VECTOR ALGEBRA: MGA PUNDASYON, MAGNITUDE, VECTORS - MGA MATEMATIKA

Ang vector algebra ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga system ng mga linear equation, vectors, matrices, vector space at linear transformations. May kaugnayan ito sa mga lugar tulad ng engineering, paglutas ng mga equation ng pagkakaiba-iba, pagsusuri sa pagganap, pananaliksik sa operasyon, computer graphics, bukod sa iba pa.

Ang isa pang lugar na pinagtibay ng linear algebra ay pisika, dahil sa pamamagitan nito posible na paunlarin ang pag-aaral ng mga pisikal na phenomena, na naglalarawan sa kanila sa pamamagitan ng paggamit ng mga vectors. Ito ay naging posible ng isang mas mahusay na pag-unawa sa uniberso.

Mga Batayan

Ang Vector algebra ay nagmula sa pag-aaral ng mga quaternions (pagpapalawak ng mga tunay na numero) 1, i, j, at k, pati na rin mula sa geometry ng Cartesian na isinulong ni Gibbs at Heaviside, na natanto na ang mga vectors ay magsisilbing isang instrumento para sa kumakatawan sa iba't ibang mga pisikal na phenomena.

Ang Vector algebra ay pinag-aralan sa pamamagitan ng tatlong mga batayan:

Geometrically

Ang mga Vector ay kinakatawan ng mga linya na may orientation, at ang mga operasyon tulad ng karagdagan, pagbabawas at pagdami ng mga totoong numero ay tinukoy sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng geometric.

Analytically

Ang paglalarawan ng mga vectors at ang kanilang operasyon ay ginagawa sa mga numero, na tinatawag na mga sangkap. Ang ganitong uri ng paglalarawan ay ang resulta ng isang geometric na representasyon dahil ginagamit ang isang coordinate system.

Axiomatically

Ang isang paglalarawan ng mga vectors ay ginawa, anuman ang coordinate system o anumang uri ng representasyon ng geometric.

Ang pag-aaral ng mga figure sa espasyo ay ginagawa sa pamamagitan ng kanilang representasyon sa isang sistema ng sanggunian, na maaaring sa isa o higit pang mga sukat. Kabilang sa mga pangunahing sistema ay:

- Ang isang-dimensional na sistema, na kung saan ay isang tuwid na linya kung saan ang isang punto (O) ay kumakatawan sa pinagmulan at isa pang punto (P) ang tumutukoy sa scale (haba) at direksyon nito:

- Ang sistema ng coordinate ng Rectangular (two-dimensional), na binubuo ng dalawang patayo na linya na tinatawag na x-axis at y-axis, na dumadaan sa isang punto (O) na pinagmulan; sa ganitong paraan ang eroplano ay nahahati sa apat na mga rehiyon na tinatawag na quadrants. Sa kasong ito isang punto (P) sa eroplano ay ibinibigay ng mga distansya na umiiral sa pagitan ng mga axes at P.

- Sistema ng coordinate ng polar (two-dimensional). Sa kasong ito ang sistema ay binubuo ng isang punto O (pinagmulan) na kung saan ay tinatawag na poste at isang sinag na may pinagmulan sa O na tinatawag na polar axis. Sa kasong ito ang point P ng eroplano, na may sanggunian sa poste at polar axis, ay ibinibigay ng anggulo (Ɵ), na nabuo sa pamamagitan ng distansya na umiiral sa pagitan ng pinagmulan at punto ng P.

- Rectangular three-dimensional system, na nabuo ng tatlong patayo na linya (x, y, z) na ang pinagmulan ay isang punto O sa kalawakan. Ang tatlong mga coordinate na eroplano ay nabuo: xy, xz at yz; ang puwang ay nahahati sa walong mga rehiyon na tinatawag na mga octants. Ang sanggunian ng isang punto P sa espasyo ay ibinibigay ng mga distansya na umiiral sa pagitan ng mga eroplano at P.

Mga magnitude

Ang isang magnitude ay isang pisikal na dami na maaaring mabilang o masukat sa pamamagitan ng isang bilang ng bilang, tulad ng sa kaso ng ilang mga pisikal na phenomena; gayunpaman, maraming beses na kinakailangan upang mailarawan ang mga kababalaghan na ito na may mga kadahilanan maliban sa numero. Iyon ang dahilan kung bakit ang mga magnitude ay naiuri sa dalawang uri:

Laki ng Scalar

Ito ang mga dami na tinukoy at kinakatawan ayon sa bilang; iyon ay, sa pamamagitan ng isang module kasama ang isang yunit ng panukala. Halimbawa:

a) Oras: 5 segundo.

b) Mass: 10 kg.

c) Dami: 40 ml.

d) temperatura: 40 ºC.

Laki ng Vector

Ang mga ito ay ang mga dami na tinukoy at kinakatawan ng isang module kasama ang isang yunit, pati na rin sa pamamagitan ng isang kahulugan at direksyon. Halimbawa:

a) bilis: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Pagpapabilis: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Force: 280 N, 120º.

d) Timbang: -40 ĵ kg-f.

Ang dami ng mga botante ay graphically na kinakatawan ng mga vectors.

Ano ang mga vectors?

Ang mga Vector ay mga graphic na representasyon ng isang dami ng vector; iyon ay, ang mga ito ay mga linya ng linya kung saan ang kanilang pangwakas na pagtatapos ay ang dulo ng isang arrow.

Natutukoy ang mga ito sa pamamagitan ng module o haba nito ng segment, ang direksyon nito na kung saan ay ipinahiwatig sa pamamagitan ng dulo ng arrow at direksyon nito ayon sa linya kung saan nagmamay-ari. Ang pinagmulan ng isang vector ay kilala rin bilang punto ng aplikasyon.

Ang mga elemento ng isang vector ay ang mga sumusunod:

Modyul

Ito ay ang distansya mula sa pinagmulan hanggang sa dulo ng isang vector, na kinakatawan ng isang tunay na numero kasama ang isang yunit. Halimbawa:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Address

Ito ang sukatan ng anggulo na umiiral sa pagitan ng x axis (mula sa positibo) at vector, pati na rin ang mga puntos ng kardinal (hilaga, timog, silangan at kanluran) ay ginagamit.

Sensya

Ito ay ibinigay ng arrowhead na matatagpuan sa dulo ng vector, na nagpapahiwatig kung saan ito pupunta.

Pag-uuri ng mga vectors

Karaniwan, ang mga vectors ay inuri bilang:

Naayos na vector

Ito ay kung saan ang punto ng aplikasyon (pinagmulan) ay naayos; iyon ay, nananatiling naka-link sa isang punto sa espasyo, kaya hindi ito maaaring ilipat sa loob nito.

Libreng vector

Maaari itong malayang gumalaw sa kalawakan sapagkat ang pinagmulan nito ay lumilipat sa anumang punto nang hindi binabago ang modyul, direksyon o direksyon nito.

Slider vector

Ito ay maaaring ilipat ang pinagmulan nito kasama ang linya ng pagkilos nang hindi binabago ang modyul, direksyon o direksyon nito.

Mga katangian ng mga vectors

Kabilang sa mga pangunahing katangian ng mga vectors ay ang mga sumusunod:

Mga koponan ng Vector

Ang mga ito ay mga libreng vectors na may parehong module, direksyon (o pareho sila) at pakiramdam bilang isang sliding vector o isang nakapirming vector.

Katumbas na mga vektor

Ito ay nangyayari kapag ang parehong mga vectors ay may parehong direksyon (o magkatulad), magkaparehong kahulugan, at sa kabila ng pagkakaroon ng magkakaibang mga module at mga punto ng aplikasyon, nagiging sanhi sila ng parehong mga epekto.

Pagkakapantay-pantay ng Vector

Ang mga ito ay may parehong module, direksyon at pang-unawa, kahit na ang kanilang mga panimulang punto ay magkakaiba, na nagpapahintulot sa isang kahanay na vector na isalin ang sarili nang hindi naaapektuhan ito.

Kabaligtaran Vector

Sila ang mga may parehong module at direksyon, ngunit kabaligtaran ang kahulugan nito.

Ang vector ng yunit

Ito ay kung saan ang module ay katumbas ng yunit (1). Ito ay nakuha sa pamamagitan ng paghati sa vector sa pamamagitan ng module at ginagamit upang matukoy ang direksyon at kahulugan ng isang vector, alinman sa eroplano o sa espasyo, gamit ang base o normalized unit vectors, na:

Null vector

Ito ay isa na ang modulus ay katumbas ng 0; iyon ay, ang punto ng pinagmulan at pagtatapos magkakasabay sa parehong punto.

Mga bahagi ng isang vector

Ang mga sangkap ng isang vector ay ang mga halaga ng mga projection ng vector sa mga axes ng sanggunian na sanggunian; Depende sa agnas ng vector, na maaaring nasa dalawa o tatlong dimensional na mga axes, dalawa o tatlong mga sangkap ay makuha, ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga sangkap ng isang vector ay mga tunay na numero, na maaaring maging positibo, negatibo, o kahit na zero (0).

Kaya, kung mayroon kaming vector Ā, na nagmula sa isang hugis-parihaba na coordinate system sa xy eroplano (two-dimensional), ang projection sa x axis ay Āx at ang projection sa y axis ay si Āy. Sa gayon, ang vector ay ipapahayag bilang kabuuan ng mga sangkap na vector.

Mga halimbawa

Unang halimbawa

Mayroon kaming isang vector Ā na nagsisimula sa pinagmulan at ang mga coordinate ng mga dulo nito ay ibinigay. Sa gayon, ang vector Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Kung ang vector Ā ay kumikilos sa pinagmulan ng isang three-dimensional na tatsulok na coordinate system (sa espasyo) x, y, z, hanggang sa isa pang punto (P), ang mga projection sa mga axe nito ay ang Āx, Āy at Āz; sa gayon, ang vector ay ipapahayag bilang kabuuan ng tatlong mga vector ng sangkap nito.

Pangalawang halimbawa

Mayroon kaming isang vector Ā na nagsisimula sa pinagmulan at ang mga coordinate ng mga dulo nito ay ibinigay. Sa gayon, ang vector Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Ang mga Vector na mayroong kanilang mga hugis-parihaba na coordinate ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng kanilang mga base vectors. Para sa mga iyon, ang bawat coordinate ay dapat lamang maparami ng kani-kanilang unit vector, sa paraang para sa eroplano at puwang sila ang sumusunod:

Para sa eroplano: Ā = A _x i + A _y j.

Para sa espasyo: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Mga operasyon ng Vector

Maraming dami na mayroong module, kahulugan, at direksyon, tulad ng acceleration, bilis, pag-aalis, puwersa, bukod sa iba pa.

Ang mga ito ay inilalapat sa iba't ibang mga lugar ng agham, at upang mailapat ang mga ito kinakailangan sa ilang mga kaso upang maisagawa ang mga operasyon tulad ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga vectors at scalars.

karagdagan at pagbabawas ng mga vectors

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga vectors ay itinuturing na isang solong operasyon ng algebraic dahil ang pagbabawas ay maaaring isulat bilang isang kabuuan; halimbawa, ang pagbabawas ng mga vectors Ā at Ē ay maaaring ipahiwatig bilang:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Mayroong iba't ibang mga pamamaraan upang maisagawa ang karagdagan at pagbabawas ng mga vectors: maaari silang maging graphical o analytical.

Mga pamamaraan ng graphic

Ginamit kapag ang isang vector ay mayroong module, direksyon at direksyon. Para sa mga ito, ang mga linya ay iguguhit na bumubuo ng isang figure na sa ibang pagkakataon ay makakatulong upang matukoy ang resulta. Kabilang sa mga pinakamahusay na kilala ay ang mga sumusunod:

Paraan ng parallelogram

Upang gawin ang pagdaragdag o pagbabawas ng dalawang mga vectors, isang karaniwang punto ang napili sa coordinate axis-kung saan ay kumakatawan sa punto ng pinagmulan ng mga vectors -, pinapanatili ang module, direksyon at direksyon nito.

Ang mga linya ay pagkatapos ay iguguhit kahanay sa mga vector upang makabuo ng isang paralelogram. Ang nagresultang vector ay ang dayagonal na pupunta mula sa punto ng pinagmulan ng parehong mga vectors hanggang sa tuktok ng paralelogram:

Paraan ng tatsulok

Sa pamamaraang ito ang mga vectors ay inilalagay nang isa-isa, na pinapanatili ang kanilang mga module, direksyon at direksyon. Ang nagresultang vector ay ang unyon ng pinagmulan ng unang vector na may pagtatapos ng pangalawang vector:

Analytical pamamaraan

Ang dalawa o higit pang mga vectors ay maaaring idagdag o ibawas sa pamamagitan ng isang geometric o vector na pamamaraan:

Paraan ng geometriko

Kapag ang dalawang vectors ay bumubuo ng isang tatsulok o paralelogram, ang m) .push ({});

- Scalar pamamahagi ng pag-aari: kung ang isang vector ay pinarami ng kabuuan ng dalawang scalars, ito ay katumbas ng pagpaparami ng vector para sa bawat scalar.

Pagpaparami ng mga vectors

Ang pagdami o produkto ng mga vectors ay maaaring gawin bilang karagdagan o pagbabawas, ngunit ang paggawa nito sa paraan ay nawawala ang pisikal na kahulugan at halos hindi na matatagpuan sa mga aplikasyon. Para sa kadahilanang ito, ang pinakakaraniwang ginagamit na uri ng mga produkto ay ang produkto ng scalar at vector.

Produkto ng Scalar

Kilala rin ito bilang produkto ng tuldok ng dalawang vectors. Kapag ang mga module ng dalawang vectors ay pinarami ng kosine ng pinakamaliit na anggulo na nabuo sa pagitan nila, nakuha ang isang scalar. Upang maipahayag ang isang produkto ng iskandalo sa pagitan ng dalawang vectors, isang punto ay inilagay sa pagitan nila, at maaari itong tukuyin bilang:

Ang halaga ng anggulo na umiiral sa pagitan ng dalawang vectors ay depende sa kung sila ay magkatulad o patayo; sa gayon, kailangan mong:

- Kung ang mga vectors ay kahanay at magkatulad na kahulugan, kosine 0º = 1.

- Kung ang mga vectors ay kahanay at may mga kabaligtaran na direksyon, kosine 180º = -1.

- Kung ang mga vectors ay patayo, kosine 90º = 0.

Ang anggulo na iyon ay maaari ring kalkulahin alam na:

Ang produkto ng tuldok ay may mga sumusunod na katangian:

- Pag-aari ng commutative: ang pagkakasunud-sunod ng mga vectors ay hindi nagbabago sa scalar.

-Distributive na pag-aari: kung ang isang scalar ay pinarami ng kabuuan ng dalawang vectors, katumbas ito ng pagpaparami ng scalar para sa bawat vector.

Vector produkto

Ang pagpaparami ng Vector, o produkto ng cross ng dalawang vectors A at B, ay magreresulta sa isang bagong vector C at ipinahayag gamit ang isang krus sa pagitan ng mga vectors:

Ang bagong vector ay magkakaroon ng sariling mga katangian. Doon:

- Ang direksyon: ang bagong vector na ito ay magiging patayo sa eroplano, na natutukoy ng orihinal na mga vector.

- Ang direksyon: ito ay tinutukoy gamit ang patakaran ng kanang kamay, kung saan ang vector A ay pinaikot patungo sa B, na nagpapahiwatig ng direksyon ng pag-ikot gamit ang mga daliri, at ang direksyon ng vector ay minarkahan ng hinlalaki.

- Ang module: ay tinutukoy ng pagpaparami ng mga module ng mga vectors AxB, sa pamamagitan ng sine ng pinakamaliit na anggulo na umiiral sa pagitan ng mga vectors na ito. Ito ay ipinahayag:

Ang halaga ng anggulo na umiiral sa pagitan ng dalawang mga vectors ay depende sa kung sila ay magkatulad o patayo. Kaya, posible na sabihin ang sumusunod:

- Kung ang mga vectors ay kahanay at magkatulad na kahulugan, ang 0º = 0.

- Kung ang mga vectors ay kahanay at may mga kabaligtaran na direksyon, sinusundan ng 180º = 0.

- Kung ang mga vectors ay patayo, sine 90º = 1.

Kapag ang isang produkto ng vector ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga base vecors, mayroon kaming: