MGA NUMERO NG IMAHINASYON: MGA KATANGIAN, APLIKASYON, HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga haka-haka na numero ay ang mga lutasin ang equation kung saan ang hindi alam, nakataas sa parisukat ay katumbas ng isang negatibong tunay na bilang. Ang yunit ng haka-haka ay i = √ (-1).

Sa equation: z ² = - a, z ay isang haka-haka na numero na ipinahayag bilang mga sumusunod:

z = √ (-a) = i√ (a)

Ang pagiging isang positibong tunay na numero. Kung ang isang = 1, pagkatapos ay z = i, kung saan ako ang haka-haka na yunit.

Larawan 1. Kumplikadong eroplano na nagpapakita ng ilang mga tunay na numero, ilang mga haka-haka na numero, at ilang mga kumplikadong numero. Pinagmulan: F. Zapata.

Sa pangkalahatan, ang isang dalisay na imahinasyong numero z ay palaging ipinahayag sa anyo:

z = y⋅i

Kung saan y ay isang tunay na numero at ako ang haka-haka na yunit.

Tulad ng totoong mga numero ay kinakatawan sa isang linya, na tinatawag na tunay na linya, sa isang katulad na paraan ang mga numero ng haka-haka ay kinakatawan sa linya ng haka-haka.

Ang linya ng haka-haka ay palaging orthogonal (90º na hugis) sa tunay na linya at ang dalawang linya ay tumutukoy sa isang eroplano ng Cartesian na tinatawag na komplikadong eroplano.

Sa figure 1 ang kumplikadong eroplano ay ipinakita at dito ang ilang mga tunay na numero, ang ilang mga numero ng haka-haka at din ang ilang mga kumplikadong numero ay kinakatawan:

Ang X ₁ , X ₂ , X ₃ ay mga tunay na numero

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ ay mga numero ng haka-haka

Ang Z ₂ at Z ₃ ay mga kumplikadong numero

Ang bilang O ay ang tunay na zero at ito rin ang haka-haka na zero, kaya ang pinagmulan O ay ang kumplikadong zero na ipinahayag ni:

0 + 0i

Ari-arian

Ang hanay ng mga haka-haka na numero ay minarkahan ng:

Ako = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., Ako,…., 2i,…., 3i, ……}

At maaari mong tukuyin ang ilang mga operasyon sa numerong ito. Ang isang haka-haka na numero ay hindi palaging nakuha mula sa mga operasyong ito, kaya tingnan natin ang mga ito nang mas detalyado:

Magdagdag at ibawas ang haka-haka

Ang mga numero ng imahinasyon ay maaaring maidagdag at ibawas mula sa bawat isa, na nagreresulta sa isang bagong numero ng haka-haka. Halimbawa:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produkto ng haka-haka

Kapag ang produkto ng isang haka-haka na numero sa isa pa ay ginawa, ang resulta ay isang tunay na numero. Gawin natin ang sumusunod na operasyon upang suriin ito:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

At tulad ng nakikita natin, -6 ay isang tunay na numero, bagaman nakuha ito sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang dalisay na numero ng haka-haka.

Produkto ng isang tunay na numero ng isa pang haka-haka

Kung ang isang tunay na numero ay pinarami ng i, ang resulta ay isang numero ng haka-haka, na tumutugma sa isang 90-degree counterclockwise na pag-ikot.

At ito ay ang ^{2 ay} tumutugma sa dalawang magkakasunod na pag-ikot ng 90 degree, na katumbas ng pagpaparami ng -1, iyon ay, i ² = -1. Makikita ito sa sumusunod na diagram:

Larawan 2. Ang pagpaparami ng yunit ng haka-haka ay tumutugma sa 90º counterclockwise rotations. Pinagmulan: mga wikon commons.

Halimbawa:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Pagpapalakas ng isang haka-haka

Maaari mong tukuyin ang potentipikasyon ng isang numero ng haka-haka sa isang exponent ng integer:

ako ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Sa pangkalahatan mayroon kaming i ⁿ = i ^ (n mod 4), kung saan ang mod ay ang natitirang bahagi ng dibisyon sa pagitan ng n at 4.

Ang negatibong integer potentiation ay maaari ding gawin:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Sa pangkalahatan, ang imahinasyong numero b⋅i na itinaas sa kapangyarihan n ay:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Ang ilang mga halimbawa ay ang mga sumusunod:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Bilang ng isang tunay na numero at isang haka-haka na numero

Kapag nagdagdag ka ng isang tunay na numero na may isang haka-haka, ang resulta ay hindi tunay o haka-haka, ito ay isang bagong uri ng numero na tinatawag na isang kumplikadong numero.

Halimbawa, kung X = 3.5 at Y = 3.75i, kung gayon ang resulta ay ang kumplikadong numero:

Z = X + Y = 3.5 + 3.75 i

Tandaan na sa kabuuan ang tunay at haka-haka na mga bahagi ay hindi maaaring magkasama, kaya ang isang kumplikadong numero ay palaging magkakaroon ng isang tunay na bahagi at isang haka-haka na bahagi.

Ang operasyong ito ay nagpapalawak ng hanay ng mga tunay na numero sa pinakamalawak ng mga kumplikadong numero.

Aplikasyon

Ang pangalan ng mga numero ng haka-haka ay iminungkahi ng Pranses na matematiko na si René Descartes (1596-1650) bilang isang panunuya o hindi pagsang-ayon sa panukala ng parehong ginawa ng Italyanong matematiko ng siglo na si Raffaelle Bombelli.

Ang iba pang mahusay na mga matematiko, tulad ng Euler at Leibniz, ay suportado si Descartes sa hindi pagkakasundo na ito at tinawag ang mga numero ng haka-haka na mga numero ng amphibious, na napunit sa pagitan ng pagiging at wala.

Ang pangalan ng mga haka-haka na numero ay nananatili ngayon, ngunit ang kanilang pagkakaroon at kahalagahan ay tunay na tunay at napakalaki, dahil natural na lilitaw ang mga ito sa maraming larangan ng pisika tulad ng:

-Ang teorya ng kapamanggitan.

-Sa electromagnetism.

-Quantum mechanics.

Mga pagsasanay na may mga haka-haka na numero

- Ehersisyo 1

Hanapin ang mga solusyon ng mga sumusunod na equation:

z ² + 16 = 0

Solusyon

z ² = -16

Ang pagkuha ng parisukat na ugat sa parehong mga miyembro na mayroon kami:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Sa madaling salita, ang mga solusyon ng orihinal na equation ay:

z = + 4i oz = -4i.

- Ehersisyo 2

Hanapin ang resulta ng pagpapataas ng haka-haka na yunit sa lakas na 5 minus ang pagbabawas ng haka-haka yunit na itinaas sa kapangyarihan -5.

Solusyon

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Ehersisyo 3

Hanapin ang resulta ng sumusunod na operasyon:

(3i) ³ + 9i

Solusyon

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Ehersisyo 4

Hanapin ang mga solusyon ng sumusunod na kuwadradong equation:

(-2x) ² + 2 = 0

Solusyon

Ang equation ay muling nabuo tulad ng sumusunod:

(-2x) ² = -2

Pagkatapos ang parisukat na ugat ng parehong mga miyembro ay nakuha

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Pagkatapos malutas namin para sa x upang makuha sa wakas:

x = ± √2 / 2 i

Iyon ay, mayroong dalawang posibleng solusyon:

x = (√2 / 2) i

O kaya ito:

x = - (√2 / 2) i

- Ehersisyo 5

Hanapin ang halaga ng Z na tinukoy ng:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Solusyon

Alam namin na ang parisukat na ugat ng isang negatibong tunay na numero ay isang haka-haka na bilang, halimbawa √ (-9) ay katumbas ng √ (9) x √ (-1) = 3i.

Sa kabilang banda, ang √ (-4) ay katumbas ng √ (4) x √ (-1) = 2i.

Kaya ang orihinal na equation ay maaaring mapalitan ng:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Ehersisyo 6

Hanapin ang halaga ng Z na nagreresulta mula sa sumusunod na dibisyon ng dalawang kumplikadong numero:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Solusyon

Ang numerator ng ekspresyon ay maaaring matiyak gamit ang sumusunod na pag-aari:

Kaya:

Z = / (3 + i)

Ang nagresultang expression ay pinasimple sa ibaba, umaalis

Z = (3 - i)

Mga Sanggunian

1. Mga numero ng Earl, R. Mga kumplikadong numero. Nabawi mula sa: matematika.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Ika-1 Matematika. Nag-iba-iba. Mga edisyon ng CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Pagpili ng mga paksang Matematika. Mga Publications ng Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Bilang ng imahinasyon Nabawi mula sa: en.wikipedia.org