ANALYTICAL GEOMETRY: KUNG ANO ANG PAG-AARAL, KASAYSAYAN, APLIKASYON - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga analytic geometry na mga linya ng pag-aaral at mga geometric na hugis sa pamamagitan ng paglalapat ng mga pangunahing pamamaraan ng algebra at pagtatasa ng matematika sa isang naibigay na sistema ng coordinate.

Dahil dito, ang analitikal na geometry ay isang sangay ng matematika na pinag-aaralan nang detalyado ang lahat ng data ng mga geometric na numero, iyon ay, ang lakas ng tunog, ang mga anggulo, ang lugar, ang mga punto ng intersection, ang kanilang distansya, at iba pa.

Ang pangunahing katangian ng analytical geometry ay pinapayagan nito ang representasyon ng mga geometric figure sa pamamagitan ng mga formula.

Halimbawa, ang mga kurdon ay kinakatawan ng mga equation ng polynomial ng ikalawang degree habang ang mga linya ay ipinahayag ng mga equation ng polynomial ng unang degree.

Ang analystical geometry ay lumitaw sa ikalabing siyam na siglo dahil sa pangangailangan na magbigay ng mga sagot sa mga problema na hanggang ngayon ay walang solusyon. Ang mga nangungunang kinatawan nito ay sina René Descartes at Pierre de Fermat.

Ngayon maraming mga may-akda ang tumuturo dito bilang isang rebolusyonaryong paglikha sa kasaysayan ng matematika, dahil ito ay kumakatawan sa simula ng modernong matematika.

Kasaysayan ng analitikong geometry

Ang salitang analytical geometry ay lumitaw sa Pransya noong ikalabing siyam na siglo dahil sa pangangailangan na magbigay ng mga sagot sa mga problema na hindi malulutas gamit ang algebra at geometry sa paghihiwalay, ngunit ang solusyon ay inilalagay sa pinagsamang paggamit ng pareho.

Pangunahing kinatawan ng analytical geometry

Sa panahon ng ikalabing siyam na siglo dalawang Pranses ng pagkakataon sa buhay isinasagawa ang pananaliksik na sa isang paraan o sa iba pang natapos sa paglikha ng analytical geometry. Ang mga taong ito ay sina Pierre de Fermat at René Descartes.

Sa kasalukuyan itinuturing na ang tagalikha ng analytic geometry ay si René Descartes. Ito ay dahil sa ang katunayan na nai-publish niya ang kanyang libro bago ang Fermat's at malalim din kasama si Descartes sa paksa ng analytical geometry.

Gayunpaman, ang parehong Fermat at Descartes ay natuklasan na ang mga linya at geometric na mga numero ay maaaring ipinahayag ng mga equation at mga equation ay maaaring ipahiwatig bilang mga linya o geometric figure.

Ayon sa mga natuklasan na ginawa ng dalawa, masasabi na kapwa ang mga tagalikha ng analytical geometry.

Pierre de Fermat

Si Pierre de Fermat ay isang Pranses na matematiko na ipinanganak noong 1601 at namatay noong 1665. Sa panahon ng kanyang buhay pinag-aralan niya ang geometry ng Euclid, Apollonius at Pappus, upang malutas ang mga problema sa pagsukat na umiiral sa oras na iyon.

Nang maglaon, ang mga pag-aaral na ito ay nag-trigger sa paglikha ng geometry. Natapos sila na ipinahayag sa kanyang aklat na "Panimula sa mga patag at solidong lugar" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), na inilathala 14 taon pagkatapos ng kanyang kamatayan noong 1679.

Nag-apply si Pierre de Fermat ng analytic geometry sa mga teorema ni Apollonius sa mga geometric na lugar noong 1623. Siya rin ang unang nag-apply ng analytical geometry sa three-dimensional space.

Rene Descartes

Kilala rin bilang Cartesius, siya ay isang matematiko, pisiko, at pilosopo na ipinanganak noong Marso 31, 1596 sa Pransya at namatay noong 1650.

Inilathala ni René Descartes noong 1637 ang kanyang librong "Discourse sa paraan ng pagsasagawa ng dahilan nang tama at naghahanap ng katotohanan sa mga agham" na mas kilala bilang "The Meth" at mula doon ang term na analytical geometry ay ipinakilala sa mundo. Ang isa sa mga appendice nito ay "Geometry."

Mga pangunahing elemento ng Analytical geometry

Ang analystical geometry ay binubuo ng mga sumusunod na elemento:

Ang sistema ng coordinate ng Cartesian

Ang sistemang ito ay pinangalanan sa René Descartes.

Hindi siya ang pinangalanan ito, o ang isa na nakumpleto ang sistemang coordinate ng Cartesian, ngunit siya ang nagsalita ng mga coordinate na may mga positibong numero na nagpapahintulot sa mga iskolar sa hinaharap na makumpleto ito.

Ang sistemang ito ay binubuo ng rectangular coordinate system at ang polar coordinate system.

Rectangular coordinate system

Ang mga sistemang coordinate ng coordinate ay tinatawag na eroplano na nabuo sa pamamagitan ng balangkas ng dalawang numero na linya na magkatabi sa bawat isa, kung saan ang cut-off point ay magkakasabay sa karaniwang zero.

Pagkatapos ang sistemang ito ay binubuo ng isang pahalang na linya at isang patayo.

Ang pahalang na linya ay ang X axis o ang abscissa axis. Ang patayong linya ay ang Y axis o ang ordinate axis.

Sistema ng coordinate ng polar

Ang sistemang ito ay namamahala sa pagpapatunay ng kamag-anak na posisyon ng isang punto na may kaugnayan sa isang nakapirming linya at sa isang nakapirming punto sa linya.

Katumbas ng Cartesian ng linya

Ang equation na ito ay nakuha mula sa isang linya kapag ang dalawang puntos ay kilala kung saan ipinapasa ito.

Tuwid na linya

Ito ay hindi lumihis at samakatuwid ay walang kurba o mga anggulo.

Mga Katangian

Ang mga ito ay mga curve na tinukoy ng mga linya na dumadaan sa isang nakapirming punto at sa pamamagitan ng mga puntos ng isang kurba.

Ang ellipse, circumference, parabola, at hyperbola ay mga curve ng conic. Ang bawat isa sa kanila ay inilarawan sa ibaba.

Kalagayan

Ang circuit ay tinatawag na saradong curve ng eroplano na nabuo ng lahat ng mga punto ng eroplano na pantay-pantay mula sa isang panloob na punto, iyon ay, mula sa gitna ng circumference.

Parabula

Ito ang lokus ng mga puntos sa eroplano na pantay-pantay mula sa isang nakapirming punto (pokus) at isang nakapirming linya (direktoryo). Kaya ang directrix at ang pokus ay kung ano ang tukuyin ang parabola.

Ang parabola ay maaaring makuha bilang isang seksyon ng isang conical na ibabaw ng rebolusyon sa pamamagitan ng isang eroplano na kahanay sa isang generatrix.

Ellipse

Ang isang ellipse ay ang closed curve na naglalarawan ng isang punto na gumagalaw sa isang eroplano sa isang paraan na ang kabuuan ng mga distansya nito sa dalawa (2) na nakapirming puntos (tinatawag na foci) ay palagi.

Hyperbola

Ang Hyperbola ay tinatawag na curve na tinukoy bilang locus ng mga puntos sa eroplano, kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga distansya ng dalawang nakapirming puntos (foci) ay palagi.

Ang hyperbola ay may isang axis ng simetrya na dumadaan sa foci, na tinatawag na focal axis. Mayroon din itong isa pa, na kung saan ay ang bisector ng segment na may mga nakapirming puntos sa mga dulo nito.

Aplikasyon

Maraming mga aplikasyon ng analytical geometry sa iba't ibang mga lugar ng pang-araw-araw na buhay. Halimbawa, mahahanap natin ang parabola, isa sa mga pangunahing elemento ng analytical geometry, sa marami sa mga tool na ginagamit araw-araw. Ang ilan sa mga tool na ito ay ang mga sumusunod:

Satel na ulam

Ang mga parabolic antennas ay may isang reflector na nabuo bilang isang resulta ng isang parabola na umiikot sa axis ng nasabing antena. Ang ibabaw na nabuo bilang isang resulta ng pagkilos na ito ay tinatawag na isang paraboloid.

Ang kakayahang ito ng paraboloid ay tinatawag na optical na pag-aari o pagmamay-ari ng salamin ng isang parabola, at salamat sa ito posible para sa paraboloid na maipakita ang mga electromagnetic waves na natanggap mula sa mekanismo ng pagpapakain na bumubuo sa antena.

Nakikipag-hang mga tulay

Kung ang isang lubid ay sumusuporta sa isang bigat na homogenous ngunit, sa parehong oras, ay mas malaki kaysa sa bigat ng lubid mismo, ang resulta ay magiging isang parabola.

Ang prinsipyong ito ay pangunahing para sa pagtatayo ng mga tulay ng suspensyon, na karaniwang sinusuportahan ng malawak na mga istruktura ng bakal na bakal.

Ang prinsipyo ng talinghaga sa mga tulay ng suspensyon ay ginamit sa mga istruktura tulad ng Golden Gate Bridge, na matatagpuan sa lungsod ng San Francisco, sa Estados Unidos, o sa Great Bridge ng Akashi Strait, na matatagpuan sa Japan at nag-uugnay sa Island ng Ang Awaji kasama ang Honshū, ang pangunahing isla ng bansang iyon.

Pagsusuri ng astronomya

Ang analystical geometry ay mayroon ding napaka-tiyak at tiyak na gamit sa larangan ng astronomiya. Sa kasong ito, ang elemento ng analytic geometry na tumatagal sa entablado yugto ay ang ellipse; Ang batas ni Johannes Kepler ng paggalaw ng mga planeta ay sumasalamin dito.

Si Kepler, isang matematiko sa matematika at astronomo, ay nagpasiya na ang ellipse ay ang curve na pinakaangkop sa galaw ng Mars; Nauna na niyang sinubukan ang pabilog na modelo na iminungkahi ni Copernicus, ngunit sa gitna ng kanyang mga eksperimento, napatunayan niya na ang ellipse ay nagsilbi upang gumuhit ng isang orbit na perpektong katulad ng sa planeta na kanyang pinag-aaralan.

Salamat sa ellipse, pinatunayan ni Kepler na ang mga planeta ay lumipat sa mga elliptical orbits; ang pagsasaalang-alang na ito ay ang pahayag ng tinaguriang pangalawang batas ng Kepler.

Mula sa pagtuklas na ito, nang maglaon ay pinayaman ng pisika ng Ingles at matematiko na si Isaac Newton, posible na pag-aralan ang mga orbitational na paggalaw ng mga planeta, at dagdagan ang kaalaman na nagkaroon tungkol sa uniberso kung saan kami bahagi.

Teleskopyo ng Cassegrain

Ang teleskopyo ng Cassegrain ay pinangalanang tagatagpo nito, ang pisika na ipinanganak ng Pranses na si Laurent Cassegrain. Sa teleskopyo na ito ang mga prinsipyo ng analytical geometry ay ginagamit sapagkat pangunahing binubuo ito ng dalawang salamin: ang una ay malambot at parabolic, at ang pangalawa ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagiging matambok at hyperbolic.

Ang lokasyon at likas na katangian ng mga salamin na ito ay nagpapahintulot sa kakulangan na kilala bilang spherical aberration na hindi maganap; Pinipigilan ng depekto na ito ang mga light ray na maipakita sa pokus ng isang naibigay na lens.

Ang teleskopyo ng Cassegrain ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagmamasid sa planeta, pati na rin ang pagiging maraming nalalaman at madaling gamitin.

Mga Sanggunian

1. Analitikong Geometry. Nakuha noong Oktubre 20, 2017, mula sa britannica.com
2. Analitikong Geometry. Nakuha noong Oktubre 20, 2017, mula sa encyclopediafmath.org
3. Analitikong Geometry. Nakuha noong Oktubre 20, 2017, mula sa khancademy.org
4. Analitikong Geometry. Nakuha noong Oktubre 20, 2017, mula sa wikipedia.org
5. Analitikong Geometry. Nakuha noong Oktubre 20, 2017, mula sa whitman.edu
6. Analitikong Geometry. Nakuha noong Oktubre 20, 2017, mula sa stewartcalculus.com
7. Plane analytical geometry Nakuha noong Oktubre 20, 2017