ANO ANG MGA COPLANAR VECTORS? (SA PAGLUTAS NG MGA EHERSISYO) - PISIKAL - 2025

Ang mga coplanar vectors o coplanar ay ang mga nakapaloob sa parehong eroplano. Kung mayroon lamang dalawang vectors, ang mga ito ay palaging coplanar, dahil may mga walang katapusang eroplano, laging posible na pumili ng isa na naglalaman ng mga ito.

Kung mayroon kang tatlo o higit pang mga vectors, maaaring ang ilan sa mga ito ay wala sa parehong eroplano tulad ng iba, samakatuwid hindi sila maaaring ituring na coplanar. Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng isang hanay ng mga coplanar vectors na ipinapahiwatig sa naka-bold A , B , C at D :

Larawan 1. Apat na mga coplanar vectors. Pinagmulan: ginawa ng sarili.

Ang mga Vector ay nauugnay sa pag-uugali at katangian ng mga pisikal na dami na nauugnay sa agham at engineering; halimbawa ang bilis, pagpabilis at lakas.

Ang isang puwersa ay gumagawa ng iba't ibang mga epekto sa isang bagay kapag ang paraan ng paglapat nito ay iba-iba, halimbawa sa pamamagitan ng pagbabago ng intensity, direksyon at direksyon. Kahit na ang pagbabago lamang ng isa sa mga parameter na ito ang mga resulta ay malaki ang naiiba.

Sa maraming mga aplikasyon, kapwa sa mga static at dinamika, ang mga puwersa na kumikilos sa isang katawan ay nasa parehong eroplano, samakatuwid ay itinuturing silang coplanar.

Mga kundisyon para sa mga vectors na maging coplanar

Para sa tatlong vectors na maging coplanar dapat silang magsinungaling sa parehong eroplano at mangyayari ito kung nakamit nila ang alinman sa mga sumusunod na kondisyon:

Ang mga sektor ay magkatulad, samakatuwid ang kanilang mga sangkap ay proporsyonal at magkakasunod na umaasa.

-Ang iyong halo-halong produkto ay walang bisa.

-Kung mayroon kang tatlong mga vectors at alinman sa mga ito ay maaaring isulat bilang isang guhit na kumbinasyon ng iba pang dalawa, ang mga vectors na ito ay coplanar. Halimbawa, ang isang vector na resulta mula sa kabuuan ng dalawa pa, ang tatlo ay nasa parehong eroplano.

Bilang kahalili, ang kundisyon ng pagkakasundo ay maaaring itakda tulad ng sumusunod:

Ang pinaghalong produkto sa pagitan ng tatlong vectors

Ang halo-halong produkto sa pagitan ng mga vectors ay tinukoy kasama ang tatlong mga vectors u , v at w, na nagreresulta sa isang scalar na resulta mula sa pagsasagawa ng sumusunod na operasyon:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Una, ang produkto ng krus na nasa panaklong ay isinasagawa: v x w , na ang resulta ay isang normal na vector (patayo) sa eroplano kung saan ang parehong v at w ay nagsisinungaling .

Kung ang u ay nasa parehong eroplano tulad ng v at w , natural ang scalar product (dot product) sa pagitan ng u at sinabi ng normal na vector ay dapat na 0. Sa ganitong paraan napatunayan na ang tatlong vectors ay coplanar (nagsinungaling sila sa parehong eroplano).

Kapag ang halo-halong produkto ay hindi zero, ang resulta nito ay katumbas ng dami ng paralelahin na may mga vectors u , v at w bilang katabing panig.

Aplikasyon

Coplanar, sabay-sabay at mga non-collinear na puwersa

Ang magkakasabay na puwersa ay ang lahat ay inilalapat sa parehong punto. Kung sila rin ay coplanar, maaari silang mapalitan ng isa lamang, na kung saan ay tinawag na nagreresultang puwersa at may parehong epekto tulad ng mga orihinal na puwersa.

Kung ang isang katawan ay nasa balanse salamat sa tatlong puwersang coplanar, magkakasabay at hindi collinear (hindi kahanay), na tinatawag na A , B at C, teorema ni Lamy ay nagpapahiwatig na ang ugnayan sa pagitan ng mga puwersang ito (magnitude) ay sumusunod:

A / sin α = B / kasalanan β = C / kasalanan γ

Sa α, β at γ bilang kabaligtaran ng mga anggulo sa mga inilapat na puwersa, tulad ng ipinakita sa sumusunod na pigura:

Larawan 2. Tatlong pwersa ng coplanar A, B, at C ay kumilos sa isang bagay. Pinagmulan: Kiwakwok at Ingles Wikipedia

Malutas na ehersisyo

-Ehersisyo 1

Hanapin ang halaga ng k upang ang mga sumusunod na vectors ay coplanar:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Solusyon

Dahil mayroon kaming mga sangkap ng mga vectors, ang kriterya ng halo-halong produkto ay ginagamit, samakatuwid:

u ( v x w ) = 0

Malutas ang v x w muna . Ang mga vectors ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga unit vectors i , j at k na makilala ang tatlong patayo na direksyon sa espasyo (lapad, taas at lalim):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Ngayon isinasaalang-alang namin ang produktong scalar sa pagitan ng u at vector na nagresulta mula sa nakaraang operasyon, na tinatakda ang operasyon na katumbas ng 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Ang hinahangad na halaga ay: k = - 6

Kaya ang vector u ay:

u = <-3, -6, 2>

-Exercise 2

Ang figure ay nagpapakita ng isang bagay na ang timbang ay W = 600 N, nakabitin sa balanse salamat sa mga cable na inilagay sa mga anggulo na ipinakita sa figure 3. Posible bang ilapat ang teorema ni Lamy sa sitwasyong ito? Sa anumang kaso, hanapin ang mga magnitude ng T ₁ , T _2, at T ₃ na ginagawang posible ang balanse.

Larawan 3. Ang isang timbang ay nakabitin sa balanse sa ilalim ng pagkilos ng tatlong mga stress na ipinakita. Pinagmulan: ginawa ng sarili.

Solusyon

Ang teorema ni Lamy ay naaangkop sa sitwasyong ito kung ang node kung saan inilalapat ang tatlong mga stress ay isinasaalang-alang, dahil ito ay bumubuo ng isang sistema ng mga puwersang coplanar. Una, ang diagram ng libreng katawan para sa nakabitin na timbang ay ginawa, upang matukoy ang laki ng T _3:

Larawan 4. Libre na diagram ng katawan para sa nakabitin na timbang. Pinagmulan: ginawa ng sarili.

Mula sa kondisyon ng balanse ay sumusunod ito:

Ang mga anggulo sa pagitan ng mga puwersa ay minarkahan ng pula sa mga sumusunod na pigura, madaling mapatunayan na ang kanilang kabuuan ay 360º. Ngayon posible na mag-apply ng teorema ni Lamy, dahil ang isa sa mga puwersa at ang tatlong anggulo sa pagitan nila ay kilala:

Larawan 5.- Sa pula ang mga anggulo upang ilapat ang teorema ni Lamy. Pinagmulan: ginawa ng sarili.

T ₁ / kasalanan 127º = W / kasalanan 106º

Samakatuwid: T ₁ = kasalanan 127º (W / kasalanan 106º) = 498.5 N

Muli ang teorema ni Lamy ay inilalapat upang malutas ang T ₂ :

T ₂ / kasalanan 127 = T ₁ / kasalanan 127º

T ₂ = T ₁ = 498.5 N

Mga Sanggunian

1. Figueroa, D. Serye: Physics para sa Agham at Engineering. Dami 1. Kinematics. 31-68.
2. Pisikal. Modyul 8: Vector. Nabawi mula sa: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mekanismo para sa Mga Engineer. Static Ika-6 na Edisyon. Continental Publishing Company. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mga Mekanismo para sa Mga Engineer: Statics at Dynamics. 3rd Edition. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Nabawi mula sa: es.wikipedia.org.