HYPERCUBE: KAHULUGAN, SUKAT, COORDINATES, PAGLALAHAD - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang hypercube ay isang kubo ng sukat n. Ang partikular na kaso ng apat na dimensional na hypercube ay tinatawag na isang tesseract. Ang isang hypercube o n-cube ay binubuo ng mga tuwid na mga segment, lahat ng pantay na haba na orthogonal sa kanilang mga vertice.

Nakikita ng mga tao ang tatlong-dimensional na puwang: lapad, taas at lalim, ngunit hindi posible para sa amin na mailarawan ang isang hypercube na may sukat na higit sa 3.

Larawan 1. Ang isang 0-kubo ay isang punto, kung ang puntong iyon ay umaabot sa isang direksyon na malayo ang isang form ng isang 1-kubo, kung ang 1-cube ay nagpapalawak ng isang distansya sa isang direksyon ng orthogonal mayroon kaming isang 2-kubo (mula sa panig x hanggang a), kung ang 2-kubo ay umaabot ng isang distansya sa direksyon ng orthogonal mayroon kaming isang 3-kubo. Pinagmulan: F. Zapata.

Karamihan sa maaari naming gumawa ng mga pag-unlad ng mga ito sa tatlong-dimensional na puwang upang kumatawan sa ito, sa isang katulad na paraan kung paano namin i-project ang isang kubo sa isang eroplano upang kumatawan dito.

Sa sukat 0 ang tanging pigura ay ang punto, kaya ang isang 0-kubo ay isang punto. Ang isang 1-kubo ay isang tuwid na segment, na nabuo sa pamamagitan ng paglipat ng isang punto sa isang direksyon sa layo.

Para sa bahagi nito, ang isang 2-kubo ay isang parisukat. Ito ay itinayo sa pamamagitan ng paglilipat ng 1-cube (ang segment ng haba a) sa direksyon ng y, na kung saan ay orthogonal sa direksyon ng x, isang distansya a.

Ang 3-kubo ay ang karaniwang kubo. Ito ay itinayo mula sa parisukat sa pamamagitan ng paglipat nito sa pangatlong direksyon (z), na kung saan ay orthogonal sa mga x at y na direksyon, isang distansya a.

Larawan 2. Ang isang 4-cube (tesseract) ay ang pagpapalawig ng isang 3-cube sa direksyon ng orthogonal sa tatlong maginoo na mga direksyon ng spatial. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang 4-kubo ay ang tesseract, na kung saan ay itinayo mula sa isang 3-kubo na gumagalaw ito orthogonally, isang distansya a, patungo sa isang ika-apat na sukat (o ika-apat na direksyon), na hindi natin mahahalata.

Ang isang tesseract ay may lahat ng tamang mga anggulo, mayroon itong 16 na patayo, at lahat ng mga gilid nito (18 sa lahat) ay may parehong haba a.

Kung ang haba ng mga gilid ng isang n-cube o hypercube ng dimensyon n ay 1, kung gayon ito ay isang unit ng hypercube, kung saan ang pinakamahabang diagonal na panukala √n.

Larawan 3. Isang n-kubo ay nakuha mula sa isang (n-1) -cube na nagpapalawak nito ng orthogonally sa susunod na sukat. Pinagmulan: mga wikon commons.

Ano ang mga sukat?

Ang mga sukat ay ang antas ng kalayaan, o ang mga posibleng direksyon kung saan maaaring lumipat ang isang bagay.

Sa dimensyong 0 walang posibilidad na isalin at ang tanging posibleng geometric na bagay ay ang punto.

Ang isang sukat sa puwang ng Euclidean ay kinakatawan ng isang oriented na linya o axis na tumutukoy sa sukat na ito, na tinatawag na X axis. Ang paghihiwalay sa pagitan ng dalawang puntos A at B ay ang distansya ng Euclidean:

d = √.

Sa dalawang sukat, ang puwang ay kinakatawan ng dalawang linya na nakatuon sa orthogonal sa bawat isa, na tinatawag na X axis at ang Y axis.

Ang posisyon ng anumang punto sa puwang ng dalawang dimensional na ito ay ibinibigay ng pares nito ng mga coordinate ng Cartesian (x, y) at ang distansya sa pagitan ng anumang dalawang puntos A at B ay:

d = √

Dahil ito ay isang puwang kung saan natupad ang geometry ni Euclid.

Three-dimensional space

Ang three-dimensional space ay ang puwang kung saan kami lumipat. Mayroon itong tatlong direksyon: lapad, taas, at lalim.

Sa isang walang laman na silid ang mga patayo na sulok ay nagbibigay ng tatlong mga direksyon na ito at sa bawat isa maaari nating maiugnay ang isang axis: X, Y, Z.

Ang puwang na ito ay din Euclidean at ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos A at B ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

d = √

Ang mga tao ay hindi makakakita ng higit sa tatlong mga sukat ng spatial (o Euclidean).

Gayunpaman, mula sa isang mahigpit na punto ng matematika na posible upang tukuyin ang isang n-dimensional na puwang ng Euclidean.

Sa puwang na ito ang isang punto ay may mga coordinate: (x1, x2, x3,… .., xn) at ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos ay:

d = √.

Ang ika-apat na sukat at oras

Sa katunayan, sa teorya ng kapamanggitan, ang oras ay ginagamot bilang isa pang sukat at ang isang coordinate ay nauugnay dito.

Ngunit dapat itong linawin na ang coordinate na nauugnay sa oras ay isang haka-haka na numero. Samakatuwid ang paghihiwalay ng dalawang puntos o mga kaganapan sa espasyo-oras ay hindi Euclidean, ngunit sa halip ay sumusunod sa sukatan ng Lorentz.

Ang isang apat na dimensional na hypercube (ang tesseract) ay hindi naninirahan sa espasyo-oras, kabilang ito sa isang apat na dimensional na Euclidean hyper-space.

Larawan 4. 3D projection ng isang apat na dimensional na hypercube sa simpleng pag-ikot sa paligid ng isang eroplano na naghahati sa figure mula sa harap hanggang kaliwa, pabalik sa kanan at mula sa itaas hanggang sa ibaba. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Ang mga coordinate ng isang hypercube

Ang mga coordinate ng mga vertice ng isang n-cube na nakasentro sa pinagmulan ay nakuha sa pamamagitan ng paggawa ng lahat ng mga posibleng pahintulot ng sumusunod na expression:

(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)

Kung saan ang haba ng gilid.

-Ang dami ng isang n-kubo ng gilid a ay: (a / 2) ⁿ (2 ⁿ ) = a ⁿ .

-Ang pinakamahabang diagonal ay ang distansya sa pagitan ng mga kabaligtaran ng mga vertice.

-Ang mga sumusunod ay kabaligtaran ng mga vertice sa isang parisukat : (-1, -1) at (+1, +1).

-At sa isang kubo : (-1, -1, -1) at (+1, +1, +1).

-Ang pinakamahabang dayagonal ng isang n-cube na panukala:

d = √ = √ = 2√n

Sa kasong ito ang panig ay ipinapalagay na isang = 2. Para sa isang n-kubo ng panig sa anumang ito ay magiging:

d = a√n.

-Ang tesseract ay mayroong bawat isa sa 16 na mga patayo na konektado sa apat na mga gilid. Ang sumusunod na figure ay nagpapakita kung paano nakakonekta ang mga vertice sa isang tesseract.

Larawan 5. Ang 16 na mga vertice ng isang apat na dimensional na hypercube at kung paano sila nakakonekta ay ipinapakita. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Pagbubuklod ng isang hypercube

Ang isang regular na geometric figure, halimbawa isang polyhedron, ay maaaring mabuksan sa ilang mga numero ng mas maliit na dimensionality.

Sa kaso ng isang 2-kubo (isang parisukat) maaari itong nahahati sa apat na mga segment, iyon ay, apat na 1-kubo.

Katulad nito ang isang 3-kubo ay maaaring mabuksan sa anim na 2-cubes.

Larawan 6. Ang isang n-kubo ay maaaring mabuksan sa maraming (n-1) -cubes. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Ang isang 4-cube (tesseract) ay maaaring mabuksan sa walong 3-cubes.

Ang sumusunod na animation ay nagpapakita ng paglalahad ng isang tesseract.

Larawan 7. Ang isang 4-dimensional na hypercube ay maaaring mabuksan sa walong three-dimensional cubes. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Larawan 8. Tatlong dimensional na projection ng isang apat na dimensional na hypercube na gumaganap ng dobleng pag-ikot sa paligid ng dalawang eroplano na orthogonal. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Mga Sanggunian

1. Kulturang pang-agham. Hypercube, na nakikita ang ika-apat na sukat. Nabawi mula sa: culturacientifica.com
2. Epsilons. Apat-dimensional na hypercube o tesseract. Nabawi mula sa: epsilones.com
3. Perez R, Aguilera A. Isang pamamaraan upang makakuha ng isang tesseract mula sa pagbuo ng isang hypercube (4D). Nabawi mula sa: researchgate.net
4. Wikibooks. Matematika, Polyhedra, Hypercubes. Nabawi mula sa: es.wikibooks.org
5. Wikipedia. Hypercube. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Tesseract. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com