May isang orthogonal matrix kapag sinabi na matrix na pinarami ng mga resulta ng transpose nito sa identity matrix. Kung ang kabaligtaran ng isang matris ay katumbas ng transpose pagkatapos ang orihinal na matrix ay orthogonal.
Ang mga orthogonal matrice ay may katangian na ang bilang ng mga hilera ay katumbas ng bilang ng mga haligi. Bukod dito, ang mga vectors ng hilera ay yunit ng orthogonal vectors at ang mga transpose row vectors din.
Larawan 1. Halimbawa ng orthogonal matrix at kung paano binabago nito ang mga geometric na bagay. (Inihanda ni Ricardo Pérez)
Kapag ang isang orthogonal matrix ay pinarami ng mga vector ng isang puwang ng vector, gumagawa ito ng isang isometric na pagbabagong-anyo, iyon ay, isang pagbabagong-anyo na hindi binabago ang mga distansya at pinapanatili ang mga anggulo.
Ang isang tipikal na kinatawan ng mga orthogonal matrice ay mga matris ng pag-ikot. Ang mga pagbabagong-anyo ng mga orthogonal matrice sa isang puwang ng vector ay tinatawag na mga pagbabagong orthogonal.
Ang mga geometric na pagbabago ng pag-ikot at pagmuni-muni ng mga puntos na kinakatawan ng kanilang mga Cartesian vectors ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-apply ng mga orthogonal matrice sa orihinal na mga vectors upang makuha ang mga coordinate ng mga nabagong vectors. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang mga orthogonal matrice ay malawakang ginagamit sa pagproseso ng graphics ng computer.
Ari-arian
Ang isang matrix M ay orthogonal kung multiplied sa pamamagitan ng kanyang pagpalitin ng lugar M T ay nagbibigay sa bilang isang resulta ng pagkakakilanlan matrix ko . Katulad nito, ang produkto ng transposisyon ng isang orthogonal matrix ng orihinal na mga resulta ng matrix sa identidad matrix:
MM T = M T M = I
Bilang kinahinatnan ng nakaraang pahayag, mayroon kami na ang transposisyon ng isang orthogonal matrix ay katumbas ng kabaligtaran nitong matris:
M T = M -1 .
Ang hanay ng mga orthogonal matrices ng dimensyon nxn ay bumubuo ng orthogonal na pangkat O (n). At ang subset ng O (n) ng mga orthogonal matrice na may determinant +1 ay bumubuo ng Grupo ng Unitary Special Matrice SU (n). Ang mga matris ng grupo ng SU (n) ay mga matrice na gumagawa ng mga guhit na pagbabagong-anyo ng pag-ikot, na kilala rin bilang pangkat ng mga pag-ikot.
Demonstrasyon
Nais naming ipakita na ang isang matris ay orthogonal kung, at kung mayroon lamang, ang mga vectors ng hilera (o mga vectors ng haligi) ay orthogonal sa bawat isa at ng pamantayan ng 1.
Ipagpalagay na ang mga hilera ng isang orthogonal matrix nxn ay n orthonormal vectors ng dimensyon n. Kung ito ay ipinapahiwatig ng v 1 , v 2 ,…., V n sa mga n vectors na humahawak:
Kung saan maliwanag na sa katunayan ang hanay ng mga row vectors ay isang hanay ng mga orthogonal vectors na may pamantayan.
Mga halimbawa
Halimbawa 1
Ipakita na ang 2 x 2 matrix na sa una nitong hilera ay mayroong vector v1 = (-1 0) at sa pangalawang hilera nito ang vector v2 = (0 1) ay isang orthogonal matrix.
Solusyon: Ang matrix M ay itinayo at ang transpose M T ay kinakalkula :
Sa halimbawang ito, ang matrix M ay self-transposed, iyon ay, ang matrix at ang transposisyon nito ay magkapareho. Multiply M sa pamamagitan ng transposyong M T :
Ito ay napatunayan na ang MM T ay katumbas ng identity matrix:
Kapag ang matrix M ay pinarami ng mga coordinate ng isang vector o isang punto, ang mga bagong coordinate ay nakuha na naaayon sa pagbabagong-anyo na ginagawa ng matrix sa vector o point.
Figure 1 ay nagpapakita kung paano M transform ang vector u sa u ' at din kung paano M transform ang mga asul na polygon sa red polygon. Dahil ang orthogonal ang M , pagkatapos ito ay isang pagbabagong-anyo ng orthogonal, na pinapanatili ang mga distansya at ang mga anggulo.
Halimbawa 2
Ipagpalagay na mayroon kang isang 2 x 2 matrix na tinukoy sa mga real na ibinigay ng sumusunod na expression:
Hanapin ang tunay na mga halaga ng a, b, c at d na ang matrix M ay isang orthogonal matrix.
Solusyon: Sa pamamagitan ng kahulugan, ang isang matris ay orthogonal kung pinarami ng kanyang transaksyon ang pagkakakilanlan ay nakuha. Naaalala na ang transposed matrix ay nakuha mula sa orihinal, palitan ng mga hilera para sa mga haligi, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nakuha:
Ang pagsasagawa ng pagpaparami ng matrix na mayroon kami:
Paghahambing ng mga elemento ng kaliwang matrix sa mga elemento ng matrix ng pagkakakilanlan, nakakakuha kami ng isang sistema ng apat na mga equation na may apat na hindi alam a, b, c at d.
Ipinapanukala namin para sa isang, b, c at d ang mga sumusunod na expression sa mga tuntunin ng trigonometric ratios sine at cosine:
Sa panukalang ito at dahil sa pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometric, ang una at pangatlong equation ay awtomatikong nasiyahan sa pagkakapantay-pantay ng mga elemento ng matrix. Ang pangatlo at pang-apat na mga equation ay pareho at sa pagkakapantay-pantay ng matrix pagkatapos ng paghalili sa mga iminungkahing halaga na ganito ang hitsura:
na humahantong sa sumusunod na solusyon:
Sa wakas ang mga sumusunod na solusyon ay nakuha para sa orthogonal matrix M:
Tandaan na ang una sa mga solusyon ay may determinant +1 kaya kabilang ito sa pangkat na SU (2), habang ang pangalawang solusyon ay may determinant -1 at samakatuwid ay hindi kabilang sa pangkat na ito.
Halimbawa 3
Ibinigay ang sumusunod na matris, hanapin ang mga halaga ng isang at ng b upang magkaroon kami ng isang orthogonal matrix.
Solusyon: Para sa isang naibigay na matris upang maging orthogonal, ang produkto kasama ang transposisyon nito ay dapat na ang identity matrix. Pagkatapos, ang produkto ng matrix ng ibinigay na matrix kasama ang transposed matrix ay isinasagawa, na nagbibigay ng sumusunod na resulta:
Susunod, ang resulta ay katumbas ng 3 x 3 identity matrix:
Sa pangalawang hilera, ang ikatlong haligi ay may (ab = 0), ngunit hindi maaaring maging zero, dahil kung hindi, ang pagkakapantay-pantay ng mga elemento ng pangalawang hilera at pangalawang haligi ay hindi matutupad. Pagkatapos ay kinakailangang b = 0. Substituting b para sa halaga 0 mayroon kami:
Pagkatapos ang equation ay nalutas: 2a ^ 2 = 1, na ang mga solusyon ay: + ½√2 at -½ref2.
Ang pagkuha ng positibong solusyon para sa isang, ang mga sumusunod na orthogonal matrix ay nakuha:
Madali na mapatunayan ng mambabasa na ang mga vectors ng hilera (at din ang mga vectors ng haligi) ay orthogonal at unitary, iyon ay, orthonormal.
Halimbawa 4
Ipakita na ang matrix A na ang mga row vectors ay v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) at v3 = (0 0 -1) ay isang orthogonal matrix. Bukod dito, hanapin ang mga vectors ay binago mula sa canonical basis i, j, k sa mga vectors u1 , u2 at u3 .
Solusyon: Dapat alalahanin na ang elemento (i, j) ng isang matrix na pinarami ng transposito nito, ay ang produktong scalar ng vector ng hilera (i) sa pamamagitan ng haligi (j) ng transposisyon. Bukod dito, ang produktong ito ay katumbas ng Kronecker delta sa kaso na ang matrix ay orthogonal:
Sa aming kaso ay ganito ang hitsura:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Sa pamamagitan nito ay ipinapakita na ito ay isang orthogonal matrix.
Dagdag pa u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) at sa wakas u3 = A k = (0, 0, -1)
Mga Sanggunian
- Anthony Nicolaides (1994) Mga Desisyon at Matrice. Pass Publication.
- Birkhoff at MacLane. (1980). Modern Algebra, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Panimula sa linear algebra. Pang-editoryal ng ESIC.
- Dave Kirkby (2004) Kumonekta sa matematika. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) matematika: Patnubay sa kaligtasan ng isang mag-aaral. Pressridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-Ikalawang Matematika: Ang 50 Karamihan sa Pag-iisip ng Pagpapalawak ng Kaisipan sa Matematika. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Orthogonal matrix. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Orthogonal matrix. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com