HYPERBOLIC PARABOLOID: KAHULUGAN, KATANGIAN AT HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang hyperbolic paraboloid ay isang ibabaw na ang pangkalahatang equation sa Cartesian coordinates (x, y, z) ay nagbibigay-kasiyahan sa mga sumusunod na equation:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Ang pangalang "paraboloid" ay nagmula sa katotohanan na ang variable z ay nakasalalay sa mga parisukat ng mga variable x at y. Habang ang adhetikong "hyperbolic" ay dahil sa ang katunayan na sa mga nakapirming halaga ng z mayroon kaming equation ng isang hyperbola. Ang hugis ng ibabaw na ito ay katulad ng sa isang saddle ng kabayo.

Larawan 1. Hyperbolic paraboloid z = x ² - y ² . Pinagmulan: F. Zapata gamit ang Wolfram Mathematica.

Paglalarawan ng hyperbolic paraboloid

Upang maunawaan ang likas na katangian ng hyperbolic paraboloid, ang sumusunod na pagsusuri ay gagawin:

1.- Dadalhin namin ang partikular na kaso a = 1, b = 1, iyon ay, ang katumbas ng Cartesian ng paraboloid ay nananatiling bilang z = x ² - y ² .

2.- Ang mga eroplano ay itinuturing na kahanay sa eroplano ng ZX, iyon ay, y = ctte.

3.- Sa y = ctte nananatili itong z = x ² - C, na kumakatawan sa mga parabolas na may mga sanga pataas at punong-abala sa ilalim ng XY na eroplano.

Larawan 2. Pamilya ng mga curve z = x ² - C. Pinagmulan: F. Zapata gamit ang Geogebra.

4.- Sa x = ctte ito ay nananatiling z = C - y ² , na kumakatawan sa mga parabolas na may mga sanga na pababa at punasan ang itaas ng XY na eroplano.

Larawan 3. Pamilya ng mga curve z = C - y ² . Pinagmulan: F. Zapata sa pamamagitan ng Geogebra.

5.- Sa z = ctte nananatili itong C = x ² - y ² , na kumakatawan sa mga hyperbolas sa mga eroplano na kahanay sa eroplano XY. Kapag ang C = 0 mayroong dalawang linya (sa + 45º at -45º na may paggalang sa X axis) na bumalandra sa pinagmulan sa eroplano XY.

Larawan 4. Pamilya ng mga kurbada x ² - y ² = C. Pinagmulan: F. Zapata gamit ang Geogebra ..

Mga katangian ng hyperbolic paraboloid

1.- Apat na magkakaibang puntos sa tatlong-dimensional na espasyo ang tumutukoy sa isa at isang hyperbolic paraboloid lamang.

2.- Ang hyperbolic paraboloid ay isang dobleng pinuno ng ibabaw. Nangangahulugan ito na sa kabila ng isang hubog na ibabaw, dalawang magkakaibang linya ang dumadaan sa bawat punto ng isang hyperbolic paraboloid na lubos na nabibilang sa hyperbolic paraboloid. Ang iba pang mga ibabaw na hindi isang eroplano at dobleng pinasiyahan ay ang hyperboloid ng rebolusyon.

Ito ay tiyak na pangalawang pag-aari ng hyperbolic paraboloid na pinapayagan ang malawak na paggamit nito sa arkitektura dahil ang ibabaw ay maaaring mabuo mula sa mga tuwid na beam o mga string.

Ang pangalawang pag-aari ng hyperbolic paraboloid ay nagbibigay-daan sa isang alternatibong kahulugan nito: ito ang ibabaw na maaaring mabuo ng isang gumagalaw na linya na kahanay sa isang nakapirming eroplano at pinuputol ang dalawang nakapirming linya na nagsisilbing gabay. Ang sumusunod na figure ay nililinaw ang kahaliling kahulugan ng hyperbolic paraboloid:

Larawan 5. Ang hyperbolic paraboloid ay isang dobleng pinuno ng ibabaw. Pinagmulan: F. Zapata.

Mga Halimbawa ng Nagtrabaho

- Halimbawa 1

Ipakita na ang equation: z = xy, ay tumutugma sa isang hyperbolic paraboloid.

Solusyon

Ang isang pagbabagong-anyo ay ilalapat sa mga variable na x at y na naaayon sa isang pag-ikot ng Cartesian axes na may paggalang sa Z axis ng + 45º. Ang mga dating x at y coordinates ay binago sa bagong x 'at y' ayon sa mga sumusunod na ugnayan:

x = x '- y'

y = x '+ y'

habang ang z coordinate ay nananatiling pareho, iyon ay, z = z '.

Sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation z = xy mayroon kami:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Sa pamamagitan ng paglalapat ng mga kilalang produkto ng pagkakaiba sa kabuuan na katumbas ng pagkakaiba-iba ng mga parisukat, mayroon kami:

z '= x' ² - y ' ²

na malinaw na tumutugma sa unang ibinigay na kahulugan ng hyperbolic paraboloid.

Ang pagharang ng mga eroplano na kahanay sa XY axis na may hyperbolic paraboloid z = xy ay tinutukoy ang equilateral hyperbolas na mayroong asymptotes ang mga eroplano x = 0 at y = 0.

- Halimbawa 2

Alamin ang mga parameter a at b ng hyperbolic paraboloid na dumadaan sa mga puntos A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) at D (2, -1, 32/9).

Solusyon

Ayon sa mga katangian nito, apat na puntos sa three-dimensional space ang tumutukoy sa isang solong hyperbolic paraboloid. Ang pangkalahatang equation ay:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Kapalit namin ang mga ibinigay na halaga:

Para sa point A mayroon kaming 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , isang equation na nasisiyahan kung anuman ang mga halaga ng mga parameter at a.

Substituting point B, nakukuha namin:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Habang para sa point C nananatili ito:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Sa wakas, para sa point D makuha namin:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Alin ang magkapareho sa nakaraang equation. Sa huli, ang sistema ng mga equation ay dapat malutas:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Ang pagbabawas ng pangalawang equation mula sa unang nagbibigay:

27/9 = 3 / a ² na nagpapahiwatig ng isang ² = 1.

Sa katulad na paraan, ang pangalawang equation ay binawi mula sa quadruple ng una, nakakakuha:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Alin ang pinasimple tulad ng:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Sa madaling salita, ang hyperbolic paraboloid na dumaan sa mga naibigay na puntos A, B, C at D ay mayroong isang equation ng Cartesian na ibinigay ng:

z = x ² - (4/9) y ²

- Halimbawa 3

Ayon sa mga katangian ng hyperbolic paraboloid, dalawang linya ang dumadaan sa bawat puntong ito na ganap na nakapaloob dito. Para sa kaso z = x ^ 2 - y ^ 2 hanapin ang equation ng dalawang linya na dumaan sa puntong P (0, 1, -1) na malinaw na kabilang sa hyperbolic paraboloid, tulad ng lahat ng mga puntos ng mga linyang ito ay kabilang din sa pareho.

Solusyon

Ang paggamit ng kamangha-manghang produkto ng pagkakaiba-iba ng mga parisukat ang equation para sa hyperbolic paraboloid ay maaaring isulat tulad nito:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Kung saan c ay isang nonzero pare-pareho.

Ang equation x + y = cz, at ang equation x - y = 1 / c ay tumutugma sa dalawang eroplano na may mga normal na vectors n = <1,1, -c> at m = <1, -1,0>. Ang produkto ng vector mxn = <- c, -c, -2> ay nagbibigay sa amin ng direksyon ng linya ng intersection ng dalawang eroplano. Pagkatapos ang isa sa mga linya na dumaan sa puntong P at kabilang sa hyperbolic paraboloid ay may isang parametric equation:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Upang matukoy c pinapalitan namin ang point P sa equation x + y = cz, pagkuha:

c = -1

Sa isang katulad na paraan, ngunit isinasaalang-alang ang mga equation (x - y = kz) at (x + y = 1 / k) mayroon tayong parametric equation ng linya:

= <0, 1, -1> + s kasama ang k = 1.

Sa buod, ang dalawang linya:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> at = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Ang mga ito ay ganap na nilalaman sa hyperbolic paraboloid z = x ² - y ^{2 na} dumaraan sa punto (0, 1, -1).

Bilang isang tseke, ipagpalagay na ang t = 1 na nagbibigay sa amin ng punto (1,2, -3) sa unang linya. Kailangan mong suriin kung ito ay nasa paraboloid z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Alin ang nagpapatunay na sa katunayan ay kabilang ito sa ibabaw ng hyperbolic paraboloid.

Ang hyperbolic paraboloid sa arkitektura

Larawan 6. Oceanographic ng Valencia (Espanya) Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Ang hyperbolic paraboloid ay ginamit sa arkitektura ng mahusay na mga arkitekto ng avant-garde, na kung saan ang mga pangalan ng arkitekturang Espanyol na si Antoni Gaudí (1852-1926) at lalo na ang Espanyol na Félix Candela (1910-1997).

Nasa ibaba ang ilang mga gawa batay sa hyperbolic paraboloid:

-Chapel ng lungsod ng Cuernavaca (Mexico) na gawain ng arkitekto na si Félix Candela.

-Ang Oceanographic ng Valencia (Espanya), din ni Félix Candela.

Mga Sanggunian

1. Encyclopedia ng matematika. Naka-iskedyul na Ibabaw. Nabawi mula sa: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hyperbolic paraboloid. Nabawi mula sa: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hyperbolic Paraboloid." Mula sa MathWorld - Isang Wolfram Web Resource. Nabawi mula sa: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Naayos na ibabaw. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com