HANGGANAN NG FERMAT: KUNG ANO ANG BINUBUO NITO AT MALULUTAS ANG MGA EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang limitasyon ng Fermat ay isang paraan na ginagamit upang makuha ang halaga ng dalisdis ng isang linya, na kung saan ay tangent sa isang function sa isang tiyak na punto sa domain nito. Ginagamit din ito upang makakuha ng mga kritikal na punto ng isang function. Ang expression nito ay tinukoy bilang:

Malinaw na hindi alam ni Fermat ang mga batayan ng pagbuo, gayunpaman ang kanyang pag-aaral ang nagtulak sa isang pangkat ng mga matematiko na magtanong tungkol sa mga padaplis na linya at ang kanilang mga aplikasyon sa calculus.

Ano ang limitasyon ng Fermat?

Binubuo ito ng isang diskarte ng 2 puntos, na sa mga nakaraang kondisyon ay bumubuo ng isang lihim na linya sa pag-andar na may intersection sa mga pares ng mga halaga.

Sa pamamagitan ng paglapit sa variable sa halaga ng "a", ang pares ng mga puntos ay pinilit na matugunan. Sa ganitong paraan, ang dating lihim na linya ay nagiging tangent hanggang sa punto (a; f (a)).

Ang halaga ng quient (x - a), kung susuriin sa puntong "a", ay nagbubunga ng isang indeterminacy ng mga limitasyon ng uri K sa pagitan ng zero (K / 0). Kung saan sa pamamagitan ng iba't ibang mga diskarte sa factoring ang mga indetermina hula ay maaaring masira.

Ang pinaka-karaniwang ginagamit na mga diskarte sa operating ay:

-Pagpapalagay ng mga parisukat (isang ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Ang pagkakaroon ng elemento (a - b) ay nagpapahiwatig sa karamihan ng mga kaso ang kadahilanan na nagpapagaan ng expression (x - a) sa quient ng Fermat na limitasyon.

- Pagkumpleto ng mga parisukat (palakol ² + bx); Matapos makumpleto ang mga parisukat, ang isang Newton binomial ay nakuha, kung saan ang isa sa 2 mga kadahilanan nito ay pinasimple kasama ang expression (x - a), pagsira sa indeterminacy.

- Magkakabit (isang + b) / (a ​​+ b); Ang pagpaparami at paghahati ng expression ng conjugate ng ilang kadahilanan ay maaaring maging malaking tulong upang masira ang indeterminacy.

- Karaniwang kadahilanan; Sa maraming mga kaso ang resulta ng pagpapatakbo ng numerator ng limitasyon ng Fermat f (x) - f (a) itinago ang kadahilanan (x - a) na kinakailangan upang salik. Para sa mga ito, maingat na sinusunod kung aling mga elemento ang paulit-ulit sa bawat kadahilanan ng expression.

Ang aplikasyon ng limitasyon ng Fermat para sa mga maximum at minimum

Kahit na ang limitasyon ng Fermat ay hindi magkakaiba sa pagitan ng mga maximum at minimum, dahil maaari lamang itong makilala ang mga kritikal na puntos ayon sa kahulugan nito, karaniwang ginagamit ito sa pagkalkula ng mga takip o sahig ng mga pag-andar sa eroplano.

Ang isang pangunahing kaalaman sa teoryang grapiko ng mga pag-andar kasabay ng teoryang ito ay maaaring sapat upang maitaguyod ang pinakamataas at pinakamababang halaga sa pagitan ng mga pag-andar. Sa katunayan ang mga puntos ng inflection ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng mean theorem ng halaga bilang karagdagan sa teorema ni Fermat.

Ang cubic na parabula

Ang pinaka makabuluhang kabalintunaan para sa Fermat ay nagmula sa pag-aaral ng cubic parabola. Dahil ang kanyang pansin ay nakatuon sa mga linya ng tangent ng isang function para sa isang naibigay na point, tumakbo siya sa problema ng pagtukoy ng sinabi ng tangent line sa punto ng inflection sa function.

Ito ay tila imposible upang matukoy ang tangent line sa isang punto. Sa gayon nagsisimula ang pagtatanong na magbibigay ng pagtaas sa kaugalian calculus. Tinukoy sa ibang pagkakataon ng mga mahahalagang exponents ng matematika.

Maximus at minimous

Ang pag-aaral ng mga maximum at minimum na isang function ay isang hamon para sa klasikal na matematika, kung saan kinakailangan ang isang hindi mali at praktikal na pamamaraan upang tukuyin ang mga ito.

Ang Fermat ay lumikha ng isang pamamaraan batay sa pagpapatakbo ng mga maliit na halaga ng pagkakaiba-iba, na pagkatapos ng mga proseso ng factoring, ay tinanggal, na nagbibigay daan sa maximum at pinakamababang halaga na hinahangad.

Ang variable na ito ay kailangang masuri sa orihinal na expression upang matukoy ang coordinate ng nasabing punto, na kasama ang mga pamantayang pang-analytical ay tinukoy bilang maximum o minimum ng expression.

Paraan

Sa kanyang pamamaraan, ginagamit ni Fermat ang literal na simbolismo ng Vieta, na binubuo ng eksklusibong paggamit ng mga kapital na titik: mga bokales, para sa mga hindi alam, at mga katinig para sa kilalang dami.

Para sa kaso ng mga radikal na halaga, ipinatupad ni Fermat ang isang partikular na proseso, na kalaunan ay gagamitin sa mga factorizations ng mga limitasyon ng indeterminacy na walang hanggan sa pagitan ng kawalang-hanggan.

Ang prosesong ito ay binubuo ng paghati sa bawat expression sa pamamagitan ng halaga ng kaugalian na ginamit. Sa kaso ni Fermat, ginamit niya ang titik E, kung saan pagkatapos ng paghati sa pinakamataas na kapangyarihan ng E, ang hinahangad na halaga ng kritikal na punto ay nagiging malinaw.

Kasaysayan

Ang limitasyon ng Fermat ay sa katunayan ang isa sa hindi bababa sa kilalang mga kontribusyon sa mahabang listahan ng matematika. Ang kanyang pag-aaral ay nagpunta mula sa mga pangunahing numero hanggang sa paglikha ng batayan para sa pagkalkula.

Kaugnay nito, kilala si Fermat para sa kanyang mga eccentricities na may paggalang sa kanyang mga hypotheses. Karaniwan para sa kanya na mag-iwan ng isang uri ng hamon sa iba pang mga matematika ng oras, kapag mayroon na siyang solusyon o patunay.

Siya ay nagkaroon ng isang mahusay na iba't ibang mga hindi pagkakaunawaan at alyansa sa iba't ibang mga matematiko ng oras, na minamahal o kinagusto sa pagtatrabaho sa kanya.

Ang kanyang huling teorema ay ang pangunahing responsable para sa kanyang buong mundo na katanyagan, kung saan sinabi niya na ang isang pagwawasto ng teyorya ng Pythagorean para sa anumang degree na "n" ay imposible. Inangkin niya na mayroong isang wastong patunay tungkol dito, ngunit namatay bago pa ito ipahayag sa publiko.

Ang demonstrasyong ito ay kailangang maghintay ng humigit-kumulang 350 taon. Noong 1995 ang mga matematiko na sina Andrew Wiles at Richard Taylor, ay nagtapos sa pagkabalisa na iniwan ni Fermat, na nagpapatunay na siya ay tama sa pamamagitan ng isang wastong patunay ng kanyang huling teorya.

Pagsasanay

Ehersisyo 1

Tukuyin ang dalisdis ng linya ng padaplis sa curve f (x) = x ² sa puntong (4, 16)

Pagsusulat sa pagpapahayag ng limitasyon ng Fermat na mayroon kami:

Ang mga kadahilanan (x - 4) ay pinasimple

Kapag nasuri mayroon ka

M = 4 + 4 = 8

Mag-ehersisyo 2

Tukuyin ang kritikal na punto ng pagpapahayag f (x) = x ² + 4x gamit ang limitasyong Fermat

Ang isang madiskarteng pagsasama-sama ng mga elemento ay isinasagawa, na naghahanap upang pangkatin ang mga pares XX ₀

Ang pinakamaliit na mga parisukat ay binuo

Sundin ang karaniwang kadahilanan XX _{0 at kunin}

Ang expression ay maaari na ngayong gawing simple at nasira ang indeterminacy

Sa pinakamababang puntos ay kilala na ang slope ng tangent line ay katumbas ng zero. Sa ganitong paraan maaari nating paganahin ang expression na natagpuan sa zero at malutas para sa halaga X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Upang makuha ang nawawalang coordinate kinakailangan lamang na suriin ang punto sa orihinal na pag-andar

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Ang kritikal na punto ay P (-2, -4).

Mga Sanggunian

1. Real Pagsusuri. Isang Makasaysayang Diskarte Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, Agosto 5. 1999.
2. Ang Career ng Matematika ni Pierre de Fermat, 1601-1665: Second Edition. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, Hunyo 5. 2018
3. Mula sa Fermat hanggang Minkowski: Mga Lecture sa Teorya ng Mga Numero at Pag-unlad ng Kasaysayan nito. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Huling teorema ni Fermat: Isang Genetic Introduksiyon sa Teoryang Numero ng Algebraic. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, Enero 14 2000
5. Mga Fermat Araw 85: Matematika para sa Pag-optimize. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, Enero 1. 1986