CONVEX POLYGON: KAHULUGAN, ELEMENTO, KATANGIAN, HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang convex polygon ay isang geometric figure na nilalaman sa isang eroplano na nailalarawan dahil mayroon itong lahat ng mga dayagonal sa loob nito at ang mga anggulo nito ay sumukat ng mas kaunti sa 180º. Kabilang sa mga katangian nito ay ang mga sumusunod:

1) Binubuo ito ng n magkakasunod na mga segment kung saan ang huling bahagi ng mga segment ay sumali sa una. 2) Wala sa mga segment na bumabagsak sa paraang matanggal ang eroplano sa isang panloob na rehiyon at isang panlabas na rehiyon. 3) Ang bawat at bawat anggulo sa panloob na rehiyon ay mahigpit na mas mababa sa isang anggulo ng eroplano.

Larawan 1. Polygons 1, 2, at 6 ay matambok. (Inihanda ni Ricardo Pérez).

Ang isang simpleng paraan upang matukoy kung ang isang polygon ay matambok o hindi ay isaalang-alang ang linya na dumadaan sa isa sa mga panig nito, na tumutukoy sa dalawang kalahating eroplano. Kung sa bawat linya na dumadaan sa isang tabi, ang iba pang mga panig ng polygon ay nasa parehong kalahating eroplano, kung gayon ito ay isang convex polygon.

Mga Sangkap ng isang polygon

Ang bawat polygon ay binubuo ng mga sumusunod na elemento:

- Mga Sides

- Mga Bansa

Ang mga panig ay bawat isa sa magkakasunod na mga segment na bumubuo sa polygon. Sa isang polygon wala sa mga segment na bumubuo nito ay maaaring magkaroon ng isang bukas na pagtatapos, sa kasong iyon magkakaroon ng linya ng polygonal ngunit hindi isang polygon.

Ang mga Vertice ay ang mga puntos ng kantong ng dalawang magkakasunod na mga segment. Sa isang polygon, ang bilang ng mga vertice ay palaging katumbas ng bilang ng mga panig.

Kung ang dalawang panig o mga segment ng isang polygon intersect, magkakaroon ka ng isang cross polygon. Ang crossing point ay hindi itinuturing na isang vertex. Ang isang cross polygon ay isang non-convex polygon. Ang mga Star polygons ay mga cross polygons at samakatuwid ay hindi convex.

Kung ang isang polygon ay may lahat ng mga panig nito sa parehong haba, pagkatapos ay mayroon kaming isang regular na polygon. Ang lahat ng mga regular na polygons ay matambok.

Convex at non-convex polygons

Ipinapakita ng Figure 1 ang ilang mga polygon, ang ilan sa mga ito ay matambok at ang ilan sa mga ito ay hindi. Suriin natin ang mga ito:

Ang bilang 1 ay isang tatlong panig na polygon (tatsulok) at lahat ng mga panloob na anggulo ay mas mababa sa 180º, samakatuwid ito ay isang convex polygon. Ang lahat ng mga tatsulok ay convex polygons.

Ang bilang 2 ay isang apat na panig na polygon (quadrilateral) kung saan wala sa mga panig ang bumalandra at ang bawat at anggulo ng panloob ay mas mababa sa 180º. Pagkatapos ito ay isang convex polygon na may apat na panig (convex quadrilateral).

Sa kabilang banda, ang numero 3 ay isang polygon na may apat na panig ngunit ang isa sa mga panloob na anggulo nito ay mas malaki kaysa sa 180º, kaya hindi ito nakakatugon sa kondisyon ng convexity. Iyon ay, ito ay isang non-convex na apat na panig na polygon na tinatawag na isang concave quadrilateral.

Ang bilang 4 ay isang polygon na may apat na mga segment (panig), dalawa sa kung saan ay bumalandra. Ang apat na mga anggulo ng panloob ay mas mababa sa 180º, ngunit dahil sa magkabilang panig ay ito ay isang non-convex na tumawid ng polygon (tumawid na quadrilateral).

Ang isa pang kaso ay ang numero 5. Ito ay isang limang panig na polygon, ngunit dahil ang isa sa mga panloob na anggulo nito ay mas malaki kaysa sa 180º, pagkatapos ay mayroon kaming isang malukong polygon.

Sa wakas, ang numero 6, na mayroon ding limang panig, ay mayroong lahat ng mga panloob na anggulo na mas mababa sa 180º, kaya ito ay isang convex polygon na may limang panig (convex pentagon).

Mga katangian ng convex polygon

1- Ang isang hindi tumawid na polygon o simpleng polygon ay naghahati sa eroplano na naglalaman nito sa dalawang rehiyon. Ang panloob na rehiyon at ang panlabas na rehiyon, ang polygon ay ang hangganan sa pagitan ng dalawang rehiyon.

Ngunit kung ang polygon ay bukod pa rito, pagkatapos ay mayroon kaming isang panloob na rehiyon na madaling konektado, na nangangahulugang ang pagkuha ng anumang dalawang puntos mula sa panloob na rehiyon, maaari itong palaging sumali sa pamamagitan ng isang segment na nabibilang sa interior na rehiyon.

Larawan 2. Ang isang convex polygon ay simpleng konektado, habang ang isang malukot ay hindi. (Inihanda ni Ricardo Pérez).

2- Ang bawat panloob na anggulo ng isang convex polygon ay mas mababa sa isang anggulo ng eroplano (180º).

3- Ang lahat ng mga panloob na mga punto ng isang convex polygon ay palaging nabibilang sa isa sa mga semi-eroplano na tinukoy ng linya na dumaan sa dalawang magkakasunod na mga vertice.

4- Sa isang convex polygon lahat ng mga diagonals ay ganap na nilalaman sa panloob na rehiyon ng polygonal.

5- Ang mga panloob na mga punto ng isang convex polygon ay nabibilang sa kabuuan ng convex angular sektor na tinukoy ng bawat anggulo ng interior.

6- Ang bawat polygon kung saan ang lahat ng mga vertice nito ay nasa isang circumference ay isang convex polygon na tinatawag na isang cyclic polygon.

7- Ang bawat siklik na polygon ay matambok, ngunit hindi lahat ng convex polygon ay cyclical.

8- Ang anumang di-tumawid na polygon (simpleng polygon) na mayroong lahat ng mga panig nito na pantay na haba ay matambok at kilala bilang isang regular na polygon.

Mga diagonal at anggulo sa mga convex polygons

9- Ang kabuuang bilang ng mga dayagonal ng isang convex polygon na may n panig ay ibinibigay ng sumusunod na pormula:

N = ½ n (n - 3)

Katunayan: Sa isang convex polygon na may mga gilid ng bawat vertex, n - 3 mga diagonal ay iginuhit, dahil ang vertex mismo at ang dalawang katabi ay hindi kasama. Dahil mayroong n vertices, isang kabuuan ng n (n - 2) ang mga diagonal ay iginuhit, ngunit ang bawat dayagonal ay iginuhit ng dalawang beses, kaya ang bilang ng mga diagonal (nang walang pag-uulit) ay n (n-2) / 2.

10- Ang kabuuan ng S ng mga panloob na anggulo ng isang convex polygon na may n panig ay ibinibigay ng sumusunod na relasyon:

S = (n - 2) 180º

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Ang Cyclic hexagon ay isang polygon na may anim na panig at anim na mga vertice, ngunit ang lahat ng mga vertice ay nasa parehong sirkulasyon. Ang bawat siklik na polygon ay matambok.

Cyclic heksagon.

Halimbawa 2

Alamin ang halaga ng mga anggulo ng interior ng isang regular na enegon.

Solusyon: Ang enegon ay isang 9-panig na polygon, ngunit kung regular din ito, ang lahat ng mga panig at anggulo nito ay pantay.

Ang kabuuan ng lahat ng mga panloob na anggulo ng isang 9-panig na polygon ay:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Ngunit mayroong 9 panloob na anggulo ng pantay na sukat ng α, kaya ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay dapat matupad:

S = 9 α = 1260º

Mula sa kung saan sinusunod na ang panukalang α ng bawat panloob na anggulo ng regular na enegon ay:

α = 1260º / 9 = 140º