PARALLELEPIPED: MGA KATANGIAN, URI, LUGAR, DAMI - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang parallelepiped ay isang geometric na katawan na binubuo ng anim na mukha, ang pangunahing katangian na kung saan ang lahat ng mga mukha nito ay paralelograms at din na ang mga kabaligtaran na mukha nito ay magkatulad sa bawat isa. Ito ay isang karaniwang polyhedron sa ating pang-araw-araw na buhay, dahil matatagpuan natin ito sa mga kahon ng sapatos, ang hugis ng isang laryo, ang hugis ng isang microwave, atbp.

Bilang isang polyhedron, ang parallelepiped na nakapaloob sa isang may hangganan na dami at lahat ng mga mukha nito ay patag. Ito ay bahagi ng pangkat ng mga prismo, na ang mga polyhedra na kung saan ang lahat ng mga vertice nito ay nakapaloob sa dalawang magkaparehong eroplano.

Mga Elemento ng Parallelepiped

Mga mukha

Ang mga ito ay bawat isa sa mga rehiyon na nabuo ng mga paralelograms na naglilimita sa paralelepiped. Ang isang parallelepiped ay may anim na mukha, kung saan ang bawat mukha ay may apat na katabing mukha at ang isang kabaligtaran. Gayundin, ang bawat mukha ay kahanay sa kabaligtaran nito.

Mga Edge

Sila ang karaniwang panig ng dalawang mukha. Sa kabuuan, ang isang parallelepiped ay may labindalawang gilid.

Vertex

Ito ang karaniwang punto ng tatlong mukha na katabi ng bawat isa nang dalawa. Ang isang parallelepiped ay may walong mga vertice.

Diagonal

Ibinigay ang dalawang mukha ng magkapareho sa tapat ng bawat isa, maaari kaming gumuhit ng isang linya na linya na nanggagaling mula sa tuktok ng isang mukha patungo sa kabaligtaran ng vertex ng iba pa.

Ang segment na ito ay kilala bilang diagonal ng paralelepiped. Ang bawat parallelepiped ay may apat na diagonals.

Gitna

Ito ay ang punto kung saan ang lahat ng mga diagonal ay bumalandra.

Mga Katangian ng Parallelepiped

Tulad ng nabanggit na natin, ang geometric na katawan na ito ay may labindalawang mga gilid, anim na mukha, at walong mga vertice.

Sa isang parallelepiped, tatlong set na nabuo ng apat na mga gilid ay maaaring makilala, na kahanay sa bawat isa. Bukod dito, ang mga gilid ng nasabing mga hanay ay mayroon ding pag-aari ng pagkakaroon ng parehong haba.

Ang isa pang pag-aari na taglay ng parallelepipeds ay ang convex nila, iyon ay, kung kukuha tayo ng anumang pares ng mga puntos na kabilang sa interior ng paralelepiped, ang segment na tinutukoy ng sinabi ng pares ng mga puntos ay nasa loob din ng paralelepiped.

Bilang karagdagan, ang mga parallelepipeds na convex polyhedra ay sumunod sa teorema ni Euler para sa polyhedra, na nagbibigay sa amin ng isang relasyon sa pagitan ng bilang ng mga mukha, ang bilang ng mga gilid at ang bilang ng mga vertice. Ang relasyon na ito ay ibinibigay sa anyo ng mga sumusunod na equation:

C + V = A + 2

Ang katangian na ito ay kilala bilang Euler na katangian.

Kung saan ang C ang bilang ng mga mukha, V ang bilang ng mga vertice at Ang bilang ng mga gilid.

Mga Uri

Maaari naming maiuri ang parallelepipeds batay sa kanilang mga mukha, sa mga sumusunod na uri:

Orthohedron

Ang mga ito ay paralelepipeds kung saan ang kanilang mga mukha ay nabuo ng anim na mga parihaba. Ang bawat parihaba ay patayo sa mga nagbabahagi. Ang mga ito ay ang pinaka-karaniwang sa ating pang-araw-araw na buhay, ito ang karaniwang anyo ng mga kahon ng sapatos at mga brick.

Regular na kubo o hexahedron

Ito ay isang partikular na kaso ng nakaraang isa, kung saan ang bawat isa sa mga mukha ay isang parisukat.

Ang kubo ay bahagi rin ng mga geometric na katawan na tinatawag na Platonic solids. Ang isang Platonic solid ay isang convex polyhedron, upang ang parehong mga mukha nito at ang mga panloob na anggulo ay magkatulad sa bawat isa.

Rhombohedron

Ito ay isang parallelepiped na may mga rhombus para sa mukha nito. Ang mga rhombus na ito ay pantay-pantay sa bawat isa, dahil nagbabahagi sila.

Rhombohedron

Ang anim na mukha nito ay mga rhomboids. Matatandaan na ang isang rhomboid ay isang polygon na may apat na panig at apat na mga anggulo na katumbas ng dalawa hanggang dalawa. Ang mga Rhomboids ay mga paralelograms na hindi mga parisukat, o mga parihaba, o mga rhombus.

Sa kabilang banda, ang Oblique Parallelepipeds ay ang mga kung saan hindi bababa sa isang taas ay hindi sumasang-ayon sa kanilang gilid. Sa pag-uuri na ito maaari naming isama ang rhombohedra at rhombohedra.

Pagkalkula ng diagonals

Upang makalkula ang dayagonal ng isang orthohedron maaari naming gamitin ang teyem ng Pythagorean para sa R ³ .

Alalahanin na ang isang ortohedron ay may katangian na ang bawat panig ay patayo sa mga panig na nagbabahagi. Mula sa katotohanang maaari nating ibawas na ang bawat gilid ay patayo sa mga nagbabahagi ng isang vertex.

Upang makalkula ang haba ng isang dayagonal ng isang orthohedron magpatuloy kami tulad ng mga sumusunod:

1. Kinakalkula namin ang dayagonal ng isa sa mga mukha, na ilalagay namin bilang isang base. Para sa mga ito ginagamit namin ang teyema Pythagorean. Bigyan natin ng pangalan ang dayong ito d _b .

2. Pagkatapos sa d _b maaari tayong bumuo ng isang bagong kanang tatsulok, tulad na ang hypotenuse ng sinabi na tatsulok ay ang diagonal D na hinahanap namin.

3. Ginagamit namin ulit ang teyema ng Pythagorean at mayroon kami na ang haba ng dayagonal na ito ay:

Ang isa pang paraan upang makalkula ang mga diagonal sa isang mas graphic na paraan ay kasama ang pagdaragdag ng mga libreng vectors.

Matatandaan na ang dalawang libreng vectors A at B ay idinagdag sa pamamagitan ng paglalagay ng buntot ng vector B na may dulo ng vector A.

Ang vector (A + B) ay ang nagsisimula sa buntot ng A at nagtatapos sa dulo ng B.

Isaalang-alang natin ang isang parallelepiped na kung saan nais naming makalkula ang isang dayagonal.

Natukoy namin ang mga gilid na may maginhawang oriented vectors.

Pagkatapos ay idagdag namin ang mga vectors na ito at ang nagreresultang vector ay magiging diagonal ng paralelepiped.

Lugar

Ang lugar ng isang parallelepiped ay ibinibigay ng kabuuan ng bawat isa sa mga lugar ng mga mukha nito.

Kung matukoy namin ang isa sa mga panig bilang batayan,

Isang _L + 2A _B = Kabuuang Area

Kung saan ang A _L ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga gilid na katabi ng base, na tinatawag na lateral area at A _B ang lugar ng base.

Depende sa uri ng parallelepiped na pinagtatrabahuhan namin, maaari naming muling isulat ang pormula na ito.

Lugar ng isang ortohedron

Ito ay ibinibigay ng pormula

A = 2 (ab + bc + ca).

Halimbawa 1

Ibinigay ang sumusunod na orthohedron, na may mga gilid ng isang = 6 cm, b = 8 cm at c = 10 cm, kalkulahin ang lugar ng kahanay at ang haba ng dayagonal nito.

Gamit ang pormula para sa lugar ng isang ortohedron mayroon tayo

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Pansinin na dahil ito ay isang orthohedron ang haba ng anuman sa apat na mga diagonals ay pareho.

Gamit ang teyem ng Pythagorean para sa espasyo mayroon tayong

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Lugar ng isang kubo

Dahil ang bawat gilid ay may parehong haba, mayroon kaming isang = b at isang = c. Pagsusulat sa nakaraang formula na mayroon tayo

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

Halimbawa 2

Ang kahon ng isang console ng laro ay hugis tulad ng isang kubo. Kung nais nating balutin ang kahon na ito sa pambalot na papel, gaano karaming papel ang gugugol natin sa pag-alam na ang haba ng mga gilid ng kubo ay 45 cm?

Gamit ang formula para sa lugar ng kubo nakuha namin iyon

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Lugar ng isang rhombohedron

Dahil pareho ang lahat ng kanilang mga mukha, kalkulahin lamang ang lugar ng isa sa kanila at i-multiplikate ito nang anim.

Mayroon kaming na ang lugar ng isang rhombus ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng mga diagonal na may sumusunod na formula

Isang _R = (Dd) / 2

Gamit ang pormula na ito ay sumusunod na ang kabuuang lugar ng rhombohedron ay

Isang _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Halimbawa 3

Ang mga mukha ng mga sumusunod na rhombohedron ay nabuo ng isang rhombus na ang mga diagonals ay D = 7 cm at d = 4 cm. Ang iyong lugar ay

A = 3 (7cm) (4cm) = 84cm ² .

Lugar ng isang rhombohedron

Upang makalkula ang lugar ng isang rhombohedron dapat nating kalkulahin ang lugar ng mga rhomboids na bumubuo nito. Dahil matupad ang mga parallelepipeds na pag-aari ng magkabilang panig ay magkatulad na lugar, maaari nating iugnay ang mga panig sa tatlong pares.

Sa ganitong paraan ay mayroon kaming lugar

Isang _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Kung saan ang b _i ang mga batayan na nauugnay sa mga panig at ang h _{i ang} kanilang kamag-anak na taas na naaayon sa mga batayang ito.

Halimbawa 4

Isaalang-alang ang sumusunod na parallelepiped,

kung saan ang bahagi A at gilid A '(ang kabaligtaran nito) ay may batayang b = 10 at isang taas h = 6. Ang minarkahang lugar ay magkakaroon ng halaga ng

Isang ₁ = 2 (10) (6) = 120

Ang B at B 'ay mayroong b = 4 at h = 6, kaya

Isang ₂ = 2 (4) (6) = 48

Ang YC at C 'ay mayroong b = 10 at h = 5, sa gayon

Isang ₃ = 2 (10) (5) = 100

Sa wakas ang lugar ng rhombohedron ay

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Dami ng isang parallelepiped

Ang formula na nagbibigay sa amin ng dami ng isang parallelepiped ay ang produkto ng lugar ng isa sa mga mukha nito sa pamamagitan ng taas na naaayon sa mukha na iyon.

V = A _C h _C

Depende sa uri ng parallelepiped, maaaring mapasimple ang pormula na ito.

Sa gayon mayroon kaming halimbawa na ang dami ng isang orthohedron ay ibibigay ng

V = abc.

Kung saan ang a, b at c ay kumakatawan sa haba ng mga gilid ng ortohedron.

At sa partikular na kaso ng kubo ay

V = a ³

Halimbawa 1

Mayroong tatlong magkakaibang mga modelo para sa mga kahon ng cookie at nais mong malaman kung alin sa mga modelong ito ang maaari kang mag-imbak ng higit pang mga cookies, iyon ay, alin sa mga kahon ang may pinakamalaking dami.

Ang una ay isang kubo na ang gilid ay may haba ng isang = 10 cm

Ang dami nito ay V = 1000 cm ³

Ang pangalawa ay may mga gilid b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

At samakatuwid ang dami nito ay V = 765 cm ³

At ang pangatlo ay may e = 9 cm, f = 9 cm at g = 13 cm

At ang dami nito ay V = 1053 cm ³

Samakatuwid, ang kahon na may pinakamalaking dami ay ang pangatlo.

Ang isa pang pamamaraan upang makuha ang dami ng isang parallelepiped ay ang paggamit ng vector algebra. Sa partikular, ang produkto ng triple dot.

Ang isa sa mga geometric na interpretasyon na ang produkto ng triple scalar ay ang dami ng paralelepiped, na ang mga gilid ay tatlong vectors na nagbabahagi ng parehong vertex bilang isang panimulang punto.

Sa ganitong paraan, kung mayroon kaming kahanay at nais nating malaman kung ano ang dami nito, sapat na upang kumatawan ito sa isang coordinate system sa R ^{3 sa pamamagitan ng} paggawa ng isa sa mga vertice nito na nag-tutugma sa pinanggalingan.

Pagkatapos ay kinakatawan namin ang mga gilid na nag-tutugma sa pinagmulan ng mga vectors tulad ng ipinapakita sa figure.

At sa ganitong paraan namin na ang dami ng sinabi na paralelahin ay ibinibigay ng

V = - AxB ∙ C-

O, pantay, ang lakas ng tunog ay ang determinant ng 3 × 3 matrix, na nabuo ng mga bahagi ng mga vectors sa gilid.

Halimbawa 2

Kapag kumakatawan sa mga sumusunod na parallelepiped sa R ³ makikita natin na ang mga vectors na tumutukoy dito ay ang mga sumusunod

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) at w = (-0.25, -4, 4)

Gamit ang triple scalar product na mayroon kami

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Mula dito napagpasyahan namin na V = 60

Isaalang-alang natin ngayon ang sumusunod na parallelepiped sa R3 na ang mga gilid ay natutukoy ng mga vectors

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) at C = (3, 4, 4)

Ang paggamit ng mga determinant ay nagbibigay sa amin

Sa gayon mayroon kaming na ang dami ng sinabi na kahanay ay 112.

Parehong katumbas ng mga paraan ng pagkalkula ng lakas ng tunog.

Perpektong parallelepiped

Ang isang orthohedron ay kilala bilang isang Euler brick (o block ng Euler) na tumutupad sa pag-aari na pareho ang haba ng mga gilid nito at ang haba ng mga dayagonal ng bawat mukha nito ay buong bilang.

Bagaman si Euler ay hindi ang unang siyentipiko na nag-aral sa ortohedra na tumupad sa pag-aari na ito, nakahanap siya ng mga kagiliw-giliw na mga resulta tungkol sa kanila.

Ang pinakamaliit na Euler brick ay natuklasan ni Paul Halcke at ang haba ng mga gilid nito ay isang = 44, b = 117 at c = 240.

Ang isang bukas na problema sa bilang ng teorya ay ang mga sumusunod

Mayroon bang perpektong ortohedra?

Sa ngayon, ang tanong na ito ay hindi pa nasasagot, dahil hindi pa posible na patunayan na ang mga naturang katawan ay hindi umiiral, ngunit wala rin natagpuan.

Ang ipinakita sa ngayon ay ang perpektong parallelepipeds ay umiiral. Ang una na natuklasan ay ang haba ng mga gilid nito ang mga halaga ng 103, 106 at 271.

Bibliograpiya

1. Guy, R. (1981). Hindi natukoy na mga problema sa teorya. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometry. Pag-unlad.
3. Leithold, L. (1992). Ang pagkalkula gamit ang analytic geometry. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Teknikal na pagguhit: Aklat ng aktibidad 3 Ika-2 Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexico: Continental.