- Kasaysayan ng mga hindi makatwiran na mga numero
- Mga katangian ng hindi makatwiran na mga numero
- Ang lokasyon ng isang hindi makatwiran na numero sa totoong linya
- Pag-uuri ng hindi makatwiran na mga numero
- Mga numero ng Algebraic
- Transpendent na mga numero
- Mag-ehersisyo
- Sagot
- Mga Sanggunian
Ang mga hindi makatwiran na numero ay yaong ang pagpapahayag ay may walang-katapusang mga numero ng walang perpektong pattern, samakatuwid, ay hindi maaaring makuha mula sa ratio sa pagitan ng anumang dalawang integer.
Kabilang sa mga kilalang hindi makatwirang numero ay:
Larawan 1. Mula sa itaas hanggang sa ibaba ng mga sumusunod na hindi makatwiran na mga numero: pi, numero ng Euler's, ang gintong ratio at dalawang square Roots. Pinagmulan: Pixabay.
Kabilang sa mga ito, nang walang pag-aalinlangan π (pi) ang pinaka pamilyar, ngunit marami pa. Ang lahat ng mga ito ay nabibilang sa hanay ng mga tunay na numero, na kung saan ay ang numerical set na magkasama magkakasama at hindi makatwiran na mga numero.
Ang mga ellipsis sa figure 1 ay nagpapahiwatig na ang mga decimals ay patuloy na walang hanggan, kung ano ang mangyayari ay ang puwang ng mga ordinaryong calculators ay pinapayagan lamang ang iilang ipinapakita.
Kung titingnan natin nang mabuti, sa tuwing ginagawa natin ang quient sa pagitan ng dalawang buong numero, nakakakuha kami ng isang perpektong na may limitadong mga numero o kung hindi, na may walang hanggan na mga numero kung saan ang isa o higit pang paulit-ulit. Well, hindi ito nangyayari sa mga hindi makatwiran na mga numero.
Kasaysayan ng mga hindi makatwiran na mga numero
Ang mahusay na sinaunang matematiko na Pythagoras, na ipinanganak noong 582 BC sa Samos, Greece, ay nagtatag ng Pythagorean paaralan ng pag-iisip at natuklasan ang tanyag na teorema na nagdala ng kanyang pangalan. Narito namin ito sa kaliwa (maaaring alam na ito ng mga taga-Babilonia).
Larawan 2. Ang teyema ng Pythagorean na inilapat sa isang tatsulok na may mga panig na katumbas ng 1. Pinagmulan: Pixabay / Wikimedia Commons.
Kaya, nang si Pythagoras (o marahil isang alagad ng kanyang) ay inilapat ang teorema sa isang kanang tatsulok na may mga panig na katumbas ng 1, natagpuan niya ang hindi makatwiran na numero √2.
Ginawa niya ito sa ganito:
c = √1 2 + 1 2 = √1 + 1 = √2
At natanto niya kaagad na ang bagong bilang na ito ay hindi nagmula sa malinaw sa pagitan ng dalawang iba pang mga likas na numero, na siyang kilala sa oras na iyon.
Kaya't tinawag niya itong hindi makatwiran, at ang pagtuklas ay nagdulot ng malaking pagkabalisa at pagkalungkot sa mga Pythagoreans.
Mga katangian ng hindi makatwiran na mga numero
-Ang set ng lahat ng hindi nakapangangatwiran numero ay naitala na may sulat ko at kung minsan pati Q * o Q C . Ang unyon sa pagitan ng mga hindi makatwiran na numero ko o Q * at ang mga nakapangangatwiran na mga numero ng Q, ay nagbibigay ng pagtaas sa hanay ng mga tunay na numero R.
-Sa pamamagitan ng mga hindi makatwiran na mga numero, ang kilalang mga operasyon ng aritmetika ay maaaring isagawa: karagdagan, pagbabawas, pagdami, paghahati, pagpapalakas at marami pa.
-Ang dibisyon sa pamamagitan ng 0 ay hindi tinukoy sa pagitan ng mga hindi makatwiran na numero alinman.
-Ang kabuuan at produkto sa pagitan ng mga hindi makatwiran na numero ay hindi kinakailangan ng isa pang hindi makatwiran na numero. Halimbawa:
√2 x √8 = √16 = 4
At ang 4 ay hindi isang hindi makatwiran na numero.
-Bakit pa, ang kabuuan ng isang nakapangangatwiran na numero kasama ang isang hindi makatwiran na numero ay nagbibigay ng isang hindi makatwiran na resulta. Sa ganitong paraan:
1 + √2 = 2.41421356237 …
-Ang produkto ng isang nakapangangatwiran na numero na naiiba sa 0 ng isang hindi makatwiran na numero ay hindi rin makatwiran. Tingnan natin ang halimbawang ito:
2 x √2 = 2.828427125 …
-Ang kabaligtaran ng isang hindi makatwiran na mga resulta sa isa pang hindi makatwiran na numero. Subukan natin ang ilan:
1 / √2 = 0.707106781 …
1 / √3 = 0.577350269 …
Ang mga bilang na ito ay kawili-wili dahil ito rin ang mga halaga ng ilang mga trigonometrikong ratios ng kilalang mga anggulo. Karamihan sa mga ratio ng trigonometric ay hindi makatwiran na mga numero, ngunit may mga pagbubukod, tulad ng kasalanan 30º = 0.5 = ½, na may katuwiran.
-Sa kabuuan ay natutupad ang mga pag-aari ng commutative at associate. Kung ang a at b ay dalawang hindi makatwiran na mga numero, nangangahulugan ito na:
isang + b = b + a.
At kung c ay isa pang hindi makatwiran na numero, kung gayon:
(isang + b) + c = a + (b + c).
-Ang namamahagi ng pag-aari ng pagpaparami na may paggalang sa karagdagan ay isa pang kilalang pag-aari na totoo rin para sa hindi makatwiran na mga numero. Sa kasong ito:
a. (b + c) = ab + ac
-Ang isang hindi makatwiran ay may kabaligtaran nito: -a. Kapag sila ay idinagdag nang magkasama ang resulta ay 0:
a + (- a) = 0
-Magkaroon ng dalawang magkakaibang mga rasyonal, mayroong hindi bababa sa isang hindi makatwirang numero.
Ang lokasyon ng isang hindi makatwiran na numero sa totoong linya
Ang tunay na linya ay isang pahalang na linya kung saan matatagpuan ang mga tunay na numero, kung saan ang mga hindi makatwiran na mga numero ay isang mahalagang bahagi.
Upang makahanap ng isang hindi makatwiran na numero sa totoong linya, sa form na geometric, maaari nating gamitin ang Pythagorean teorema, isang pinuno at isang kompas.
Bilang isang halimbawa ay hahanapin namin ang √5 sa totoong linya, kung saan gumuhit kami ng isang tamang tatsulok na may mga gilid x = 2 at y = 1, tulad ng ipinapakita sa figure:
Larawan 3. Paraan upang maghanap ng hindi makatwiran na numero sa totoong linya. Pinagmulan: F. Zapata.
Sa pamamagitan ng teorema ng Pythagorean, ang hypotenuse ng naturang tatsulok ay:
c = √2 2 + 1 2 = √4 + 1 = √5
Ngayon ang kumpas ay inilalagay gamit ang punto sa 0, kung saan ang isa sa mga vertice ng kanang tatsulok din. Ang punto ng lapis ng compass ay dapat na nasa vertex A.
Ang isang arko ng circumference ay iguguhit na bumawas sa totoong linya. Dahil ang distansya sa pagitan ng gitna ng circumference at anumang punto sa ito ay ang radius, na katumbas ng √5, ang intersection point ay malayo rin sa √5 mula sa gitna.
Mula sa graph makikita na ang √5 ay nasa pagitan ng 2 at 2.5. Ang isang calculator ay nagbibigay sa amin ng tinatayang halaga ng:
√5 = 2.236068
At sa gayon, sa pamamagitan ng pagbuo ng isang tatsulok na may naaangkop na panig, maaaring makita ang iba pang mga hindi makatwiran, tulad ng √7 at iba pa.
Pag-uuri ng hindi makatwiran na mga numero
Ang mga numero ng hindi makatwiran ay inuri sa dalawang pangkat:
-Algebraic
-Transcendental o transcendental
Mga numero ng Algebraic
Ang mga numero ng algebraic, na maaaring o hindi maging hindi makatwiran, ay mga solusyon ng mga equation ng polynomial na ang pangkalahatang anyo ay:
isang n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +…. + isang 1 x + a o = 0
Ang isang halimbawa ng isang equation ng polynomial ay isang kuwadradong equation na katulad nito:
x 3 - 2x = 0
Madaling ipakita na ang hindi makatwiran na numero √2 ay isa sa mga solusyon ng equation na ito.
Transpendent na mga numero
Sa kabilang banda, ang mga transendente na mga numero, kahit na hindi sila makatwiran, ay hindi kailanman lumitaw bilang isang solusyon sa isang pagkakaugnay na polynomial.
Ang mga transcendent na numero na matatagpuan nang madalas sa inilapat na matematika ay π, dahil sa kaugnayan nito sa circumference at ang bilang e, o bilang ng Euler's, na kung saan ay ang batayan ng natural na logarithms.
Mag-ehersisyo
Ang isang kulay-abo na parisukat ay inilalagay sa isang itim na parisukat sa posisyon na ipinahiwatig sa figure. Ang lugar ng itim na parisukat ay kilala na 64 cm 2 . Magkano ang haba ng parehong mga parisukat?
Larawan 4. Dalawang parisukat, kung saan nais naming hanapin ang haba ng mga panig. Pinagmulan: F. Zapata.
Sagot
Ang lugar ng isang parisukat na may gilid L ay:
A = L 2
Dahil ang itim na parisukat ay 64 cm 2 sa lugar, ang panig nito ay dapat na 8 cm.
Ang pagsukat na ito ay pareho sa dayagonal ng grey square. Ang paglalapat ng teyema ng Pythagorean sa dayagonal na ito, at pag-alala na ang mga panig ng isang parisukat ay sumusukat sa pareho, magkakaroon kami:
8 2 = L g 2 + L g 2
Kung saan ang L g ay ang panig ng grey square.
Samakatuwid: 2L g 2 = 8 2
Paglalapat ng parisukat na ugat sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay:
L g = (8 / √2) cm
Mga Sanggunian
- Carena, M. 2019. Manwal ng Pre-University Matematika. Pambansang Unibersidad ng Litoral.
- Figuera, J. 2000. Matematika ika-9. Degree. Mga edisyon ng CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Pang-edukasyon sa Portal. Hindi makatwiran na mga numero at ang kanilang mga pag-aari. Nabawi mula sa: portaleducativo.net.
- Wikipedia. Hindi nakapangangatwiran numero. Nabawi mula sa: es.wikipedia.org.