BUONG NUMERO: MGA KATANGIAN, HALIMBAWA, EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga integer ay isang hanay ng mga kapaki-pakinabang na numero upang mabilang ang mga kumpletong gamit na wala at wala. Bilangin din ang mga nasa isang panig at sa kabilang linya ng isang sanggunian.

Gayundin sa buong bilang na maaari mong isagawa ang pagbabawas o pagkakaiba sa pagitan ng isang numero at isa pang mas malaki kaysa dito, ang resulta ay naayos bilang isang utang, halimbawa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kita at mga utang ay ginawa ng + at - mga palatandaan ayon sa pagkakabanggit.

Larawan 1. Ang linya ng numero para sa buong mga numero. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Samakatuwid, ang hanay ng buong mga numero ay nagsasama ng mga sumusunod:

-Positive integer, na nakasulat na nauna sa isang + sign, o simpleng walang sign, dahil nauunawaan din na positibo sila. Halimbawa: +1, +2, + 3 … at iba pa.

-Ang 0, kung saan ang pag-sign ay hindi nauugnay, dahil hindi mahalaga na idagdag ito upang ibawas ito mula sa ilang dami. Ngunit ang 0 ay napakahalaga, dahil ito ay ang sanggunian para sa mga integer: sa isang panig ay ang mga positibo at ang iba pang mga negatibo, tulad ng nakikita natin sa figure 1.

-Negative integer, na palaging dapat isulat nangunguna sa pamamagitan ng pag-sign -, dahil kasama ang mga ito ng mga halaga tulad ng mga utang at lahat ng nasa kabilang panig ng sanggunian ay nakikilala. Ang mga halimbawa ng mga negatibong integer ay: -1, -2, -3 … at pagkatapos.

Paano kinakatawan ang mga integer?

Sa simula ay kinakatawan namin ang buong mga numero na may itinakdang notasyon: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, iyon ay, mga listahan at naayos. Ngunit ang isang napaka-kapaki-pakinabang na representasyon ay ang ginagamit ng linya ng numero. Ito ay nangangailangan ng pagguhit ng isang linya, na sa pangkalahatan ay pahalang, kung saan ang 0 ay minarkahan at nahahati sa magkatulad na mga seksyon:

Larawan 2. Kinakatawan ng buong mga numero sa linya ng numero. Mula 0 hanggang kanan ay ang mga positibong integer at mula 0 hanggang kaliwa ang mga negatibo. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang mga negatibo ay pumunta sa kaliwa ng 0 at ang mga positibo ay nasa kanan. Ang mga arrow sa linya ng numero ay sumisimbolo na ang mga numero ay nagpapatuloy sa kawalang-hanggan. Dahil sa anumang integer, laging posible upang makahanap ng isa na mas malaki o iba pa na mas kaunti.

Ang ganap na halaga ng isang integer

Ang ganap na halaga ng isang integer ay ang distansya sa pagitan ng bilang at 0. At ang mga distansya ay palaging positibo. Samakatuwid ang ganap na halaga ng negatibong integer ay ang bilang nang walang minus sign.

Halimbawa, ang ganap na halaga ng -5 ay 5. Ang ganap na halaga ay ipinapahiwatig ng mga bar, tulad ng sumusunod:

--5- = 5

Upang mailarawan ito, bilangin lamang ang mga puwang sa linya ng numero, mula -5 hanggang 0. Habang ang ganap na halaga ng isang positibong integer ay ang parehong numero, halimbawa - + 3- = 3, dahil ang distansya nito mula 0 ay na may 3 puwang:

Larawan 3. Ang ganap na halaga ng isang buong bilang ay palaging isang positibong dami. Pinagmulan: F. Zapata.

Ari-arian

-Ang hanay ng mga integer ay sinasabing Z at kasama ang hanay ng mga likas na numero N, ang kanilang mga elemento ay walang hanggan.

-Ang buong bilang at ang sumusunod na (o ang nauna nito) ay palaging naiiba sa pagkakaisa. Halimbawa, pagkatapos ng 5 ay dumating 6, na may 1 ang pagkakaiba sa pagitan nila.

-Ang bawat integer ay may isang hinalinhan at isang kahalili.

-Ang positibong integer ay higit sa 0.

-Ang negatibong integer ay palaging mas mababa sa 0 at anumang positibong numero. Halimbawa, ang bilang -100, ito ay mas mababa sa 2, kaysa 10 at higit sa 50. Ngunit mas mababa rin ito sa -10, -20 at -99 at mas malaki kaysa sa -200.

-Ang 0 ay walang mga pagsasaalang-alang sa pag-sign, dahil hindi ito negatibo o positibo.

-Ang buong mga numero maaari mong isagawa ang parehong mga operasyon na ginagawa sa mga likas na numero, lalo na: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, pagpapalakas at marami pa.

-Ang integer sa tapat ng isang tiyak na integer x, ay -x at ang kabuuan ng isang integer na may kabaligtaran nito ay 0:

x + (-x) = 0.

Mga operasyon na may mga integer

- Sum

-Kung ang mga numero na idaragdag ay magkatulad na pag-sign, ang kanilang ganap na mga halaga ay naidagdag at ang resulta ay inilalagay kasama ang palatandaan na mayroon ang mga nadagdag. Narito ang ilang mga halimbawa:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Kung ang mga numero ay may iba't ibang tanda, ang mga ganap na halaga ay ibabawas (ang pinakamataas mula sa pinakamababang) at ang resulta ay inilalagay kasama ang tanda ng numero na may pinakamataas na ganap na halaga, tulad ng sumusunod:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Mga katangian ng kabuuan ng mga integer

-Ang kabuuan ay commutative, samakatuwid ang pagkakasunud-sunod ng mga pagdaragdag ay hindi binabago ang kabuuan. Hayaan ang isang at b maging dalawang integer, totoo na ang isang + b = b + a

-Ang 0 ay ang neutral na elemento ng kabuuan ng mga integer: a + 0 = a

-Ang isang integer na idinagdag sa kabaligtaran nito ay 0. Ang kabaligtaran ng + a ay –a, at kabaligtaran, ang kabaligtaran ng -a ay + a. Samakatuwid: (+ a) + (-a) = 0.

Larawan 2. Batas ng mga palatandaan para sa pagdaragdag ng buong mga numero. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

- Pagbawas

Upang ibawas ang buong mga numero, ang isa ay dapat gabayan ng patakaran na ito: ang pagbabawas ay katumbas ng pagdaragdag ng isang numero na kabaligtaran nito. Hayaan ang isang at b maging dalawang numero, kung gayon:

a - b = a + (-b)

Halimbawa, ipagpalagay na kailangan mong gawin ang sumusunod na operasyon: (-3) - (+7), kung gayon:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Pagpaparami

Ang pagpaparami ng buong numero ay sumusunod sa ilang mga patakaran para sa mga palatandaan:

-Ang produkto ng dalawang numero na may parehong pag-sign ay palaging positibo.

-Kapag ang dalawang numero na may iba't ibang mga palatandaan ay dumami, ang resulta ay palaging negatibo.

-Ang halaga ng produkto ay pantay sa pagpaparami ng kani-kanilang mga lubos na halaga.

Kaagad ang ilang mga halimbawa na nagpapaliwanag sa itaas:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Mga katangian ng pagpaparami ng mga integer

-Multiplication ay commutative. Hayaan ang isang at b maging dalawang integer, totoo na: ab = ba, na maaari ring ipahiwatig bilang:

-Ang neutral na elemento ng pagpaparami ay 1. Hayaan maging isang buong bilang, samakatuwid a.1 = 1

-Ang isang integer na pinarami ng 0 ay katumbas ng 0: a.0 = 0

Ang pamamahagi ng pag-aari

Ang multiplikasyon ay sumusunod sa pag-aari ng namamahagi na may paggalang sa karagdagan. Kung ang isang, b at c ay buong numero pagkatapos:

a. (b + c) = ab + ac

Narito ang isang halimbawa kung paano ilapat ang pag-aari na ito:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Pagpapalakas

-Kung ang batayan ay positibo, ang resulta ng operasyon ay palaging positibo.

-Kapag negatibo ang base, kung ang exponent ay kahit na, positibo ang resulta. at kung kakaiba ang exponent, negatibo ang resulta.

- Dibisyon

Ang parehong mga panuntunan sa pag-sign ay nalalapat sa dibisyon tulad ng sa pagpaparami:

-Kapag naghahati ng dalawang buong bilang ng parehong pag-sign, ang positibo ay palaging positibo.

-Kapag ang dalawang integer na may iba't ibang mga palatandaan ay nahahati, negatibo ang negosyante.

Halimbawa:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Mahalaga : ang dibisyon ay hindi commutative, sa ibang salita isang ÷ b ≠ b ÷ a at tulad ng lagi, ang paghati sa 0 ay hindi pinapayagan.

- Pagpapalakas

Hayaan ang isang maging isang integer at nais naming itaas ito sa isang exponent n, pagkatapos ay dapat nating dumami ng isang beses sa mga n, tulad ng ipinakita sa ibaba:

a ⁿ = aaaa… .. .a

Isaalang-alang din ang sumusunod, isinasaalang-alang na n ay isang likas na numero:

-Kung isang negatibo at n ay kahit na, positibo ang resulta.

-Kapag ang isang negatibo at n ay kakaiba, nagreresulta ito sa isang negatibong numero.

-Kung positibo at n ay kahit o kakaiba, ang isang positibong integer ay palaging nagreresulta.

-Ang isang integer na nakataas sa 0 ay katumbas ng 1: a ⁰ = 1

-Ang bilang na itinaas sa 1 ay katumbas ng bilang: a ¹ = a

Sabihin nating halimbawa na nais nating hanapin (–3) ⁴ , na gawin ito ay dumarami tayo (-3) apat na beses sa pamamagitan ng kanyang sarili, tulad nito: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Ang isa pang halimbawa, kasama din ng isang negatibong integer ay:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Produkto ng mga kapangyarihan ng pantay na base

Ipagpalagay na dalawang kapangyarihan ng pantay na base, kung pinarami natin ang mga ito ay nakakakuha tayo ng isa pang kapangyarihan na may parehong base, na ang exponent ay ang kabuuan ng naibigay na exponents:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Katumbas ng mga kapangyarihan ng pantay na base

Kapag naghahati ng mga kapangyarihan ng pantay na base, ang resulta ay isang kapangyarihan na may parehong base, na ang exponent ay ang pagbabawas ng mga naibigay na exponents:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Narito ang dalawang halimbawa na linawin ang mga puntong ito:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Mga halimbawa

Tingnan natin ang mga simpleng halimbawa upang mailapat ang mga patakarang ito, alalahanin na sa kaso ng mga positibong integer, ang pag-sign ay maaaring ma-dispense sa:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Malutas na ehersisyo

- Ehersisyo 1

Ang isang ant ay gumagalaw kasama ang linya ng numero sa figure 1. Simula mula sa point x = +3, ginagawa nito ang mga sumusunod na paggalaw:

-Mga 7 unit sa kanan

-Ngayon bumalik ka ng 5 mga yunit sa kaliwa

-Walk 3 higit pang mga yunit sa kaliwa.

-Binalik siya at gumagalaw ng 4 na yunit sa kanan.

Saang punto ay ang langgam sa dulo ng paglilibot?

Solusyon

Tawagin natin ang mga displacement D. Kapag nasa kanan sila ay bibigyan sila ng isang positibong senyas at kapag nasa kaliwa ang isang negatibong tanda. Sa ganitong paraan, at nagsisimula mula sa x = +3 mayroon kaming:

-Unang D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Second D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Third D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Room D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Kapag natapos na ng ante ang lakad nito ay nasa posisyon x = +6. Iyon ay, ito ay 6 na yunit sa kanan ng 0 sa linya ng numero.

- Ehersisyo 2

Malutas ang sumusunod na operasyon:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Solusyon

Ang operasyon na ito ay naglalaman ng mga palatandaan ng pagpapangkat, na kung saan ay mga panaklong, parisukat na mga braket, at mga tirante. Kapag nalutas, kailangan mong alagaan muna ang mga panaklong, pagkatapos ang mga bracket, at panghuli ang mga braces. Sa madaling salita, kailangan mong magtrabaho mula sa loob sa labas.

Sa pagsasanay na ito, ang punto ay kumakatawan sa isang pagpaparami, ngunit kung walang punto sa pagitan ng isang numero at isang panaklong o ibang simbolo, nauunawaan din ito na isang produkto.

Sa ibaba ng hakbang-hakbang na paglutas, ang mga kulay ay nagsisilbing gabay upang sundin ang resulta ng pagbabawas ng mga panaklong, na kung saan ang mga panloob na mga simbolo ng pagpangkat.

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Ehersisyo 3

Malutas ang unang degree na equation:

12 + x = 30 + 3x

Solusyon

Ang mga termino ay pinagsama-sama ng hindi alam sa kaliwa ng pagkakapantay-pantay, at ang mga numerong termino sa kanan:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Mga Sanggunian

1. Carena, M. 2019. Manwal ng Pre-University Matematika. Pambansang Unibersidad ng Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Ika-7 na Baitang Matematika. Mga edisyon ng CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Pagpili ng mga paksang Matematika. Mga Publications ng Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Ang buong numero. Nabawi mula sa: Cimanet.uoc.edu.