MGA VECTOR SA ESPASYO: KUNG PAANO MAG-GRAP, MAG-APLIKASYON, MAGSANAY - PISIKAL - 2025

Ang isang vector sa espasyo ay ang lahat na kinakatawan ng isang coordinate system na ibinigay ng x, y, at z. Karamihan sa oras ang xy eroplano ay ang pahalang na eroplano ng ibabaw at ang z axis ay kumakatawan sa taas (o lalim).

Ang mga axes ng coordinate ng Cartesian na ipinakita sa figure 1 hatiin ang puwang sa 8 na mga rehiyon na tinatawag na mga octants, magkatulad sa kung paano nahahati ng mga x-y axes ang eroplano sa 4 quadrants. Magkakaroon kami ng 1st octant, 2nd octant at iba pa.

Larawan 1. Isang vector sa espasyo. Pinagmulan: ginawa ng sarili.

Ang Figure 1 ay naglalaman ng isang representasyon ng isang vector v sa espasyo. Ang ilang pananaw ay kinakailangan upang lumikha ng ilusyon ng tatlong mga sukat sa eroplano ng screen, na nakamit sa pamamagitan ng pagguhit ng isang nakamamanghang view.

Upang grapahan ang isang 3D vector, dapat gamitin ng isa ang mga tuldok na linya na natutukoy sa grid ang mga coordinate ng projection o "anino" ng v sa ibabaw ng xy. Ang projection na ito ay nagsisimula sa O at nagtatapos sa berdeng punto.

Sa sandaling doon, kailangan mong magpatuloy sa kahabaan ng patayo sa kinakailangang taas (o lalim) ayon sa halaga ng z, hanggang sa maabot mo ang P. Ang vector ay iginuhit simula sa O at nagtatapos sa P, na sa halimbawa ay nasa ika-1 ng octant.

Aplikasyon

Ang mga Vector sa espasyo ay malawakang ginagamit sa mga mekanika at iba pang mga sangay ng pisika at engineering, dahil ang mga istruktura na nakapaligid sa amin ay nangangailangan ng geometry sa tatlong sukat.

Ang mga posisyon ng vectors sa espasyo ay ginagamit upang iposisyon ang mga bagay na may paggalang sa isang sanggunian na tinatawag na OR na pinagmulan, Samakatuwid, kinakailangan din silang mga tool sa nabigasyon, ngunit hindi iyon lahat.

Ang mga pwersa na kumikilos sa mga istruktura tulad ng mga bolts, bracket, cable, struts, at iba pa ay vector sa kalikasan at oriented sa espasyo. Upang malaman ang epekto nito, kinakailangan na malaman ang address nito (at din ang punto ng aplikasyon).

At madalas ang direksyon ng isang puwersa ay kilala sa pamamagitan ng pag-alam ng dalawang puntos sa puwang na kabilang sa linya ng pagkilos nito. Sa ganitong paraan ang puwersa ay:

F = F u

Saan F ay ang magnitude o magnitude ng puwersa at u ay ang yunit vector (module 1) nakadirekta sa kahabaan ng linya ng pagkilos F .

Notasyon at 3D Vector Representations

Bago tayo magpatuloy upang malutas ang ilang mga halimbawa, susuriin namin sa maikling panahon ang pag-uulat ng vector ng 3D.

Sa halimbawa sa Figure 1, ang vector v, na ang punto ng pinagmulan ay nagkakasabay sa pinagmulan O at na ang pagtatapos ay point P, ay may positibong xyz coordinates, habang ang y coordinate ay negatibo. Ang mga coordinate na ito ay: x ₁ , y ₁ , z ₁ , na tiyak na ang mga coordinate ng P.

Kaya't kung mayroon kaming isang vector na naka-link sa pinagmulan, iyon ay, na ang panimulang punto ay nagkakasabay sa O, napakadaling ipahiwatig ang mga coordinate nito, na magiging mga matinding punto o P. Upang makilala sa pagitan ng isang punto at isang vector, gagamitin namin upang ang huling naka-bold na mga titik at bracket, tulad nito:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Habang ang point P ay ipinapahiwatig sa mga panaklong:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

Ang isa pang representasyon ay gumagamit ng mga yunit vectors i , j at k na tumutukoy sa tatlong direksyon ng puwang sa x, y at z axes ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga vectors na ito ay patayo sa bawat isa at bumubuo ng isang orthonormal na batayan (tingnan ang figure 2). Nangangahulugan ito na ang isang 3D vector ay maaaring isulat sa mga tuntunin ng mga ito bilang:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Angles at Director Cosines ng isang Vector

Ipinapakita rin ng Figure 2 ang mga anggulo ng direktor γ ₁ , γ ₂ at γ ₃ na ginagawa ng vector v ayon sa pagkakabanggit sa x, y at z axes. Alam ang mga anggulo na ito at ang laki ng vector, ito ay ganap na tinutukoy. Bilang karagdagan, ang mga cosine ng mga anggulo ng direktor ay nakakatugon sa sumusunod na relasyon:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

Larawan 2. Ang mga yunit ng vectors i, j at k ay tumutukoy sa 3 kagustuhan na direksyon ng espasyo. Pinagmulan: ginawa ng sarili.

Malutas na ehersisyo

-Ehersisyo 1

Sa figure 2 ang mga anggulo γ ₁ , γ ₂ at γ ₃ na ang vector v ng modulus 50 form kasama ang mga coordinate axes ay ayon sa pagkakabanggit: 75.0º, 60.0º at 34.3º. Hanapin ang mga bahagi ng Cartesian ng vector na ito at kumatawan ito sa mga tuntunin ng mga yunit vectors i , j, at k .

Solusyon

Ang projection ng vector v papunta sa x-axis ay v _x = 50. cos 75º = 12,941. Sa parehong paraan, ang projection ng v sa y axis ay v _y = 50 kos 60 º = 25 at sa wakas sa z axis ay v _z = 50. cos 34.3 º = 41.3. Ngayon v maipahayag bilang:

v = 12.9 i + 25.0 j + 41.3 k

-Exercise 2

Hanapin ang mga tensyon sa bawat isa sa mga cable na humahawak ng balde sa figure na nasa balanse, kung ang timbang nito ay 30 N.

Larawan 3. Stress diagram para sa ehersisyo 2.

Solusyon

Sa balde, ipinapakita ng diagram ng malayang katawan na ang T _D (berde) ay tinatanggal ang bigat W (dilaw), samakatuwid T _D = W = 30 N.

Sa node, ang vector T _D ay nakadirekta patayo pababa, pagkatapos:

T _D = 30 (- k ) N.

Upang maitaguyod ang natitirang boltahe, sundin ang mga hakbang na ito:

Hakbang 1: Hanapin ang mga Coordinates ng Lahat ng Mga Punto

A = (4.5,0,3) (A ay nasa eroplano ng dingding xz)

B = (1.5,0,0) (Ang B ay nasa x-axis)

C = (0, 2.5, 3) (Si C ay nasa eroplano ng dingding at z)

D = (1.5, 1.5, 0) (D ay nasa pahalang na xy eroplano)

Hakbang 2: Hanapin ang mga vectors sa bawat direksyon sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga coordinate ng pagtatapos at simula

DA = <3; -1.5; 3>

DC = <-1.5; isa; 3>

DB = <0; -1.5; 0>

Hakbang 3: Kalkulahin ang mga module at mga vectors ng yunit

Ang isang yunit ng vector ay nakuha sa pamamagitan ng expression: u = r / r, na may r (nang naka-bold) na ang vector at r (nang walang tapang) ay ang module ng sinabi vector.

DA = (3 ² + (-1.5) ² + 3 ² ) ^½ = 4.5; DC = ((-1.5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3.5

u _DA = <3; -1.5; 3> 4.5 = <0.67; -0.33; 0.67>

u _DC = <-1.5; isa; 3> 3.5 = <-0.43; 0.29; 0.86>

u _DB = <0; -isa; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Hakbang 4: Ipahayag ang lahat ng mga stress bilang vectors

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0.67; -0.33; 0.67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0.43; 0.29; 0.86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -isa; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Hakbang 5: Ilapat ang kalagayan ng static na balanse at malutas ang sistema ng mga equation

Sa wakas, ang kondisyon ng static na balanse ay inilalapat sa balde, upang ang kabuuan ng vector ng lahat ng mga puwersa sa node ay zero:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Dahil ang mga stress ay nasa espasyo, magreresulta ito sa isang sistema ng tatlong mga equation para sa bawat sangkap (x, y, at z) ng mga stress.

0.67 T _DA -0.43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0.33 T _DA + 0.29 T _DC - T _DB = 0

0.67 T _DA + 0.86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Ang solusyon ay: T _DA = 14.9 N; T _DA = 23.3 N; T _DB = 1.82 N

Mga Sanggunian

1. Bedford, 2000. A. Mga Mekanikal na Teknolohiya: Statics. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Serye: Physics para sa Agham at Engineering. Dami 1. Kinematics. 31-68.
3. Pisikal. Modyul 8: Vector. Nabawi mula sa: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mekanismo para sa Mga Engineer. Static Ika-6 na Edisyon. Kumpanya ng Continental Publishing. 15-53.
5. Vector Addition Calculator. Nabawi mula sa: 1728.org