MGA KUMPLIKADONG NUMERO: MGA KATANGIAN, HALIMBAWA, OPERASYON - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga kumplikadong numero ay ang bilang na hanay na sumasaklaw sa mga tunay na numero at lahat ng mga ugat ng polynomial kabilang ang mga pares na ugat ng negatibong numero. Ang mga ugat na ito ay hindi umiiral sa hanay ng mga tunay na numero, ngunit sa mga kumplikadong numero ay may solusyon.

Ang isang kumplikadong numero ay binubuo ng isang tunay na bahagi at isang bahagi na tinatawag na "haka-haka". Ang totoong bahagi ay tinawag na, halimbawa, at ang haka-haka na bahagi ng ib, na may a at b totoong mga numero at "i" bilang yunit ng haka-haka. Sa ganitong paraan ang kumplikadong numero ay tumatagal ng form:

Larawan 1.- Binomial na representasyon ng isang kumplikadong numero sa mga tuntunin ng tunay na bahagi at haka-haka na bahagi. Pinagmulan: Pixabay.

Ang mga halimbawa ng mga kumplikadong numero ay 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Ngunit bago tumakbo sa kanila, tingnan natin kung saan nagmula ang haka-haka na yunit na nagmula, isinasaalang-alang ang quadratic equation na ito:

x ² - 10x + 34 = 0

Saan isang = 1, b = -10 at c = 34.

Kapag inilalapat ang resolusyon na formula upang matukoy ang solusyon, nahanap namin ang sumusunod:

Paano matukoy ang halaga ng √-36? Walang tunay na bilang na ang parisukat ay gumagawa ng isang negatibong dami. Pagkatapos ay napagpasyahan na ang ekwasyong ito ay walang tunay na mga solusyon.

Gayunpaman, maaari nating isulat ito:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Kung tinukoy namin ang isang tiyak na halaga x tulad na:

x ² = -1

Kaya:

x = ± √-1

At ang solusyon sa itaas ay magkakaroon ng solusyon. Samakatuwid, ang yunit ng haka-haka ay tinukoy bilang:

i = √-1

At kaya:

√-36 = 6i

Maraming mga matematiko ng antigong panahon ang nagtatrabaho sa paglutas ng mga katulad na problema, lalo na ang Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) at Raffaele Bombelli (1526-1572).

Pagkalipas ng maraming taon, tinawag ni René Descartes (1596-1650) ang dami ng "haka-haka" tulad ng √-36 sa halimbawa. Sa kadahilanang ito √-1 ay kilala bilang yunit ng haka-haka

Mga katangian ng mga kumplikadong numero

-Ang hanay ng mga kumplikadong numero ay ipinapahiwatig bilang C at kasama ang tunay na mga numero R at ang mga haka-haka na numero Im. Ang mga bilang ng mga set ay kinakatawan sa isang diagram ng Venn, tulad ng ipinapakita sa sumusunod na pigura:

Larawan 2. Venn diagram ng mga hanay ng numero. Pinagmulan: F. Zapata.

-Ang kumplikadong numero ay binubuo ng isang tunay na bahagi at isang haka-haka na bahagi.

-Kapag ang haka-haka na bahagi ng isang kumplikadong numero ay 0, ito ay isang dalisay na tunay na numero.

-Kung ang tunay na bahagi ng isang kumplikadong numero ay 0, kung gayon ang bilang ay purong haka-haka.

-Ang dalawang kumplikadong numero ay pantay-pantay kung magkapareho ang kani-kanilang tunay na bahagi at haka-haka na bahagi.

-Ang mga kumplikadong numero, ang kilalang operasyon ng karagdagan, pagbabawas, pagdami, produkto at pagpapahusay ay isinasagawa, na nagreresulta sa isa pang kumplikadong numero.

Kinakatawan ng mga kumplikadong numero

Ang mga kumplikadong numero ay maaaring kinakatawan sa iba't ibang paraan. Narito ang pangunahing mga:

- Binomial form

Ito ang form na ibinigay sa simula, kung saan ang z ay ang kumplikadong bilang, isang tunay na bahagi, b ang haka-haka na bahagi at ako ang haka-haka na yunit:

O kaya rin:

Ang isang paraan upang i-graph ang kumplikadong numero ay sa pamamagitan ng kumplikadong eroplano na ipinakita sa figure na ito. Ang haka-haka na axis Im ay patayo, habang ang tunay na axis ay pahalang at sinasabing Re.

Ang kumplikadong numero z ay kinakatawan sa eroplano na ito bilang isang punto ng mga coordinate (x, y) o (a, b), dahil ginagawa ito sa mga puntos ng totoong eroplano.

Ang distansya mula sa pinagmulan hanggang sa point z ay ang modulus ng kumplikadong numero, na ipinapahiwatig bilang r, habang ang φ ay ang anggulo na ginagawa ng tunay na axis.

Larawan 3. Kinakatawan ng isang kumplikadong numero sa kumplikadong eroplano. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Ang representasyong ito ay malapit na nauugnay sa mga vectors sa totoong eroplano. Ang halaga ng r ay tumutugma sa modulus ng kumplikadong numero.

- hugis Polar

Ang polar form ay binubuo ng pagpapahayag ng kumplikadong numero sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga halaga ng r at ng φ. Kung titingnan natin ang figure, ang halaga ng r ay tumutugma sa hypotenuse ng isang tamang tatsulok. Ang mga binti ay nagkakahalaga ng a at b, o x at y.

Mula sa binomial o binomial form, maaari tayong lumipat sa polar form ni:

Ang anggulo φ ay ang nabuo ng segment r na may pahalang na axis o haka-haka na axis. Kilala ito bilang kumplikadong argumento ng numero. Sa ganitong paraan:

Ang argument ay may walang hanggan na mga halaga, isinasaalang-alang na sa bawat oras na lumiko, na nagkakahalaga ng 2π radians, muling sinakop muli ang parehong posisyon. Sa pangkalahatang paraan, ang argumento ng z, na tinaguriang Arg (z), ay ipinahayag tulad nito:

Kung saan ang k ay isang integer at ginagamit upang maipahiwatig ang bilang ng mga pagliko: 2, 3, 4…. Ang palatandaan ay nagpapahiwatig ng direksyon ng pag-ikot, kung ito ay sunud-sunod o counterclockwise.

Larawan 4. Ang representasyon ng polar ng isang kumplikadong numero sa kumplikadong eroplano. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

At kung nais naming pumunta mula sa polar form hanggang sa binomial form, ginagamit namin ang mga trigonometriko ratios. Mula sa naunang pigura makikita natin na:

x = r cos φ

y = r kasalanan φ

Sa ganitong paraan z = r (cos φ + i sinala φ)

Alin ang pinaikling tulad nito:

z = r cis φ

Mga halimbawa ng mga kumplikadong numero

Ang mga sumusunod na kumplikadong numero ay ibinibigay sa binomial form:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

At ang mga ito sa anyo ng isang iniutos na pares:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Sa wakas, ang pangkat na ito ay ibinibigay sa polar o trigonometric form:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Ano ang para sa kanila?

Ang pagiging kapaki-pakinabang ng mga kumplikadong numero ay lalampas sa paglutas ng equation ng quadratic na ipinakita sa simula, dahil ang mga ito ay mahalaga sa larangan ng engineering at pisika, lalo na sa:

-Ang pag-aaral ng mga electromagnetic waves

-Analysis ng alternating kasalukuyang at boltahe

-Ang pagmomolde ng lahat ng uri ng mga signal

-Ang teorya ng kapamanggitan, kung saan ang oras ay ipinapalagay bilang isang magnitude na haka-haka.

Kumplikadong pagpapatakbo ng numero

Sa mga kumplikadong numero maaari nating isagawa ang lahat ng mga operasyon na ginagawa sa mga tunay. Ang ilan ay mas madaling gawin kung ang mga numero ay dumating sa binomial form, tulad ng karagdagan at pagbabawas. Sa kaibahan, ang pagpaparami at paghahati ay mas simple kung isinasagawa sila gamit ang polar form.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

- Halimbawa 1

Magdagdag ng z ₁ = 2 + 5i at z ₂ = -3 -8i

Solusyon

Ang mga tunay na bahagi ay idinagdag nang hiwalay mula sa mga haka-haka na bahagi:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Halimbawa 2

Multiply z ₁ = 4 cis 45º at z ₂ = 5 cis 120º

Solusyon

Maipakita na ang produkto ng dalawang kumplikadong numero sa polar o trigonometric form ay ibinibigay ng:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Ayon dito:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Application

Ang isang simpleng aplikasyon ng mga kumplikadong numero ay upang mahanap ang lahat ng mga ugat ng isang polynomial equation tulad ng ipinakita sa simula ng artikulo.

Sa kaso ng equation x ² - 10x + 34 = 0, inilalapat ang resolusyon na formula na nakuha namin:

Samakatuwid ang mga solusyon ay:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Mga Sanggunian

1. Mga numero ng Earl, R. Mga kumplikadong numero. Nabawi mula sa: matematika.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Ika-1 Matematika. Nag-iba-iba. Mga edisyon ng CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Pagpili ng mga paksang Matematika. Mga Publications ng Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Mga kumplikadong numero. Nabawi mula sa: en.wikipedia.org