PARAAN NG GAUSS-SEIDEL: PALIWANAG, APLIKASYON, HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang pamamaraan ng Gauss-Seidel ay isang pamamaraan ng pag-iiba sa paghahanap ng mga tinatayang solusyon sa isang sistema ng mga magkakatulad na mga equation ng algebraic na may arbitrasyong napiling katumpakan. Ang pamamaraan ay inilalapat sa square matrices na may mga elemento ng nonzero sa kanilang mga diagonal at tagpo ay ginagarantiyahan kung ang matrix ay diagonally nangingibabaw.

Ito ay nilikha ni Carl Friedrich Gauss (1777-1855), na nagbigay ng isang pribadong demonstrasyon sa isa sa kanyang mga mag-aaral noong 1823. Ito ay pormal na nai-publish sa pamamagitan ng Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) noong 1874, samakatuwid ang pangalan ng parehong matematika.

Larawan 1. Ang pamamaraan ng Gauss-Seidel ay mabilis na nagko-convert upang makuha ang solusyon ng isang sistema ng mga equation. Pinagmulan: F. Zapata.

Para sa isang kumpletong pag-unawa sa pamamaraan, kinakailangan na malaman na ang isang matrix ay diagonally nangingibabaw kapag ang ganap na halaga ng dayagonal na elemento ng bawat hilera ay mas malaki kaysa o katumbas ng kabuuan ng ganap na mga halaga ng iba pang mga elemento ng parehong hilera.

Sa matematika ito ay ipinahayag tulad nito:

Paliwanag gamit ang isang simpleng kaso

Upang mailarawan kung ano ang binubuo ng paraan ng Gauss-Seidel, kukuha kami ng isang simpleng kaso, kung saan ang mga halaga ng X at Y ay matatagpuan sa 2 × 2 na sistema ng mga pagkakapareho sa linear na ipinakita sa ibaba:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Mga hakbang na dapat sundin

1- Sa unang lugar, kinakailangan upang matukoy kung ang kombensyon ay ligtas. Napansin agad na, sa bisa, ito ay isang dayagonal na nangingibabaw na sistema, dahil sa unang hilera ang unang koepisyent ay may mas mataas na ganap na halaga kaysa sa iba sa unang hilera:

-5 -> - 2-

Gayundin, ang pangalawang koepisyent sa pangalawang hilera ay diagonally nangingibabaw din:

--4 -> - 1-

2- Ang mga variable X at Y ay na-clear:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Ang isang di-makatwirang paunang halaga ay inilalagay, na tinatawag na "binhi": Xo = 1, I = 2.

4-Ang pag-iiba ay nagsisimula: upang makuha ang unang paglapit X1, Y1, ang binhi ay nahalili sa unang pagkakapantay-pantay ng hakbang 2 at ang resulta sa ikalawang pagkakapareho ng hakbang 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Nagpapatuloy kami sa isang katulad na paraan upang makuha ang pangalawang pagtataya ng solusyon ng sistema ng mga equation:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Pangatlong pag-ulit:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7 Pang-apat na pag-ulit, bilang pangwakas na pag-ulit ng halimbawang ito:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Ang mga halagang ito ay sumasangayon nang mabuti sa solusyon na natagpuan ng iba pang mga pamamaraan ng paglutas. Mabilis itong suriin ng mambabasa sa tulong ng isang online na programa sa matematika.

Pagtatasa ng pamamaraan

Tulad ng makikita, sa pamamaraan ng Gauss-Seidel, ang tinatayang mga halaga na nakuha para sa nakaraang variable sa parehong hakbang ay dapat na nahalili sa sumusunod na variable. Ito ay naiiba ito mula sa iba pang mga pamamaraan ng iterative tulad ng Jacobi's, kung saan ang bawat hakbang ay nangangailangan ng mga approximations ng nakaraang yugto.

Ang pamamaraan ng Gauss-Seidel ay hindi kahanay na pamamaraan, habang ang pamamaraan ng Gauss-Jordan ay. Ito rin ang dahilan na ang pamamaraan ng Gauss-Seidel ay may mas mabilis na tagpo - sa mas kaunting mga hakbang - kaysa sa pamamaraan ng Jordan.

Tulad ng para sa diagonally nangingibabaw na kondisyon ng matrix, hindi ito palaging nasiyahan. Gayunpaman, sa karamihan ng mga kaso simpleng pagpapalit ng mga hilera mula sa orihinal na sistema ay sapat para matugunan ang kondisyon. Bukod dito, ang pamamaraan na halos palaging nag-iisa, kahit na ang kondisyon ng pangingibabaw ng diagonal ay hindi natutugunan.

Ang nakaraang resulta, na nakuha ng apat na mga iterasyon ng paraan ng Gauss-Seidel, ay maaaring isulat sa desimal na form:

X4 = 0.1826

Y4 = 0.04565

Ang eksaktong solusyon sa iminungkahing sistema ng mga equation ay:

X = 2/11 = 0.1818

Y = 1/22 = 0.04545.

Kaya sa pamamagitan lamang ng 4 na mga heerasyon makakakuha ka ng isang resulta sa isang libong katumpakan (0.001).

Inilalarawan ng Figure 1 kung paano ang sunud-sunod na mga iterations na mabilis na nag-iisa sa eksaktong solusyon.

Aplikasyon

Ang pamamaraan ng Gauss-Seidel ay hindi limitado sa 2 × 2 system ng mga linear equation lamang. Ang nakaraang pamamaraan ay maaaring pangkalahatan upang malutas ang isang guhit na sistema ng n equation na may n hindi kilala, na kung saan ay kinakatawan sa isang matris na tulad nito:

Isang X = b

Kung saan ang A ay isang nxn matrix, habang ang X ay ang vector n sangkap ng n variable na kinakalkula; at b ay isang vector na naglalaman ng mga halaga ng independyenteng mga term.

Upang gawing pangkalahatan ang pagkakasunud-sunod ng mga iterations na inilalapat sa nakalarawan na kaso sa isang nxn system, mula sa kung saan ang variable na Xi ay nais na makalkula, ang sumusunod na pormula ay ilalapat:

Sa equation na ito:

- k ang index para sa halaga na nakuha sa pag-ulit sa k.

Ang -k + 1 ay nagpapahiwatig ng bagong halaga sa mga sumusunod.

Ang pangwakas na bilang ng mga iterasyon ay tinutukoy kung ang halaga na nakuha sa pag-iiba k + 1 ay naiiba mula sa nakuha na kaagad bago, sa pamamagitan ng isang halaga ε na tiyak na nais na katumpakan.

Mga halimbawa ng paraan ng Gauss-Seidel

- Halimbawa 1

Sumulat ng isang pangkalahatang algorithm na nagbibigay-daan upang makalkula ang vector ng tinatayang solusyon X ng isang linear system ng mga equation nxn, na binigyan ng matrix ng coefficients A, ang vector ng mga independiyenteng termino b , ang bilang ng mga iterations (i ter) at ang paunang halaga o "binhi "ng vector X .

Solusyon

Ang algorithm ay binubuo ng dalawang "To" cycle, isa para sa bilang ng mga iterations at iba pa para sa bilang ng mga variable. Ito ay ang mga sumusunod:

Para sa k ∊

Para sa ako ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Halimbawa 2

Suriin ang pagpapatakbo ng nakaraang algorithm sa pamamagitan ng aplikasyon nito sa libre at libre-gamitin na matematikal na software na SMath Studio, na magagamit para sa Windows at Android. Isaalang-alang ang kaso ng 2 × 2 matrix na nakatulong sa amin upang mailarawan ang pamamaraan ng Gauss-Seidel.

Solusyon

Larawan 2. Solusyon ng system ng mga equation ng halimbawa ng 2 x 2, gamit ang SMath Studio software. Pinagmulan: F. Zapata.

- Halimbawa 3

Ilapat ang algorithm ng Gauss-Seidel para sa sumusunod na 3 × 3 system ng mga equation, na dati nang iniutos sa paraang ang mga coefficients ng diagonal ay nangingibabaw (iyon ay, ng higit na ganap na halaga kaysa sa mga ganap na halaga ng mga coefficients ng ang parehong hilera):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Gamitin ang null vector bilang isang binhi at isaalang-alang ang limang mga iterations. Magkomento sa resulta.

Solusyon

Larawan 3. Solusyon ng system ng mga equation ng nalulutas na halimbawa 3, gamit ang SMath Studio. Pinagmulan: F. Zapata.

Para sa parehong sistema na may 10 mga iterasyon sa halip na 5 ang mga sumusunod na resulta ay nakuha: X1 = -0.485; X2 = 1.0123; X3 = -0.3406

Sinasabi sa amin na ang limang mga iterasyon ay sapat upang makakuha ng tatlong perpektong lugar ng katumpakan at na ang pamamaraan ay mabilis na nakikipag-ugnay sa solusyon.

- Halimbawa 4

Gamit ang Gauss-Seidel algorithm na ibinigay sa itaas, hanapin ang solusyon sa 4 × 4 na sistema ng mga equation na ibinigay sa ibaba:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Upang simulan ang pamamaraan, gamitin ang punong ito:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 at x4 = 0

Isaalang-alang ang 10 mga iterasyon at tantyahin ang pagkakamali ng mga resulta, paghahambing sa pag-iiba numero 11.

Solusyon

Larawan 4. Solusyon ng system ng mga equation ng nalulutas na halimbawa 4, gamit ang SMath Studio. Pinagmulan: F. Zapata.

Kung ihahambing sa susunod na pag-ulit (numero 11), magkapareho ang resulta. Ang pinakamalaking pagkakaiba sa pagitan ng dalawang mga iterasyon ay nasa pagkakasunud-sunod ng 2 × 10 ^-8 , na nangangahulugang ang ipinakita na solusyon ay may isang katumpakan ng hindi bababa sa pitong lugar ng desimal.

Mga Sanggunian

1. Mga pamamaraan ng solusyon ng Iterative. Gauss-Seidel. Nabawi mula sa: cimat.mx
2. Mga pamamaraan ng numero. Gauss-Seidel. Nabawi mula sa: test.cua.uam.mx
3. Numerical: paraan ng Gauss-Seidel. Nabawi mula sa: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Paraan ng Gauss-Seidel. Nabawi mula sa: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraan ng Gauss-Seidel. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com