TRANSCENDENT NUMBER: ANO SILA, FORMULA, HALIMBAWA, EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga transcendental na numero ay ang mga hindi maaaring makuha bilang isang resulta ng isang pagkakaugnay na polynomial. Ang kabaligtaran ng isang transcendent na numero ay isang numero ng algebraic, na mga solusyon ng isang pagkakapareho ng polynomial ng uri:

isang _n x ⁿ + isang _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Kung saan ang mga koepisyentong _n , isang _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , ₀ ay mga makatwirang numero, na tinatawag na coefficients ng polynomial. Kung ang isang numero x ay isang solusyon sa nakaraang equation, kung gayon ang bilang na iyon ay hindi transendente.

Larawan 1. Ang dalawang bilang ng malaking kahalagahan sa agham ay mga malalang numero. Pinagmulan: publicdomainpictures.net.

Susuriin namin ang ilang mga numero at makita kung ang mga ito ay transendente o hindi:

a) 3 ay hindi transendente dahil ito ay isang solusyon ng x - 3 = 0.

b) -2 ay hindi maaaring maging transendente dahil ito ay isang solusyon ng x + 2 = 0.

c) ⅓ ay isang solusyon ng 3x - 1 = 0

d) Ang isang solusyon ng equation x ² - 2x + 1 = 0 ay √2 -1, kaya ang bilang sa pamamagitan ng kahulugan ay hindi transendente.

e) Hindi rin ang √2 dahil ito ay bunga ng equation x ² - 2 = 0. Sa pamamagitan ng pag-squaring ng √2 ay nagreresulta ito sa 2, na ibawas mula sa 2 katumbas ng zero. Kaya ang √2 ay isang hindi makatwiran na numero ngunit hindi ito transendente.

Ano ang mga transcendent number?

Ang problema ay walang pangkalahatang tuntunin upang makuha ang mga ito (sasabihin namin sa isang paraan mamaya), ngunit ang ilan sa mga pinakatanyag ay ang numero ng pi at ang numero ng Neper, na tinutukoy ayon sa: π at e.

Ang bilang π

Ang numero ng The ay lumilitaw nang natural sa pamamagitan ng pag-obserba na ang tag-matematika sa pagitan ng perimeter P ng isang bilog at ang diameter nito D, hindi alintana kung ito ay maliit o malaking bilog, palaging nagbibigay ng parehong bilang, na tinatawag na pi:

P = P / D ≈ 3.14159 ……

Nangangahulugan ito na kung ang diameter ng circumference ay kinuha bilang yunit ng pagsukat, para sa lahat ng mga ito, malaki o maliit, ang perimeter ay palaging P = 3.14 … = π, tulad ng makikita sa animation sa figure 2.

Larawan 2. Ang haba ng perimeter ng isang bilog ay pi beses ang haba ng diameter, na may pi na humigit-kumulang na 3.1416.

Upang matukoy ang higit pang mga decimals, kinakailangan upang masukat ang P at D na may mas malaking katumpakan at pagkatapos makalkula ang quientient, na nagawa sa matematika. Ang konklusyon ay ang mga decimals ng quient ay walang katapusan at hindi kailanman ulitin ang kanilang mga sarili, kaya ang bilang π bilang karagdagan sa pagiging transendente ay hindi rin makatwiran.

Ang isang hindi makatwiran na numero ay isang numero na hindi maipahayag bilang paghahati ng dalawang buong numero.

Napag-alaman na ang bawat transendaryo na numero ay hindi makatwiran, ngunit hindi totoo na ang lahat ng hindi makatwiran na mga numero ay transendente. Halimbawa ang √2 ay hindi makatwiran, ngunit hindi ito transendente.

Larawan 3. Ang mga transendente na numero ay hindi makatwiran, ngunit ang salungat ay hindi totoo.

Ang bilang e

Ang transcendent number e ay ang batayan ng natural logarithms at ang decimal na approximation ay:

at 7 2.718281828459045235360….

Kung nais mong isulat ang numero at eksakto, kinakailangan na magsulat ng walang katapusang mga decimals, dahil ang bawat transendente na numero ay hindi makatwiran, tulad ng sinabi dati.

Ang unang sampung numero ng e ay madaling matandaan:

2,7 1828 1828 at bagaman tila sumunod sa isang paulit-ulit na pattern, hindi ito nakamit sa mga decimals ng order na higit sa siyam.

Ang isang mas pormal na kahulugan ng e ay ang mga sumusunod:

Nangangahulugan ito na ang eksaktong halaga ng e ay nakuha sa pamamagitan ng pagsasagawa ng operasyon na ipinahiwatig sa pormula na ito, kapag ang natural na n ay may posibilidad na walang katapusan.

Ipinapaliwanag nito kung bakit maaari lamang tayong makakuha ng mga pagtatantya ng e, dahil kahit gaano kalaki ang inilalagay na numero n, ang isang mas malaking n ay laging matatagpuan.

Maghanap tayo ng ilang mga pagtataya sa aming sarili:

-Kapag n = 100 pagkatapos (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2.70481 na bahagya na nagkakasabay sa unang desimal kasama ang "tunay" na halaga ng e.

-Kung napili mo ang n = 10,000, mayroon kang (1 + 1 / 10,000) ^10,000 = 2,71815, na kasabay ng "eksaktong" halaga ng e sa unang tatlong mga lugar ng desimal.

Ang prosesong ito ay kailangang sundin nang walang hanggan upang makuha ang "totoong" halaga ng e. Sa palagay ko ay wala tayong oras upang gawin ito, ngunit subukan natin ang isa pa:

Gumamit tayo ng n = 100,000:

(1 + 1 / 100,000) ^100,000 = 2.7182682372

Mayroon lamang itong apat na perpektong lugar na tumutugma sa halaga na itinuturing na eksaktong.

Ang mahalagang bagay ay upang maunawaan na ang mas mataas na halaga ng n pinili upang makalkula e _n , mas malapit ito sa tunay na halaga. Ngunit ang tunay na halaga ay magkakaroon lamang kapag ang n ay walang hanggan.

Larawan 4. Ipinakita ito sa grapiko kung paano mas mataas ang halaga ng n, mas malapit sa e, ngunit upang makarating sa eksaktong halaga n ay dapat na walang hanggan.

Iba pang mga mahahalagang numero

Bukod sa mga sikat na numero na ito ay may iba pang mga transendente na numero, halimbawa:

- 2 ^√2

-Ang numero ng Champernowne sa base 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-Ang numero ng Champernowne sa base 2:

C_2 = 0.1101110010110111….

-Ang Gamma number γ o palaging Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0.577 215 664 901 532 860 606

Alin ang nakuha sa pamamagitan ng paggawa ng sumusunod na pagkalkula:

γ + 1 + ½ + ⅓ + ¼ + … + 1 / n - ln (n)

Para kapag n napakalaking. Upang magkaroon ng eksaktong halaga ng numero ng Gamma, kinakailangan na gawin ang pagkalkula nang may kawalang-hanggan. Isang bagay na katulad sa ginawa namin sa itaas.

At maraming iba pang mga transendente na numero. Ang mahusay na matematiko na si Georg Cantor, na ipinanganak sa Russia at nabubuhay sa pagitan ng 1845 at 1918, ay nagpakita na ang hanay ng mga transcendent na numero ay mas malaki kaysa sa hanay ng mga numero ng algebraic.

Mga formula kung saan lilitaw ang transcendent number π

Ang perimeter ng circumference

P = π D = 2 π R, kung saan ang P ay ang perimeter, D ang diameter, at R ang radius ng circumference. Dapat itong alalahanin na:

-Ang diameter ng circumference ay ang pinakamahabang segment na sumali sa dalawang puntos ng pareho at palaging dumadaan sa gitna nito,

-Ang radius ay kalahati ng diameter at ang segment na pupunta mula sa gitna hanggang sa gilid.

Lugar ng isang bilog

A = π R ² = ¼ π D ²

Ibabaw ng isang globo

S = 4 π R ^2.

Oo, bagaman hindi ito tila, ang ibabaw ng isang globo ay kapareho ng sa apat na mga bilog ng parehong radius bilang ang globo.

Dami ng globo

V = 4/3 π R ³

Pagsasanay

- Ehersisyo 1

Ang "EXÓTICA" pizzeria ay nagbebenta ng mga pizza ng tatlong diametro: maliit na 30 cm, medium 37 cm at malaking 45 cm. Ang isang batang lalaki ay labis na nagugutom at natanto niya na ang dalawang maliit na pizza ay nagkakahalaga ng pareho sa isang malaking isa. Ano ang magiging mas mahusay para sa kanya, upang bumili ng dalawang maliit na pizza o isang malaking?

Larawan 5.- Ang lugar ng isang pizza ay proporsyonal sa parisukat ng radius, ang pagiging pare-pareho ng proporsyonalidad. Pinagmulan: Pixabay.

Solusyon

Ang mas malaki sa lugar, mas malaki ang halaga ng pizza, sa kadahilanang ito ang lugar ng isang malaking pizza ay kalkulahin at ihahambing sa dalawang maliit na pizza:

Lugar ng malaking pizza = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 cm ²

Lugar ng maliit na pizza = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 cm ²

Samakatuwid ang dalawang maliit na pizza ay magkakaroon ng isang lugar ng

2 x 706.86 = 1413.72 cm ² .

Malinaw ito: magkakaroon ka ng mas malaking halaga ng pizza na bumili ng isang solong malaki kaysa sa dalawang maliliit.

- Ehersisyo 2

Ang "EXÓTICA" pizzeria ay nagbebenta rin ng isang hemispherical pizza na may radius na 30 cm para sa parehong presyo bilang isang hugis-parihaba na may sukat na 30 x 40 cm sa bawat panig. Alin ang pipiliin mo?

Larawan 6.- Ang ibabaw ng isang hemisphere ay dalawang beses sa pabilog na ibabaw ng base. Pinagmulan: F. Zapata.

Solusyon

Tulad ng nabanggit sa nakaraang seksyon, ang ibabaw ng isang globo ay apat na beses na sa isang bilog ng parehong diameter, kaya ang isang hemisphere 30 cm ang diameter ay magkakaroon:

30 cm hemispherical pizza: 1413.72 cm ² (dalawang beses isang pabilog ng parehong diameter)

Parihabang pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Ang hemispherical pizza ay may isang mas malaking lugar.

Mga Sanggunian

1. Fernández J. Ang bilang e. Pinagmulan at curiosities. Nabawi mula sa: soymatematicas.com
2. Masiyahan sa matematika. Bilang ng Euler. Nabawi mula sa: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Ika-1 Matematika. Nag-iba-iba. Mga edisyon ng CO-BO.
4. García, M. Ang bilang e sa elementong calculus. Nabawi mula sa: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. Numero ng PI. Nabawi mula sa: wikipedia.com
6. Wikipedia. Transpendent na mga numero. Nabawi mula sa: wikipedia.com