- Least na paraan ng parisukat
- Malutas na ehersisyo
- Ehersisyo 1
- Solusyon
- Mag-ehersisyo 2
- Para saan ito?
- Mga Sanggunian
Ang pamamaraan ng hindi bababa sa mga parisukat ay isa sa mga pinakamahalagang aplikasyon sa approximation ng mga pag-andar. Ang ideya ay upang makahanap ng isang curve tulad nito, na binigyan ng isang hanay ng mga order na mga pares, ang pagpapaandar na ito ay pinakamahusay na tinatayang ang data. Ang pag-andar ay maaaring maging isang linya, isang kuwadradong curve, isang kubiko, atbp.
Ang ideya ng pamamaraan ay binubuo ng pagliit ng kabuuan ng mga parisukat ng mga pagkakaiba-iba sa ordinate (Y sangkap), sa pagitan ng mga puntos na nabuo ng napiling function at ang mga puntos na kabilang sa set ng data.
Least na paraan ng parisukat
Bago ibigay ang pamamaraan, kailangan muna nating maging malinaw tungkol sa kung ano ang ibig sabihin ng "mas mahusay na diskarte". Ipagpalagay na naghahanap kami ng isang linya y = b + mx na pinakamahusay na kumakatawan sa isang hanay ng mga n puntos, lalo na {(x1, y1), (x2, y2) …, (xn, yn)}.
Tulad ng ipinakita sa nakaraang figure, kung ang mga variable na x at y ay nauugnay sa linya y = b + mx, kung gayon para sa x = x1 ang kaukulang halaga ng y ay magiging b + mx1. Gayunpaman, ang halaga na ito ay naiiba sa totoong halaga ng y, na kung saan ay y = y1.
Tandaan na sa eroplano, ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos ay ibinibigay ng mga sumusunod na pormula:
Sa pag-iisip nito, upang matukoy ang paraan upang piliin ang linya y = b + mx na pinakamahusay na tinatayang ang naibigay na datos, tila lohikal na gamitin bilang isang criterion ang pagpili ng linya na pinaliit ang kabuuan ng mga parisukat ng mga distansya sa pagitan ng mga puntos at ang tuwid.
Dahil ang distansya sa pagitan ng mga puntos (x1, y1) at (x1, b + mx1) ay y1- (b + mx1), binabawasan ang aming problema sa paghahanap ng mga numero ng m at b na ang sumusunod na kabuuan ay minimal:
Ang linya na tumutupad sa kondisyong ito ay kilala bilang «approximation ng hindi bababa sa mga parisukat na linya sa mga puntos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)».
Kapag nakuha ang problema, nananatili lamang ito upang pumili ng isang pamamaraan upang mahanap ang hindi bababa sa mga parisukat na pag-asa. Kung ang mga puntos (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) lahat ay nasa linya y = mx + b, gugustuhin natin na ang mga ito ay collinear y:
Sa expression na ito:
Sa wakas, kung ang mga puntos ay hindi kolektor, kung gayon ang y-Au = 0 at ang problema ay maaaring isalin sa paghahanap ng isang vector u tulad na ang pamantayan ng Euclidean ay minimal.
Ang paghahanap ng minimizing vector u ay hindi mahirap hangga't maaari mong isipin. Dahil ang A ay isang nx2 matrix at ang u ay isang 2 × 1 matrix, mayroon kami na ang vector Au ay isang vector sa R n at kabilang sa imahe ng A, na kung saan ay isang subspace ng R n na may sukat na hindi hihigit sa dalawa.
Ipapalagay namin na n = 3 upang ipakita kung aling pamamaraan ang dapat sundin. Kung n = 3, ang imahe ng A ay isang eroplano o isang linya sa pamamagitan ng pinagmulan.
Hayaan ang maging ang pag-minimize ng vector. Sa figure na obserbahan namin na ang y-Au ay minamali kapag ito ay orthogonal sa imahe ng A. Iyon ay, kung v ay ang pag-minimize ng vector, kung gayon mangyayari na:
Pagkatapos, maaari nating ipahiwatig ang nasa itaas sa ganitong paraan:
Maaari itong mangyari kung:
Sa wakas, paglutas para sa v, mayroon kami:
Posible na gawin ito dahil ang A t A ay hindi maiiwasan hangga't ang mga n na puntos na ibinigay bilang mga datos ay hindi collinear.
Ngayon, kung sa halip na maghanap ng isang linya nais naming makahanap ng isang parabola (na ang pagpapahayag ay magiging ng form y = a + bx + cx 2 ) na magiging isang mas mahusay na pag-asa sa mga puntos ng data, ang pamamaraan ay magiging tulad ng inilarawan sa ibaba.
Kung ang mga n data point ay nasa parabola na ito, magkakaroon kami:
Pagkatapos:
Katulad nito maaari nating isulat ang y = Au. Kung ang lahat ng mga punto ay wala sa parabola, mayroon kaming y-Au na naiiba sa zero para sa anumang vector u at ang aming problema ay muli: makahanap ng isang vector u sa R3 tulad na ang pamantayan nito --y-Au-- ay kasing liit hangga't maaari .
Ang pag-uulit ng nakaraang pamamaraan, maaari naming makarating na ang hinahanap ng vector ay:
Malutas na ehersisyo
Ehersisyo 1
Hanapin ang linya na pinakamahusay na umaangkop sa mga puntos (1,4), (-2,5), (3, -1) at (4,1).
Solusyon
Kailangan natin:
Pagkatapos:
Samakatuwid, tapusin namin na ang linya na pinakamahusay na umaangkop sa mga puntos ay ibinigay ng:
Mag-ehersisyo 2
Ipagpalagay na ang isang bagay ay nahulog mula sa taas na 200 m. Sa pagbagsak nito, ang mga sumusunod na hakbang ay kinuha:
Alam namin na ang taas ng nasabing object, pagkatapos ng isang oras ay lumipas, ay ibinigay ng:
Kung nais nating makuha ang halaga ng g, makakahanap tayo ng isang parabola na mas mahusay na pag-asa sa limang puntos na ibinigay sa talahanayan, at sa gayon ay kakailanganin natin na ang koepisyenteng sumasabay sa 2 ay magiging isang makatwirang pagtatantya sa (-1/2) g kung ang tumpak ang mga sukat.
Kailangan natin:
At mamaya:
Kaya ang mga puntos ng data ay akma sa pamamagitan ng sumusunod na expression ng kuwadratik:
Kaya, kailangan mong:
Ito ay isang halaga na makatuwirang malapit upang itama, na kung saan ay g = 9.81 m / s 2 . Upang makakuha ng isang mas eksaktong pagtatantya ng g, kinakailangan na magsimula mula sa mas tumpak na mga obserbasyon.
Para saan ito?
Sa mga problema na nangyayari sa natural o panlipunang agham, ito ay maginhawa upang isulat ang mga ugnayan na umiiral sa pagitan ng iba't ibang mga variable sa pamamagitan ng ilang expression ng matematika.
Halimbawa, sa ekonomiks maaari nating maiugnay ang gastos (C), kita (I), at kita (U) sa pamamagitan ng isang simpleng pormula:
Sa pisika, maaari nating maiugnay ang pabilis na dulot ng grabidad, oras na bumagsak ang isang bagay, at ang taas ng bagay sa pamamagitan ng batas:
Sa nakaraang expression s o ang paunang taas ng nasabing object at v o ang paunang bilis nito.
Gayunpaman, ang paghahanap ng mga formula tulad nito ay hindi isang madaling gawain; ito ay karaniwang hanggang sa propesyonal na tungkulin upang gumana ng maraming data at paulit-ulit na nagsasagawa ng maraming mga eksperimento (upang mapatunayan na ang mga resulta na nakuha ay palagi) upang makahanap ng mga relasyon sa pagitan ng iba't ibang data.
Ang isang pangkaraniwang paraan upang makamit ito ay upang kumatawan sa data na nakuha sa isang eroplano bilang mga puntos at maghanap para sa isang tuluy-tuloy na pag-andar na mahusay na tinatayang mga puntos na iyon.
Ang isa sa mga paraan upang mahanap ang pag-andar na "pinakamahusay na tinatayang" ang naibigay na data ay sa pamamagitan ng pamamaraan ng hindi bababa sa mga parisukat.
Bilang karagdagan, tulad ng nakita din namin sa pag-eehersisyo, salamat sa pamamaraang ito maaari kaming makakuha ng medyo malapit na mga pagtataya sa mga pisikal na constant.
Mga Sanggunian
- Charles W Curtis Linear Algebra. Springer-Velarg
- Kai Lai Chung. Mga Teoryang Kakayahang Pang-Elemento sa Mga Proseso ng Stochastic. Springer-Verlag New York Inc
- Richar L Burden at J.Douglas Faires. Numerical Analysis (7ed). Pag-aaral ng Thompson.
- Stanley I. Grossman. Mga aplikasyon ng Linear Algebra. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stanley I. Grossman. Linya algebra. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO