APAT NA PAGBABAGO: MGA KATANGIAN, APLIKASYON, HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang pang- apat na pagbabagong anyo ay isang pamamaraan ng pagsusuri na sapat na nakatuon sa mga pag-andar ng pag-andar na kabilang sa pamilya ng mga integral na pagbabago. Binubuo ito ng isang redefinition ng mga function f (t) sa mga tuntunin ng Cos (t) at Sen (t).

Ang mga trigonometrikong pagkakakilanlan ng mga pagpapaandar na ito, kasama ang kanilang mga derivation at antiderivation na katangian, ay nagsisilbi upang tukuyin ang pagbabagong-anyo ng Fourier sa pamamagitan ng sumusunod na kumplikadong pag-andar:

Alin ang totoo habang ang expression ay may kahulugan, iyon ay, kapag ang hindi tamang integral ay magkakasundo. Algebraically ang pang-apat na pagbabagong-anyo ay sinasabing isang linear na homeomorphism.

Ang bawat pag-andar na maaaring magtrabaho sa isang pagbabagong-anyo ng Fourier ay dapat na ipakita nang walang labas sa isang tinukoy na parameter.

Ari-arian

Pinagmulan: mga pexels

Ang Fourier na pagbabago ay nakakatugon sa mga sumusunod na katangian:

Eksistensya

Upang mapatunayan ang pagkakaroon ng Fourier pagbabagong-anyo sa isang function f (t) na tinukoy sa mga real R , ang sumusunod na 2 axioms ay dapat na matupad:

1. f (t) ay patuloy na patuloy para sa lahat ng R
2. f (t) ay integrable sa R

Apat na pagkakasunud-sunod na pagbabago

Hayaan ang M (t) at N (t) ay alinman sa dalawang mga pag-andar na may tiyak na Fourier na mga pagbabago, na may anumang mga constant a at b.

F (z) = isang F (z) + b F (z)

Alin ang sinusuportahan din ng pagkakasunud-sunod ng integral ng parehong pangalan.

Apat na pagbabagong-anyo ng isang hinango

Mayroong isang function f na tuloy-tuloy at integrable sa lahat ng mga reals, kung saan:

At ang hinango ng f (f ') ay tuluy-tuloy at tinutukoy ng buong R

Ang Fourier na pagbabago ng isang derivative ay tinukoy sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi, sa pamamagitan ng sumusunod na expression:

F (z) = iz F (z)

Sa mga derivation ng mas mataas na pagkakasunud-sunod, ilalapat ito sa isang homologous na paraan, kung saan para sa lahat ng n 1 mayroon tayo:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Apat na pagbabago ng pagkita ng kaibhan

Mayroong isang function f na tuloy-tuloy at integrable sa lahat ng mga reals, kung saan:

Apat na pagbabago ng isang pagsasalin

Para sa bawat θ na kabilang sa isang set S at T na kabilang sa set S ', mayroon kami:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Sa τ _ng pagtatrabaho bilang operator translation sa vector a.

Pagsasalin ng Fourier na pagbabago

Para sa bawat θ na kabilang sa isang set S at T na kabilang sa set S ', mayroon kami:

τ _a F = F τ _a F = F

Para sa lahat ng mga na nabibilang sa R

Apat na pagbabago ng isang pangkat ng scale

Para sa lahat ng θ na pag-aari ng isang set S. T na pagmamay-ari ang set S '

λ pag- aari sa R - {0} mayroon kami:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Kung f ay isang tuluy-tuloy at malinaw na pagsasama-sama ng function, kung saan ang isang> 0. Pagkatapos:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Upang maipakita ang resulta, maaari tayong magpatuloy sa pagbabago ng variable.

Kapag T → + pagkatapos ay s = sa → + ∞

Kapag T → - pagkatapos ay s = sa → - ∞

Kagamitan

Upang pag-aralan ang simetrya ng pagbabagong-anyo ng Fourier, dapat mapatunayan ang pagkakakilanlan ng Parseval at ang Plancherel formula.

Mayroon kaming θ at δ na pag-aari ng S. Mula doon maaari itong maibawas na:

Pagkuha

1 / (2π) ^d { F, F } Pagkakakilanlan ng Parseval

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel formula

Apat na pagbabago ng isang produkto ng ebolusyon

Ang paghabol sa mga katulad na layunin tulad ng sa Laplace ay nagbabago, ang pagbubuo ng mga pagpapaandar ay tumutukoy sa produkto sa pagitan ng kanilang mga Fourier na mga pagbabago.

Mayroon kaming f at g bilang 2 na nakatali, tinukoy at ganap na maaaring i-function:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Pagpapatuloy at pagkahulog sa kawalang-hanggan

Ano ang ibinabago ng Fourier?

Nagsisilbi lalo na upang makabuluhang gawing simple ang mga equation, habang binabago ang mga nakuha na expression sa mga elemento ng kuryente, na nagsasaad ng mga expression na kaugalian sa anyo ng integrable polynomials.

Sa pag-optimize, modyul at pagmomolde ng mga resulta, kumikilos ito bilang isang pamantayang expression, na isang madalas na mapagkukunan para sa engineering pagkatapos ng ilang mga henerasyon.

Ang seryeng Fourier

Ang mga ito ay serye na tinukoy sa mga tuntunin ng Cosines at Sines; Naghahatid sila upang mapadali ang trabaho na may pangkalahatang pana-panahong pag-andar. Kapag inilapat, ang mga ito ay bahagi ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ordinaryong at bahagyang kaugalian na mga equation.

Ang pang-apat na serye ay mas pangkalahatan kaysa sa serye ng Taylor, sapagkat sila ay nagkakaroon ng pana-panahong mga hindi nakapagpapatuloy na pag-andar na walang kinatawan ng serye ng serye.

Iba pang mga anyo ng serye ng Fourier

Upang maunawaan ang pagbabagong-anyo ng Fourier, mahalagang suriin ang iba pang mga paraan kung saan matatagpuan ang seryeng Fourier, hanggang sa ang seryeng Fourier ay maaaring tukuyin sa kumplikadong notasyon.

-Fourier serye sa isang function ng panahon 2L

Maraming mga beses kinakailangan na iakma ang istraktura ng isang serye ng Fourier sa mga pana-panahong pag-andar na ang panahon ay p = 2L> 0 sa agwat.

-Fourier serye sa kakaiba at kahit na pag-andar

Ang pagitan ay isinasaalang-alang, na nag-aalok ng mga kalamangan kapag sinasamantala ang mga katangian ng simetriko ng mga pag-andar.

Kung ang f ay kahit na, ang serye ng Fourier ay itinatag bilang isang serye ng mga Cosines.

Kung ang f ay kakaiba, ang seryeng Fourier ay itinatag bilang isang serye ng mga Sines.

-Komplex notasyon ng seryeng Fourier

Kung mayroon kaming isang function f (t), na nakakatugon sa lahat ng mga kinakailangan sa pag-unlad ng serye ng Fourier, posible na maipahiwatig ito sa agwat gamit ang kumplikadong notasyon:

Aplikasyon

Pinagmulan: mga pexels

Pagkalkula ng pangunahing solusyon

Ang Fourier na pagbabago ay isang malakas na tool sa pag-aaral ng bahagyang kaugalian na mga equation ng linear type na may pare-pareho ang coefficients. Nag-aaplay sila para sa mga pag-andar na may pantay na walang batayang mga pantay.

Tulad ng pagbabagong-anyo ng Laplace, ang Transform ng Fourier ay nagbabago ng isang bahagyang pagpapaandar na gawa sa isang ordinaryong equation na kaugalian na mas simple upang mapatakbo.

Ang problema sa Cauchy para sa equation ng init ay nagtatanghal ng isang larangan ng madalas na aplikasyon ng pagbabagong-anyo ng Fourier kung saan nabuo ang nucleus ng init o function ng nucleus ni Dirichlet.

Tungkol sa pagkalkula ng pangunahing solusyon, ang mga sumusunod na kaso ay ipinakita kung saan karaniwan na makahanap ng pagbabagong-anyo ng Fourier:

Teorya ng senyales

Ang pangkalahatang dahilan para sa aplikasyon ng Fourier na pagbabago sa sangay na ito ay higit sa lahat dahil sa katangian ng agnas ng isang signal bilang isang walang hanggan na superposition ng mas madaling magamot na mga signal.

Maaari itong maging isang tunog na alon o isang electromagnetic wave, ipinapahayag ito ng Fourier sa isang superposition ng mga simpleng alon. Ang representasyong ito ay madalas sa elektrikal na engineering.

Sa kabilang banda, ang mga halimbawa ng aplikasyon ng pagbabagong-anyo ng Fourier sa larangan ng signal theory:

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Tukuyin ang pang-apat na pagbabagong-anyo para sa sumusunod na expression:

Maaari rin nating kumatawan sa sumusunod na paraan:

F (t) = Sen (t)

Ang hugis-parihaba na pulso ay tinukoy:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Ang pang-apat na pagbabagong-anyo ay inilalapat sa sumusunod na expression na kahawig ng teorema ng modulation.

f (t) = p (t) Sen (t)

Kung saan: F = (1/2) i

At ang pagbabagong-anyo ng Fourier ay tinukoy ng:

F = (1/2) i

Halimbawa 2

Tukuyin ang pang-apat na pagbabagong-anyo para sa expression:

Dahil ang f (h) ay isang pantay na pag-andar, masasabi na

Ang pagsasama ng mga bahagi ay inilalapat sa pamamagitan ng pagpili ng mga variable at ang kanilang mga pagkakaiba-iba tulad ng sumusunod

u = kasalanan (zh) du = z kos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e ^-h ) ² /2

Substituting mayroon ka

Matapos suriin sa ilalim ng pangunahing teorema ng calculus

Nag-aaplay ng naunang kaalaman tungkol sa mga equation ng first-order na pagkakaiba-iba, ang expression ay sinasabing bilang

Upang makuha ang K namin suriin

Sa wakas, ang Fourier na pagbabago ng expression ay tinukoy bilang

Ang mga iminungkahing ehersisyo

• 

• 

• Kunin ang pagbabagong-anyo ng expression W / (1 + w ² )

Mga Sanggunian

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Apat na pagsusuri. Addison- Wesley Iberoamericana, Autonomous University of Madrid, 1995.
2. Mga Lions, JL, Pagsusuri sa Matematika at Mga Paraan para sa Agham at Teknolohiya. Springer - Verlag, 1990.
3. Ang Lieb, EH, Gaussian kernels ay mayroon lamang mga gaussian maximizer. Pag-imbento Matematika. 102 , 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier Series at Integrals. Akademikong Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Paris, 1966.