila mga vektor ngunit mga scalars:

-Weather

-Mass

-Temperature

-Volume

-Densidad

-Mekanikal na gawain

-Energy

-Hindi

-Malakas

-Boltahe

-Electric kasalukuyang

Iba pang mga operasyon sa pagitan ng mga vectors

Bilang karagdagan sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga vectors, mayroong tatlong iba pang napakahalagang operasyon sa pagitan ng mga vectors, sapagkat pinalalaki nila ang bagong napakahalagang pisikal na dami:

-Produksyon ng isang scalar ng isang vector.

-Ang dot product o tuldok na produkto sa pagitan ng mga vectors

-At ang cross o vector na produkto sa pagitan ng dalawang vectors.

Produkto ng isang scalar at isang vector

Isaalang-alang ang pangalawang batas ni Newton, na nagsasaad na ang puwersa F at ang pagpabilis ng isang proporsyonal. Ang pare-pareho ng proporsyonalidad ay ang masa m ng bagay, samakatuwid:

F = m. sa

Ang masa ay isang anit; para sa kanilang bahagi, lakas at pagpabilis ay mga vectors. Dahil ang lakas ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng masa sa pamamagitan ng pabilis, ito ay ang resulta ng produkto ng isang scalar at isang vector.

Ang ganitong uri ng produkto ay palaging nagreresulta sa isang vector. Narito ang isa pang halimbawa: ang dami ng paggalaw. Hayaan ang P ang momentum vector, v ang bilis ng vector, at tulad ng dati, m ay ang masa:

P = m. v

Ang produkto ng tuldok o produkto ng tuldok sa pagitan ng mga vectors

Inilagay namin ang gawaing mekanikal sa listahan ng dami na hindi mga vectors. Gayunpaman, ang trabaho sa pisika ay ang resulta ng isang operasyon sa pagitan ng mga vectors na tinatawag na scalar product, panloob na produkto o produkto ng tuldok.

Hayaan ang mga vectors v at u , tukuyin ang tuldok o scalar na produkto sa pagitan ng mga ito bilang:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Kung saan θ ang anggulo sa pagitan ng dalawa. Mula sa equation na ipinakita ay sumusunod kaagad na ang resulta ng produkto ng tuldok ay isang anit at din na kung ang parehong mga vectors ay patayo, 0 ang kanilang tuldok na produkto ay 0.

Bumalik sa gawaing mekanikal W, ito ang produkto ng scalar sa pagitan ng puwersa ng vector F at ang pag-aalis ng vector ℓ .

Kapag ang mga vectors ay magagamit sa mga tuntunin ng kanilang mga sangkap, ang produkto ng tuldok ay napakadali upang makalkula. Kung v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, ang dot product sa pagitan ng dalawa ay:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Ang produkto ng tuldok sa pagitan ng mga vectors ay commutative, samakatuwid:

v ∙ u = u ∙ v

Ang produkto ng cross o produkto ng vector sa pagitan ng mga vectors

Kung v at u ang aming dalawang halimbawa ng mga vectors, tinukoy namin ang produkto ng vector bilang:

v x u = w

Sumusunod kaagad na ang produkto ng cross ay nagreresulta sa isang vector, na ang modulus ay tinukoy bilang:

Kung saan θ ang anggulo sa pagitan ng mga vectors.

Ang produkto ng cross ay hindi commutative, samakatuwid v x u ≠ u x v. Sa katunayan v x u = - (u x v).

Kung ang dalawang halimbawa ng mga vectors ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga yunit ng vector, ang pagkalkula ng produkto ng vector ay pinadali:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Mga produkto ng cross sa pagitan ng mga vectors ng yunit

Ang produkto ng cross sa pagitan ng magkaparehong mga vectors ng yunit ay zero, dahil ang anggulo sa pagitan nila ay 0º. Ngunit sa pagitan ng iba't ibang mga vectors ng yunit, ang anggulo sa pagitan nila ay 90º at kasalanan 90º = 1.

Ang sumusunod na diagram ay tumutulong upang mahanap ang mga produktong ito. Sa direksyon ng arrow ito ay may positibong direksyon at sa kabilang direksyon na negatibo:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Ang paglalapat ng pamamahagi ng pamamahagi, na may bisa pa rin para sa mga produkto sa pagitan ng mga vectors kasama ang mga katangian ng mga yunit ng vector, mayroon kaming:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Malutas na ehersisyo

- Ehersisyo 1

Ibinigay ang mga vectors:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Ano ang dapat gawin ng vector w para sa kabuuan v + u + w na maging 6 i +8 j -10 k ?

Solusyon

Samakatuwid, dapat itong matupad na:

Ang sagot ay: w = 9 i +7 j - 18 k

- Ehersisyo 2

Ano ang anggulo sa pagitan ng mga vectors v at u sa Exercise 1?

Solusyon

Gagamitin namin ang produkto ng tuldok. Mula sa kahulugan na mayroon kami:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Pagsusulat ng mga halagang ito:

Mga Sanggunian

1. Figueroa, D. (2005). Serye: Physics para sa Science at Engineering. Dami 1. Kinematics. Na-edit ni Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Pisika: Mga Prinsipyo na may Aplikasyon. Ika-6. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Mga Batayan ng Pisika. Pearson.
4. Mga Luha, Zemansky. 2016. Unibersidad sa Unibersidad na may Makabagong Pisika. Ika-14. Ed. Tomo 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Physics para sa Science at Engineering. Dami 1. ika-7. Ed Cengage Learning.