NON-COPLANAR VECTORS: KAHULUGAN, KUNDISYON, EHERSISYO - PISIKAL - 2025

Ang mga non - coplanar vectors ay ang mga hindi nagbabahagi ng parehong eroplano. Dalawang libreng vectors at isang punto ang tumutukoy sa isang eroplano. Ang isang pangatlong vector ay maaaring o hindi maaaring magbahagi ng eroplano na iyon, at kung hindi ito, sila ay mga non-coplanar vectors.

Ang mga non-coplanar vectors ay hindi maaaring irepresenta sa mga two-dimensional na puwang tulad ng isang blackboard o sheet ng papel, dahil ang ilan sa mga ito ay nilalaman sa ikatlong sukat. Upang kumatawan sa kanila nang maayos kailangan mong gumamit ng pananaw.

Larawan 1. Coplanar at non-coplanar vectors. (Sariling pagsasaliksik)

Kung titingnan natin ang figure 1, ang lahat ng mga bagay na ipinakita ay mahigpit sa eroplano ng screen, gayunpaman salamat sa pananaw ng ating utak ay makapag-isip ng isang eroplano (P) na lumalabas dito.

Sa eroplano na iyon (P) ang mga vectors r , s , u , habang ang mga vectors v at w ay wala sa eroplano na iyon.

Samakatuwid ang mga vectors r , s , u ay coplanar o coplanar sa bawat isa dahil nagbahagi sila ng parehong eroplano (P). Ang mga Vector v at w ay hindi nagbabahagi ng isang eroplano sa alinman sa iba pang mga vectors na ipinakita, samakatuwid sila ay mga di-coplanar.

Mga Coplanar Vector at Equation ng Plane

Ang isang eroplano ay natatanging tinukoy kung mayroong tatlong puntos sa three-dimensional space.

Ipagpalagay na ang tatlong puntos na ito ay point A, point B at point C na tumutukoy sa eroplano (P). Sa mga puntong ito posible na bumuo ng dalawang vectors AB = u at AC = v na sa pamamagitan ng konstruksyon coplanar kasama ang eroplano (P).

Ang cross product (o cross product) ng dalawang vectors na ito ay nagreresulta sa isang pangatlong vector na patayo (o normal) sa kanila at samakatuwid ay patayo sa eroplano (P):

n = u X v => n ⊥ u at n ⊥ v => n ⊥ (P)

Ang anumang iba pang mga punto na kabilang sa eroplano (P) ay dapat masiyahan na ang vector AQ ay patayo sa vector n ; Katumbas ito sa pagsasabi na ang dot product (o dot product) ng n na may AQ ay dapat na zero:

n • AQ = 0 (*)

Ang nakaraang kondisyon ay katumbas ng pagsasabi na:

AQ • ( u X v ) = 0

Tinitiyak ng ekwasyong ito na ang puntong Q ay kabilang sa eroplano (P).

Katumbas ng Cartesian ng eroplano

Ang equation sa itaas ay maaaring isulat sa form ng Cartesian. Upang gawin ito, isusulat namin ang mga coordinate ng mga puntos A, Q at ang mga sangkap ng normal na vector n :

Kaya ang mga sangkap ng AQ ay:

Ang kundisyon para sa vector AQ na mapapaloob sa eroplano (P) ay ang kondisyon (*) na ngayon ay nakasulat na tulad nito:

Ang pagkalkula ng produkto ng tuldok ay nananatiling:

Kung ito ay binuo at muling nabuo ay nananatili ito:

Ang nakaraang expression ay ang equation ng Cartesian ng isang eroplano (P), bilang isang function ng mga sangkap ng isang vector na normal sa (P) at ang mga coordinate ng isang punto A na kabilang sa (P).

Mga kundisyon para sa tatlong vectors na maging non-coplanar

Tulad ng nakikita sa nakaraang seksyon, ang kondisyon AQ • ( u X v ) = 0 ginagarantiyahan na ang vector AQ ay coplanar sa u at v .

Kung tawagan natin ang vector AQ w kung gayon maaari nating kumpirmahin na:

w , u at v ay coplanar, kung at kung w • ( u X v ) = 0.

Kondisyon ng di-pagkakasundo

Kung ang triple product (o halo-halong produkto) ng tatlong mga vectors ay naiiba sa zero kung gayon ang mga tatlong vectors na ito ay hindi coplanar.

Kung w • ( u X v ) ≠ 0 kung gayon ang mga vectors u, v, at w ay hindi-coplanar.

Kung ang mga bahagi ng Cartesian ng mga vectors u, v, at w ay ipinakilala, ang kondisyong hindi pagkakapareho ay maaaring isulat bilang

Ang triple na produkto ay may isang geometric na interpretasyon at kumakatawan sa dami ng parallelepiped na nabuo ng tatlong mga non-coplanar vectors.

Larawan 2. Tatlong mga vector na di-coplanar ay nagpapahiwatig ng isang paralelahin na ang dami ay ang module ng produkto ng triple. (Sariling pagsasaliksik)

Ang dahilan ay ang mga sumusunod; Kapag ang dalawa sa mga non-coplanar vectors ay pinarami vectorially, ang isang vector ay nakuha na ang kalakhan ay ang lugar ng paralelogram na kanilang nabuo.

Pagkatapos kapag ang vector na ito ay scalarly na pinarami ng ikatlong non-coplanar vector, kung ano ang mayroon kami ay ang projection sa isang vector na patayo sa eroplano na ang unang dalawa ay nagpasiya na pinarami ng lugar na kanilang tinutukoy.

Sa madaling salita, mayroon kaming lugar ng paralelogram na nabuo ng unang dalawang pinarami ng taas ng ikatlong vector.

Alternatibong kondisyon ng hindi pagkakapareho

Kung mayroon kang tatlong mga vectors at alinman sa mga ito ay hindi maaaring isulat bilang isang guhit na kumbinasyon ng iba pang dalawa, kung gayon ang tatlong mga vectors ay hindi-coplanar. Iyon ay, tatlong vectors u , v at w ay hindi coplanar kung ang kondisyon:

α u + β v + γ w = 0

Nasiyahan lamang ito kapag α = 0, β = 0 at γ = 0.

Malutas na ehersisyo

-Ehersisyo 1

Mayroong tatlong vectors

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) at w = (-1, 2, z)

Tandaan na ang z bahagi ng vector w ay hindi kilala.

Hanapin ang hanay ng mga halaga na maaaring makuha ng z sa gayon na ang tatlong vectors ay ginagarantiyahan na hindi magbahagi ng parehong eroplano.

Solusyon

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Itinakda namin ang expression na ito na katumbas ng halaga zero

21 z + 18 = 0

at malulutas namin para sa z

z = -18 / 21 = -6/7

Kung ang variable z ay kinuha ang halaga -6/7 pagkatapos ay ang tatlong vectors ay magiging coplanar.

Kaya ang mga halaga ng z na ginagarantiyahan na ang mga vectors ay hindi coplanar ay ang mga sumusunod na agwat:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Exercise 2

Hanapin ang dami ng parallelepiped na ipinakita sa sumusunod na pigura:

Solusyon

Upang mahanap ang dami ng parallelepiped na ipinakita sa figure, ang mga bahagi ng Cartesian ng tatlong magkakasabay na mga non-coplanar vectors sa pinagmulan ng sistema ng coordinate. Ang una ay ang vector u ng 4m at kahanay sa X axis:

u = (4, 0, 0) m

Ang pangalawa ay ang vector v sa XY eroplano na may sukat na 3m na bumubuo ng 60º na may X axis:

v = (3 * kos 60º, 3 * kasalanan 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m

At ang pangatlo ay ang vector w ng 5m at na ang projection sa XY eroplano ay bumubuo ng 60º kasama ang X axis, bilang karagdagan w form 30º kasama ang Z axis.

w = (5 * kasalanan 30º * cos 60º, 5 * kasalanan 30º * kasalanan 60º, 5 * kasalanan 30º)

Kapag naisagawa ang mga kalkulasyon, mayroon kami: w = (1.25, 2.17, 2.5) m.

Mga Sanggunian

1. Figueroa, D. Serye: Physics para sa Agham at Engineering. Dami 1. Kinematics. 31-68.
2. Pisikal. Modyul 8: Vector. Nabawi mula sa: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mekanismo para sa Mga Engineer. Static Ika-6 na Edisyon. Continental Publishing Company. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mga Mekanismo para sa Mga Engineer: Statics at Dynamics. 3rd Edition. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Nabawi mula sa: es.wikipedia.org