MGA INDEPENDIYENTENG KAGANAPAN: PAGPAPAKITA, HALIMBAWA, EHERSISYO - DUDAS - 2024

Ang dalawang kaganapan ay independiyente , kapag ang posibilidad na ang isa sa mga ito ay nangyayari ay hindi naiimpluwensyahan ng katotohanan na ang iba pang nangyayari-ay hindi nangyayari -, isinasaalang-alang na ang mga pangyayaring ito ay nangyayari nang sapalaran.

Ang sitwasyong ito ay nangyayari tuwing ang proseso na bumubuo ng resulta ng kaganapan 1, ay hindi nagbabago sa anumang paraan ang posibilidad ng posibilidad ng mga posibleng resulta ng kaganapan 2. Ngunit kung hindi ito nangyari, ang mga kaganapan ay sinasabing umaasa.

Larawan 1. Ang mga kulay na marmol ay madalas na ginagamit upang maipaliwanag ang posibilidad ng independyenteng mga kaganapan. Pinagmulan: Pixabay.

Ang isang independiyenteng sitwasyon ng kaganapan ay ang mga sumusunod: Ipagpalagay na ang dalawang anim na panig na dice ay pinagsama, ang isang asul at ang iba pang kulay rosas. Ang posibilidad na ang isang 1 ay gumulong sa asul na mamatay ay malaya sa posibilidad na ang isang 1 ay magulong-hindi roll - sa pink na mamatay.

Ang isa pang kaso ng dalawang independiyenteng mga kaganapan ay ang pagtapon ng isang barya nang dalawang beses sa isang hilera. Ang resulta ng unang pagtapon ay hindi depende sa resulta ng pangalawa at kabaligtaran.

Patunay ng dalawang independiyenteng mga kaganapan

Upang mapatunayan na ang dalawang mga kaganapan ay independiyenteng, tutukuyin namin ang konsepto ng kondisyon na posibilidad ng isang kaganapan na may paggalang sa isa pa. Para sa mga ito, kinakailangan upang magkakaiba sa pagitan ng mga eksklusibong mga kaganapan at inclusive na kaganapan:

Dalawang kaganapan ang eksklusibo kung ang mga posibleng halaga o elemento ng kaganapan A ay walang kinalaman sa mga halaga o elemento ng kaganapan B.

Samakatuwid sa dalawang eksklusibong mga kaganapan, ang hanay ng intersection ng A with B ay ang vacuum:

Pagbubukod ng mga kaganapan: A∩B = Ø

Sa kabaligtaran, kung ang mga kaganapan ay kasama, maaaring mangyari na ang isang resulta ng kaganapan A ay magkakasabay din sa ibang B, kasama ang A at B na magkakaibang mga kaganapan. Sa kasong ito:

Hindi kapani-paniwalang mga kaganapan: A∩B ≠ Ø

Ito ay humahantong sa amin upang tukuyin ang kondisyon na posibilidad ng dalawang inclusive na kaganapan, sa madaling salita, ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A, tuwing nangyayari ang kaganapan B:

P (A |B) = P (A∩B) / P (B)

Samakatuwid, ang posibilidad ng posibilidad ay ang posibilidad na ang A at B ay magaganap nahahati sa posibilidad na maganap ang B. Ang posibilidad na ang B ay magaganap ng kundisyon sa A ay maaari ding tukuyin:

P (B |A) = P (A∩B) / P (A)

Ang mga pamantayan upang malaman kung ang dalawang kaganapan ay independyente

Susunod ay bibigyan namin ng tatlong pamantayan upang malaman kung ang dalawang kaganapan ay independyente. Sapat na ang isa sa tatlo ay natutupad, upang maipakita ang kalayaan ng mga kaganapan.

1.- Kung ang posibilidad na maganap ang A tuwing nangyayari ang B ay katumbas ng posibilidad ng A, kung gayon sila ay mga independiyenteng mga kaganapan:

P (A |B) = P (A) => Ang independyente ng B

2.- Kung ang posibilidad na mangyari ang B na ibinigay na A, ay katumbas ng posibilidad ng B, kung gayon may mga independiyenteng mga kaganapan:

P (B |A) = P (B) => B ay independyente ng A

3.- Kung ang posibilidad na mangyari ang A at B ay katumbas ng produkto ng posibilidad na naganap ang A at ang posibilidad na maganap ang B, kung gayon sila ay mga independiyenteng mga kaganapan. Ang converse ay totoo rin.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> Ang A at B ay mga malayang kaganapan.

Mga halimbawa ng mga independiyenteng mga kaganapan

Ang mga solong goma na ginawa ng dalawang magkakaibang mga supplier ay inihambing. Ang mga sample mula sa bawat tagagawa ay sumailalim sa maraming mga pagsusuri kung saan ito ay natapos kung sila ay nasa loob ng mga pagtutukoy.

Larawan 2. Iba't ibang mga goma ng soles. Pinagmulan: Pixabay.

Ang nagreresultang buod ng 252 halimbawa ay ang mga sumusunod:

Tagagawa 1; 160 ay nakakatugon sa mga pagtutukoy; 8 ay hindi nakakatugon sa mga pagtutukoy.

Tagagawa 2; 80 ay nakakatugon sa mga pagtutukoy; 4 ay hindi nakakatugon sa mga pagtutukoy.

Kaganapan A: "na ang sample ay mula sa tagagawa 1".

Kaganapan B: "na ang halimbawang nakakatugon sa mga pagtutukoy."

Nais naming malaman kung ang mga kaganapang ito ng A at B ay malaya o hindi, kung saan inilalapat namin ang isa sa tatlong pamantayan na binanggit sa nakaraang seksyon.

Criterion: P (B |A) = P (B) => B ay independiyente sa A

P (B) = 240/252 = 0.9523

P (B |A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0.9523

Konklusyon: Ang mga Kaganapan A at B ay malaya.

Ipagpalagay na ang kaganapan C: "na ang sample ay nagmula sa tagagawa 2"

Magiging independyente ba ang kaganapan B sa kaganapan C?

Nag-aaplay kami ng isa sa mga pamantayan.

Criterion: P (B |C) = P (B) => B ay independiyenteng ng C

P (B |C) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = P (B)

Samakatuwid, batay sa magagamit na data, ang posibilidad na ang isang sapalarang napiling goma lamang ang nakakatugon sa mga pagtutukoy ay independiyenteng ng tagagawa.

I-convert ang isang Independent Independent Event sa isang Dependent Event

Tingnan natin ang sumusunod na halimbawa upang makilala ang pagitan ng nakasalalay at independiyenteng mga kaganapan.

Mayroon kaming isang bag na may dalawang puting bola ng tsokolate at dalawang itim na bola. Ang posibilidad ng pagkuha ng isang puting bola o isang itim na bola ay pantay sa unang pagsubok.

Ipagpalagay na ang resulta ay isang cue ball. Kung ang iginuhit na bola ay pinalitan sa bag, ang orihinal na sitwasyon ay paulit-ulit: dalawang puting bola at dalawang itim na bola.

Kaya sa isang pangalawang kaganapan o iguhit, ang mga pagkakataong gumuhit ng isang cue ball o isang itim na bola ay magkapareho sa unang pagkakataon. Samakatuwid sila ay mga independiyenteng mga kaganapan.

Ngunit kung ang cue ball na iginuhit sa unang kaganapan ay hindi mapalitan dahil kinain namin ito, sa pangalawang draw ay may higit na pagkakataong gumuhit ng isang itim na bola. Ang posibilidad na ang isang pangalawang pagkuha ay makakakuha ng puti muli ay naiiba sa unang kaganapan at kinondisyon ng nakaraang resulta.

Pagsasanay

- Ehersisyo 1

Sa isang kahon na inilalagay namin ang 10 marmol na figure 1, kung saan 2 ang berde, 4 ay asul at 4 ang puti. Dalawang marmol ang pipiliin nang sapalaran, ang una at ang isa pa. Hiniling na mahanap ang
posibilidad na wala sa kanila ang asul, sa ilalim ng mga sumusunod na kondisyon:

a) Sa kapalit, iyon ay, ang pagbalik ng unang marmol bago ang pangalawang pagpili sa kahon. Ipahiwatig kung sila ay independiyente o umaasa sa mga kaganapan.

b) Nang walang kapalit, sa isang paraan na ang unang nakuha na marmol ay naiwan sa labas ng kahon sa oras ng paggawa ng pangalawang pagpili. Katulad nito, ipahiwatig kung sila ay umaasa o independiyenteng mga kaganapan.

Solusyon sa

Kinakalkula namin ang posibilidad na ang unang nakuha na marmol ay hindi asul, na kung saan ay 1 minus ang posibilidad na ito ay asul na P (A), o direkta na hindi ito asul, dahil lumabas ito berde o puti:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (huwag maging asul) = 1 - (2/5) = 3/5

O mabuti:

P (berde o puti) = 6/10 = 3/5.

Kung ibinalik ang nakuha na marmol, ang lahat ay tulad ng dati. Sa pangalawang draw na ito mayroon ding 3/5 na posibilidad na ang marmol na iginuhit ay hindi asul.

P (hindi asul, hindi asul) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Ang mga kaganapan ay malaya, dahil ang nakuha na marmol ay ibinalik sa kahon at ang unang kaganapan ay hindi nakakaimpluwensya sa posibilidad ng paglitaw ng pangalawa.

Solusyon b

Para sa unang pagkuha, magpatuloy tulad ng sa nakaraang seksyon. Ang posibilidad na hindi ito asul ay 3/5.

Para sa pangalawang pagkuha ay mayroon kaming 9 na mga marmol sa bag, dahil ang una ay hindi bumalik, ngunit hindi ito asul, kaya't sa bag ay may 9 na marmol at 5 hindi asul:

P (berde o puti) = 5/9.

P (wala ay asul) = P (una hindi asul). P (pangalawa hindi asul / una hindi asul) = (3/5). (5/9) = 1/3

Sa kasong ito sila ay hindi independiyenteng mga kaganapan, dahil ang unang kaganapan sa kaganapan sa pangalawa.

- Ehersisyo 2

Ang isang tindahan ay may 15 kamiseta sa tatlong sukat: 3 maliit, 6 daluyan at 6 na malaki. Ang 2 kamiseta ay sapalarang napili.

a) Ano ang posibilidad na ang parehong mga kamiseta na napili ay maliit, kung ang isa ay kinuha muna at walang pinapalitan ang isa pa sa maraming?

b) Ano ang posibilidad na ang parehong napiling mga kamiseta ay maliit, kung ang isa ay iguguhit muna, papalitan sa batch, at ang pangalawa ay tinanggal?

Solusyon sa

Narito ang dalawang kaganapan:

Kaganapan A: ang unang shirt na napili ay maliit

Kaganapan B: maliit ang pangalawang napiling shirt

Ang posibilidad na ang kaganapan A ay nangyayari: P (A) = 3/15

Ang posibilidad na mangyari ang kaganapan B ay: P (B) = 2/14, dahil ang isang shirt ay tinanggal na (mayroong 14 na kaliwa), ngunit din ang kaganapan na nais na matupad, ang unang shirt na tinanggal ay dapat maliit at samakatuwid pareho ang 2 maliit.

Iyon ay, ang posibilidad na ang A at B ay magiging produkto ng mga probabilidad ay:

P (A at B) = P (B |A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0.029

Samakatuwid, ang posibilidad na mangyari ang kaganapan A at B ay katumbas ng produkto na naganap A, nagaganap ang posibilidad na mangyari ang kaganapan B kung ang kaganapan A.

Dapat ito ay nabanggit na:

P (B |A) = 2/14

Ang posibilidad na mangyari ang kaganapan B anuman ang mangyayari o hindi mangyayari:

P (B) = (2/14) kung ang una ay maliit, o P (B) = 3/14 kung ang una ay hindi maliit.

Sa pangkalahatan, ang mga sumusunod ay maaaring tapusin:

Ang P (B |A) ay hindi katumbas sa P (B) => B ay hindi independiyente sa A

Solusyon b

Muli mayroong dalawang kaganapan:

Kaganapan A: ang unang shirt na napili ay maliit

Kaganapan B: maliit ang pangalawang napiling shirt

P (A) = 3/15

Alalahanin na anuman ang resulta, ang shirt na tinanggal mula sa batch ay napalitan at muli isang shirt ay iguguhit nang random. Ang posibilidad na mangyari ang kaganapan B, kung nangyari ang kaganapan A:

P (B |A) = 3/15

Ang posibilidad na mangyari ang mga A at B ay:

P (A at B) = P (B |A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0.04

Tandaan na:

Ang P (B |A) ay pantay sa P (B) => Ang independiyenteng B ay A.

- Ehersisyo 3

Isaalang-alang ang dalawang independiyenteng mga kaganapan A at B. Alam na ang posibilidad na ang kaganapan A ay nangyayari ay 0.2 at ang posibilidad na ang kaganapan B ay nangyayari ay 0.3. Ano ang posibilidad na mangyari ang parehong mga kaganapan?

Solusyon 2

Alam na ang mga kaganapan ay malaya, kilala na ang posibilidad na ang parehong mga kaganapan ay nangyayari ay ang produkto ng mga indibidwal na posibilidad. Na ibig sabihin,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0.2 * 0.3 = 0.06

Tandaan na ito ay isang posibilidad na mas mababa kaysa sa posibilidad na mangyari ang bawat kaganapan anuman ang kinalabasan ng iba. O maglagay ng isa pang paraan, mas mababa kaysa sa mga indibidwal na logro.

Mga Sanggunian

1. Berenson, M. 1985. Mga istatistika para sa pamamahala at ekonomiya. Interamericana SA 126-127.
2. Monterrey Institute. Posibilidad ng mga independiyenteng mga kaganapan. Nabawi mula sa: monterreyinstitute.org
3. Guro ng Matematika. Mga independiyenteng mga kaganapan. Nabawi mula sa: youtube.com
4. Superprof. Mga uri ng mga kaganapan, umaasang mga kaganapan. Nabawi mula sa: superprof.es
5. Virtual na tagapagturo. Posibilidad. Nabawi mula sa: vitutor.net
6. Wikipedia. Kalayaan (posibilidad). Nabawi mula sa: wikipedia.com