INAASAHAN SA MATEMATIKA: PORMULA, MGA KATANGIAN, HALIMBAWA, EHERSISYO - DUDAS - 2025

Ang pag- asa sa matematika o inaasahan na halaga ng random variable X, ay isinailalim bilang E (X) at tinukoy bilang kabuuan ng produkto sa pagitan ng posibilidad ng isang random na kaganapan na nagaganap at ang halaga ng nasabing kaganapan.

Sa anyo ng matematika ito ay ipinahayag tulad ng sumusunod:

Larawan 1. Inaasahan ng matematika na malawakang ginagamit sa stock market at sa seguro. Pinagmulan: Pixabay.

Kung saan ang x _i ay ang halaga ng kaganapan at P (x _i ) ang posibilidad nitong maganap. Ang paglalagom ay umaabot sa lahat ng mga halaga na inaamin ni X. At kung ang mga ito ay may hangganan, ang ipinahiwatig na kabuuan ay sumasalungat sa halaga E (X), ngunit kung ang kabuuan ay hindi magtagumpay, ang variable ay simpleng walang inaasahang halaga.

Kapag ito ay isang patuloy na variable x, ang variable ay maaaring magkaroon ng walang hanggan na mga halaga at ang mga integral ay nagpapalit ng mga pagbubuod:

Narito f (x) ay kumakatawan sa pag-andar ng posibilidad ng density.

Sa pangkalahatan, ang pag-asa sa matematika (na kung saan ay may timbang na average) ay hindi katumbas ng ibig sabihin ng aritmetika o average, maliban kung nakikipag-ugnay kami sa mga pamamahagi ng discrete kung saan ang bawat kaganapan ay pantay na maaaring mangyari. Pagkatapos, at pagkatapos lamang:

Kung saan n ang bilang ng mga posibleng halaga.

Ang konsepto ay lubhang kapaki-pakinabang sa mga pamilihan sa pananalapi at mga kumpanya ng seguro, kung saan ang mga katiyakan ay madalas na kulang ngunit may mga probabilidad.

Mga katangian ng pag-asa sa matematika

Kabilang sa mga pinakamahalagang katangian ng pag-asa sa matematika, ang mga sumusunod ay tumatakbo:

- Mag-sign: kung positibo ang X, magiging positibo rin ang E (X).

- Inaasahang halaga ng isang pare-pareho : ang inaasahang halaga ng isang tunay na k ay ang pare-pareho.

- Ang pagkakasunud -sunod sa kabuuan: ang pag-asa ng isang random variable na nasa pagliko ng dalawang variable X at Y ang kabuuan ng mga inaasahan.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Pagdaragdag ng isang pare-pareho : kung ang random variable ay ng form kX, kung saan k ay isang pare-pareho (isang tunay na numero), lalabas ito sa labas ng inaasahang halaga.

- Inaasahang halaga ng produkto at kalayaan sa pagitan ng mga variable : kung ang isang random variable ay produkto ng mga random variable X at Y, na independiyenteng, kung gayon ang inaasahang halaga ng produkto ay produkto ng inaasahang mga halaga.

Sa pangkalahatan, kung Y = g (X):

- Order sa inaasahang halaga: kung X ≤ Y, kung gayon:

Dahil mayroong mga inaasahang halaga ng bawat isa sa kanila.

Ang pag-asa sa matematika sa pagtaya

Kapag ang bantog na astronomo na si Christian Huygens (1629-1695) ay hindi na-obserbahan ang mga kalangitan, inilaan niya ang kanyang sarili sa pag-aaral, bukod sa iba pang mga disiplina, posibilidad sa mga laro ng pagkakataon. Siya ang nagpakilala sa konsepto ng pag-asa sa matematika sa kanyang 1656 na gawa na pinamagatang: Nangangatuwiran tungkol sa mga laro ng pagkakataon.

Larawan 2. Si Christiaan Huygens (1629-1625) ay isang napakatalino at maraming nagagawa na siyentipiko, kung saan may utang tayo sa konsepto ng inaasahang halaga.

Natagpuan ni Huygens na ang mga taya ay maaaring maiuri sa tatlong paraan, batay sa inaasahang halaga:

-Games na may kalamangan: E (X)> 0

- Mga patas na taya: E (X) = 0

-Game sa isang kawalan: E (X) <0

Ang problema ay na sa isang laro ng pagkakataon ang pag-asa sa matematika ay hindi laging madali upang makalkula. At kung magagawa mo, ang resulta ay minsan ay nabigo para sa mga nagtataka kung magpipusta o hindi.

Subukan natin ang isang simpleng pusta: ulo o buntot at ang natalo ay nagbabayad ng $ 1 na kape. Ano ang inaasahang halaga ng pusta na ito?

Buweno, ang posibilidad ng isang ulo na ginulong ay ½, katumbas ng isang buntot. Ang random variable ay upang makakuha ng $ 1 o mawala ang $ 1, ang pakinabang ay ipinapahiwatig ng + sign at ang pagkawala ng pag-sign -.

Inayos namin ang impormasyon sa isang talahanayan:

Dinami namin ang mga halaga ng mga haligi: 1. ½ = ½ at (-1). ½ = -½ at sa wakas ang mga resulta ay idinagdag. Ang kabuuan ay 0 at ito ay isang patas na laro, kung saan ang mga kalahok ay inaasahan na hindi manalo o mawala.

Ang French roulette at ang loterya ay mga laro ng kapansanan kung saan natalo ang karamihan sa mga bettors. Kalaunan mayroong isang bahagyang mas kumplikadong pusta sa seksyon ng paglutas ng pagsasanay.

Mga halimbawa

Narito ang ilang mga simpleng halimbawa kung saan ang konsepto ng matematika na inaasahan ay madaling maunawaan at nililinaw ang konsepto:

Halimbawa 1

Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang matapat na kamatayan. Ano ang inaasahang halaga ng paglulunsad? Buweno, kung ang mamatay ay matapat at may 6 na ulo, ang posibilidad na ang anumang halaga (X = 1, 2, 3 … 6) ay gumulong ay 1/6, tulad nito:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3.5

Larawan 3. Sa listahan ng isang matapat na kamatayan, ang inaasahang halaga ay hindi isang posibleng halaga. Pinagmulan: Pixabay.

Ang inaasahang halaga sa kasong ito ay katumbas ng average, dahil ang bawat mukha ay may parehong posibilidad na lumabas. Ngunit ang E (X) ay hindi isang posibleng halaga, dahil walang ulo ay nagkakahalaga ng 3.5. Ito ay perpektong posible sa ilang mga pamamahagi, bagaman sa kasong ito ang resulta ay hindi makakatulong sa bettor na marami.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa kasama ang paghulog ng dalawang barya.

Halimbawa 2

Dalawang matapat na barya ang ibinabato sa hangin at tinukoy namin ang random variable X bilang ang bilang ng mga ulo na pinagsama. Ang mga kaganapan na maaaring mangyari ay ang mga sumusunod:

-Walang mga ulo ay bumangon: 0 ulo na katumbas ng 2 taek.

-Naglabas ang 1 ulo at 1 stamp o tails.

-Naglabas ang dalawang mukha.

Hayaan ang C maging isang ulo at T isang selyo, ang halimbawang puwang na naglalarawan sa mga kaganapang ito ay ang mga sumusunod:

S _m = {Selyo-Selyo; Selyo-Mukha; Mukha-Selyo; Mukha ang Mukha} = {TT, TC, CT, CC}

Ang mga posibilidad ng mga kaganapan na nangyayari ay:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Ang talahanayan ay itinayo gamit ang mga halagang nakuha:

Ayon sa kahulugan na ibinigay sa simula, ang matematika na pag-asa ay kinakalkula bilang:

Mga halaga ng substituting:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Ang resulta na ito ay binibigyang kahulugan bilang mga sumusunod: kung ang isang tao ay may sapat na oras upang gumawa ng isang malaking bilang ng mga eksperimento sa pamamagitan ng pagtapon ng dalawang barya, inaasahan siyang makakuha ng ulo sa bawat paghagis.

Gayunpaman, alam namin na ang mga paglabas na may 2 label ay perpektong posible.

Nalutas ang ehersisyo

Sa paghagis ng dalawang matapat na barya, ang sumusunod na pusta ay ginawa: kung lumabas ang 2 ulo ay nanalo ka ng $ 3, kung lumabas ang 1 ulo ay nanalo ka ng $ 1, ngunit kung lumabas ang dalawang selyo kailangan mong magbayad ng $ 5. Kalkulahin ang inaasahang panalo ng pusta.

Larawan 4. Depende sa pusta, nagbabago ang inaasahan ng matematika kapag naghahagis ng dalawang matapat na barya. Pinagmulan: Pixabay.

Solusyon

Ang random variable X ay ang mga halaga na kinukuha ng pera sa pusta at ang mga probabilidad ay kinakalkula sa nakaraang halimbawa, samakatuwid ang talahanayan ng pusta ay:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Bilang ang inaasahang halaga ay 0, ito ay patas na laro, kaya dito inaasahan ang bettor na hindi manalo at hindi mawala din. Gayunpaman, ang halaga ng taya ay maaaring mabago upang gawin ang mapagpipilian isang laro ng kapansanan o isang laro ng kapansanan.

Mga Sanggunian

1. Brase, C. 2009. Nauunawaan na Mga Istatistika. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Panimula sa konsepto ng inaasahang halaga o pag-asa sa matematika ng isang random variable. Nabawi mula sa: personal.us.es.
3. Mga Istatistika LibreTexts. Inaasahang Halaga ng Disensional Random variable. Nabawi mula sa: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Mga Elementong Istatistika. Ika-11. Edison Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Posible at Statistics para sa Science at Engineering. Ika-8. Edisyon. Edukasyon sa Pearson.