MGA PANGUNAHING NUMERO: MGA KATANGIAN, HALIMBAWA, EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga pangunahing numero , na tinatawag ding pangunahing ganap, ay ang mga likas na numero na nahahati lamang sa kanilang sarili at 1. Ang mga bilang na kategorya na tulad ng 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 at marami plus.

Sa halip, ang isang pinagsama-samang numero ay nahahati sa pamamagitan ng kanyang sarili, sa pamamagitan ng 1, at hindi bababa sa isa pang numero. Mayroon kaming, halimbawa, 12, na hindi nahahati sa 1, 2, 4, 6 at 12. Sa pamamagitan ng kombensyon, ang 1 ay hindi kasama sa listahan ng mga pangunahing numero o sa listahan ng mga compound.

Larawan 1. Ang ilang mga pangunahing numero. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Ang kaalaman sa mga pangunahing numero ay bumalik noong sinaunang panahon; ginamit ng mga sinaunang taga-Egypt ang mga ito at tiyak na nakilala na sila dati.

Napakahalaga ng mga bilang na ito, dahil ang anumang likas na numero ay maaaring kinakatawan ng produkto ng mga pangunahing numero, ang kinatawan na ito ay natatangi, maliban sa pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan.

Ang katotohanang ito ay ganap na itinatag sa isang teorya na tinawag na Batayang teorya ng Arithmetic, na nagsasaad na ang mga numero na hindi kalakasan ay kinakailangang binubuo ng mga produkto ng mga bilang.

Mga katangian ng mga pangunahing numero

Narito ang mga pangunahing katangian ng mga pangunahing numero:

-Ang mga ito ay walang hanggan, dahil gaano man kalaki ang isang kalakasan bilang, maaari kang laging makahanap ng isang mas malaki.

-Kung ang isang pangunahing numero ng p ay hindi eksaktong hatiin ang isa pang numero a, kung gayon masasabing ang p at isang pangunahing sa bawat isa. Kapag nangyari ito, ang pangkaraniwang pangkatang naghahati na parehong mayroon ay 1.

Hindi kinakailangan para sa isang maging isang ganap na kalakasan. Halimbawa, ang 5 ay pangunahin, at kahit na 12 ay hindi, ang parehong mga numero ay pangunahing sa bawat isa, dahil ang dalawa ay may 1 bilang isang karaniwang dibahagi.

-Kung ang isang kalakasan na numero p ay naghahati ng isang kapangyarihan ng numero n, naghahati din ito n. Isaalang-alang natin ang 100, na kung saan ay isang kapangyarihan ng 10, partikular na 10 ² . Nangyayari na ang 2 ay naghahati sa parehong 100 at 10.

-Ang lahat ng mga pangunahing numero ay kakaiba maliban sa 2, samakatuwid ang huling numero nito ay 1, 3, 7 o 9. 5 ay hindi kasama, sapagkat kahit na kakaiba at kalakasan, hindi ito ang pangwakas na pigura ng isa pang kalakasan na numero. Sa katunayan ang lahat ng mga numero na nagtatapos sa 5 ay maraming mga ito at samakatuwid hindi sila kalakasan.

-Kung ang p ay isang kalakasan at naghahati ng produkto ng dalawang numero ng ab, pagkatapos ay naghahati sa isa sa kanila. Halimbawa, ang pangunahing numero 3 ay naghahati sa produkto 9 x 11 = 99, dahil ang 3 ay isang dibahagi ng 9.

Paano malalaman kung ang isang numero ay kalakasan

Ang pangunahin ay ang pangalan na ibinigay sa kalidad ng pagiging kalakasan. Sa gayon, ang Pranses na matematiko na si Pierre de Fermat (1601-1665) ay nakatagpo ng isang paraan upang mapatunayan ang pagiging una ng isang numero, sa tinatawag na maliit na teorema ng Fermat, na nagbabasa ng ganito:

"Ibinigay ang isang kalakasan natural na numero p at anumang natural na numero na mas malaki kaysa sa 0, totoo na ang isang ^p - a ay isang maramihang mga p, basta ang p ay kalakasan".

Maaari naming i-corroborate ito gamit ang mga maliliit na numero, halimbawa na ipagpalagay na ang p = 4, na alam na natin ay hindi pangunahin at mayroon na = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Ang bilang na 1290 ay hindi eksaktong nahahati sa 4, samakatuwid ang 4 ay hindi isang punong numero.

Gawin natin ang pagsubok ngayon sa p = 5, na pangunahing at ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

Ang 7760 ay nahahati sa 5, dahil ang anumang bilang na nagtatapos sa 0 o 5 ay. Sa katunayan 7760/5 = 1554. Dahil ang maliit na teorema ni Fermat, masisiguro nating 5 ang pangunahing bilang.

Ang patunay sa pamamagitan ng teorema ay epektibo at direktang may maliit na mga numero, kung saan ang operasyon ay madaling gumanap, ngunit ano ang gagawin kung tatanungin namin upang malaman ang pagiging pangunahing ng isang malaking bilang?

Sa kaso na iyon, ang bilang ay sunud-sunod na nahahati sa lahat ng mas maliit na punong numero, hanggang sa isang eksaktong dibisyon ay natagpuan o mas mababa ang kalahati kaysa sa naghahati.

Kung ang anumang dibisyon ay eksaktong, nangangahulugan ito na ang bilang ay composite at kung ang quotient ay mas mababa kaysa sa divisor, nangangahulugan ito na ang numero ay kalakasan. Isasagawa namin ito sa pagsasanay sa paglutas ng ehersisyo 2.

Mga paraan upang makahanap ng isang pangunahing numero

Mayroong walang hanggan maraming punong numero at walang solong pormula upang matukoy ang mga ito. Gayunpaman, ang pagtingin sa ilang mga pangunahing numero tulad nito:

3, 7, 31, 127 …

Napapansin na ang mga ito ay nasa form 2 ⁿ - 1, na may n = 2, 3, 5, 7, 9 … Tiyakin natin ito:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Ngunit hindi namin matiyak na sa pangkalahatang 2 ⁿ - 1 ang pangunahing, sapagkat may ilang mga halaga ng n kung saan hindi ito gumana, halimbawa 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

At ang bilang 15 ay hindi kalakasan, dahil nagtatapos ito sa 5. Gayunpaman, ang isa sa pinakamalaking kilalang primes, na natagpuan ng mga kalkulasyon sa computer, ay ang form 2 ⁿ - 1 na may:

n = 57,885,161

Tinitiyak sa amin ng pormula ni Mersenne na ang 2 ^p - 1 ay palaging kalakasan, basta ang p ay kalakasan din. Halimbawa, 31 ang pangunahing, kaya tiyak na ang 2 ³¹ - 1 ay pangunahing din:

2 ³¹ - 1 = 2,147,483,647

Gayunpaman, pinapayagan ka ng formula na matukoy lamang ang ilang mga pangunahing numero, hindi lahat.

Formula ng Euler

Ang sumusunod na polynomial ay nagbibigay-daan sa paghahanap ng mga pangunahing numero na ibinigay na ang n ay sa pagitan ng 0 at 39:

P (n) = n ² + n + 41

Nang maglaon sa nalutas na seksyon ng ehersisyo mayroong isang halimbawa ng paggamit nito.

Ang salaan ng Eratosthenes

Si Eratosthenes ay isang pisiko at matematiko mula sa Sinaunang Gresya na nabuhay noong ika-3 siglo BC. Naglilikha siya ng isang graphic na pamamaraan ng paghahanap ng mga pangunahing numero na maaari nating maisagawa sa maliit na bilang, ito ay tinatawag na Eratosthenes salaan (isang salaan ay tulad ng isang salaan).

-Ang mga numero ay inilalagay sa isang talahanayan tulad ng ipinakita sa animation.

-Ang kahit na mga numero ay pagkatapos ay tumawid, maliban sa 2 na alam nating pangunahin. Ang lahat ng iba pa ay maraming mga ito at samakatuwid ay hindi kalakasan.

-Ang mga multiple ng 3, 5, 7 at 11 ay minarkahan din, hindi kasama ang lahat dahil alam namin na sila ang pangunahing.

-Ang mga multiple ng 4, 6, 8, 9 at 10 ay minarkahan na, dahil sila ay tambalan at samakatuwid ay mga multiple ng ilan sa mga ipinahiwatig na primes.

- Sa pangkalahatan, ang mga numero na mananatiling walang marka ay pangunahin.

Larawan 2. Animasyon ng salaan ng Eratosthenes. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Pagsasanay

- Ehersisyo 1

Gamit ang Euler polynomial para sa mga pangunahing numero, maghanap ng 3 mga numero na mas malaki sa 100.

Solusyon

Ito ang polynomial na iminungkahi ni Euler na makahanap ng mga pangunahing numero, na gumagana para sa mga halaga ng n sa pagitan ng 0 at 39.

P (n) = n ² + n + 41

Sa pamamagitan ng pagsubok at pagkakamali pumili kami ng isang halaga ng n, halimbawa n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Dahil ang n = 8 ay gumagawa ng isang pangunahing bilang na mas malaki kaysa sa 100, kung gayon masuri namin ang polynomial para sa n = 9 at n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Ehersisyo 2

Alamin kung ang mga sumusunod na numero ay pangunahing:

a) 13

b) 191

Solusyon sa

Ang 13 ay sapat na maliit upang magamit ang maliit na teorema ni Fermat at ang tulong ng calculator.

Gumagamit kami ng isang = 2 upang ang mga numero ay hindi masyadong malaki, kahit na ang isang = 3, 4 o 5 ay maaari ring magamit:

2 ¹³ - 2 = 8190

Ang 8190 ay nahahati sa 2, dahil ito ay kahit na, samakatuwid ang 13 ay pangunahing. Maaaring i-corroborate ito ng mambabasa sa pamamagitan ng paggawa ng parehong pagsubok sa isang = 3.

Solusyon b

Ang 191 ay napakalaki upang mapatunayan sa teorema at isang karaniwang calculator, ngunit maaari nating makita ang paghahati sa pagitan ng bawat kalakasan na numero. Hindi namin nahahati ang 2 dahil ang 191 ay hindi kahit na at ang dibisyon ay hindi magiging eksaktong o ang mas mababa sa 2.

Sinusubukan naming hatiin sa pamamagitan ng 3:

191/3 = 63,666 …

At hindi ito nagbibigay ng eksaktong, at hindi rin mas mababa sa taghati (63,666 … ang mas malaki kaysa sa 3)

Patuloy nating sinusubukan na hatiin ang 191 sa pagitan ng mga prima 5, 7, 11, 13 at ni ang eksaktong dibisyon ay naabot, o ang mas mababa sa kalahati kaysa sa naghahati. Hanggang sa ito ay hinati ng 17:

191/17 = 11, 2352 …

Dahil hindi ito eksaktong at 11.2352… ay mas mababa sa 17, ang bilang na 191 ay pangunahin.

Mga Sanggunian

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Mga Edisyon at Pamamahagi Codex.
2. Prieto, C. Ang pangunahing numero. Nabawi mula sa: paginas.matem.unam.mx.
3. Mga katangian ng mga pangunahing numero. Nabawi mula sa: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Punong numero: kung paano hanapin ang mga ito gamit ang salaan ng Eratosthenes. Nabawi mula sa: smartick.es.
5. Wikipedia. Punong numero. Nabawi mula sa: es.wikipedia.org.