RATIONAL NUMBER: MGA KATANGIAN, HALIMBAWA AT OPERASYON - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga nakapangangatwiran na numero ay ang lahat ng mga numero ay maaaring makuha bilang paghahati ng dalawang integers. Ang mga halimbawa ng mga nakapangangatwiran na numero ay: 3/4, 8/5, -16/3 at ang mga lilitaw sa sumusunod na pigura. Sa isang nakapangangatwiran na numero ay ipinapahiwatig ang taguri, posible na gawin ito sa ibang pagkakataon kung kinakailangan.

Ang figure ay kumakatawan sa anumang bagay, bilog para sa higit na kaginhawaan. Kung nais nating hatiin ito sa 2 pantay na bahagi, tulad ng sa kanan, mayroon kaming dalawang halves na naiwan at ang bawat isa ay nagkakahalaga ng 1/2.

Larawan 1. Ang mga numero ng makatwiran ay ginagamit upang hatiin ang kabuuan sa ilang mga bahagi. Pinagmulan: Freesvg.

Sa pamamagitan ng paghati nito sa 4 na pantay na bahagi, makakakuha kami ng 4 na piraso at ang bawat isa ay nagkakahalaga ng 1/4, tulad ng sa imahe sa gitna. At kung ito ay nahahati sa 6 pantay na mga bahagi, ang bawat bahagi ay nagkakahalaga ng 1/6, na nakikita natin sa imahe sa kaliwa.

Siyempre, maaari rin nating hatiin ito sa dalawang hindi pantay na bahagi, halimbawa maaari nating mapanatili ang 3/4 na bahagi at i-save ang 1/4 na bahagi. Posible rin ang iba pang mga dibisyon, tulad ng 4/6 na bahagi at 2/6 na bahagi. Ang mahalagang bagay ay ang kabuuan ng lahat ng mga bahagi ay 1.

Sa ganitong paraan, maliwanag na sa mga nakapangangatwiran na mga numero ay maaari mong hatiin, mabilang at ipamahagi ang mga bagay tulad ng pagkain, pera, lupa at lahat ng uri ng mga bagay sa mga praksiyon. At sa gayon ang bilang ng mga operasyon na maaaring gawin sa mga numero ay pinalawak.

Ang mga makatwirang numero ay maaari ring ipahiwatig sa perpektong anyo, tulad ng makikita sa mga sumusunod na halimbawa:

1/2 = 0.5

1/3 = 0.3333… ..

3/4 = 0.75

1/7 = 0.142857142857142857 ……….

Sa ibang pagkakataon ay isasaad namin kung paano pumunta mula sa isang form papunta sa isa pang may mga halimbawa.

Mga katangian ng mga makatwirang numero

Ang mga nakapangangatwiran na numero, na ang hanay na ating ipakikilala sa titik Q, ay mayroong mga sumusunod na katangian:

May kasama ang mga likas na numero N at integers Z.

Isinasaalang-alang na ang anumang numero ng isang ay maaaring ipahiwatig bilang ang quotient sa pagitan ng kanyang sarili at 1, madaling makita na kabilang sa mga nakapangangatwiran na numero mayroon ding mga likas na numero at integer.

Kaya, ang natural na numero 3 ay maaaring isulat bilang isang maliit na bahagi, at din -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Sa ganitong paraan, ang Q ay isang hanay ng numero na nagsasama ng isang mas malaking bilang ng mga numero, isang bagay na kinakailangan, dahil ang mga "bilog" na mga numero ay hindi sapat upang ilarawan ang lahat ng mga posibleng operasyon na gagawin.

-Rational na mga numero ay maaaring maidagdag, ibawas, dumami at hinati, ang resulta ng operasyon bilang isang nakapangangatwiran na bilang: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Basahin ang bawat pares ng mga nakapangangatwiran na mga numero, isa pang makatwirang numero ay palaging matatagpuan. Sa katunayan sa pagitan ng dalawang mga nakapangangatwiran na numero mayroong walang hanggan na mga nakapangangatwiran na mga numero.

Halimbawa, sa pagitan ng mga rasyonal 1/4 at 1/2 ay ang mga rasyonal 3/10, 7/20, 2/5 (at marami pang iba), na maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng pagpapahayag ng mga ito bilang mga decimals.

-Ang isang makatwirang numero ay maaaring ipahiwatig bilang: i) isang buong bilang o ii) isang limitado (mahigpit) o ​​pana-panahong desimal: 4/2 = 2; 1/4 = 0.25; 1/6 = 0.16666666 ……

-Ang parehong numero ay maaaring kinakatawan ng walang hanggan na katumbas na mga praksyon at ang lahat ng mga ito ay kabilang sa Q. Tingnan natin ang pangkat na ito:

Lahat sila ay kumakatawan sa desimal 0.428571 …

-Ang lahat ng mga katumbas na fraction na kumakatawan sa parehong numero, ang hindi maikakait na bahagi, ang pinakasimpleng lahat, ay ang kanonikal na kinatawan ng bilang na iyon. Ang canonical na kinatawan ng halimbawa sa itaas ay 3/7.

Larawan 2.- Ang nakatakda na Q ng mga nakapangangatwiran na mga numero. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Mga halimbawa ng mga makatwirang numero

-Proper fraction, ang mga kung saan ang numumer ay mas mababa kaysa sa denominador:

-Mga hindi wastong mga praksyon, na ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominador:

-Natatandang mga numero at buong numero:

-Mga katumbas na mga praksyon:

Napakahusay na representasyon ng isang nakapangangatwiran na numero

Kapag ang numumer ay nahahati sa pamamagitan ng denominator, ang perpektong anyo ng nakapangangatwiran na numero ay matatagpuan. Halimbawa:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111 …

6/11 = 0.545454 …

Sa unang dalawang halimbawa, ang bilang ng mga lugar ng desimal ay limitado. Nangangahulugan ito na kapag ang paghahati ay tapos na, ang isang nalalabi sa 0 ay sa wakas nakuha.

Sa kabilang banda, sa susunod na dalawa, ang bilang ng mga lugar ng desimal ay walang hanggan at na ang dahilan kung bakit inilalagay ang mga ellipsis. Sa huli kaso mayroong pattern sa mga decimals. Sa kaso ng maliit na bahagi 1/9, ang bilang 1 ay paulit-ulit na walang hanggan, habang sa 6/11 ito ay 54.

Kapag nangyari ito, ang desimal ay sinasabing pana-panahon at sinasabing isang caret na tulad nito:

Ibahin ang anyo ng isang perpekto sa isang maliit na bahagi

Kung ito ay isang limitadong desimal, ang komma ay simpleng tinanggal at ang denominator ay nagiging yunit na sinusundan ng maraming mga zero dahil mayroong mga figure sa desimal. Halimbawa, upang ibahin ang anyo ng desimal 1.26 sa isang maliit na bahagi, isulat ito tulad ng:

1.26 = 126/100

Pagkatapos ang nagresultang bahagi ay pinasimple sa maximum:

126/100 = 63/50

Kung ang decimal ay walang limitasyong, ang panahon ay unang nakilala. Pagkatapos ay sinusunod ang mga hakbang na ito upang mahanap ang nagreresultang bahagi:

-Ang numerator ay ang pagbabawas sa pagitan ng bilang (nang walang kuwit o caret) at ang bahagi na walang caret.

-Ang denominator ay isang integer na may bilang ng 9 na mayroong mga numero sa ilalim ng circumflex, at ng maraming 0 dahil may mga figure sa desimal na bahagi na hindi sa ilalim ng circumflex.

Sundin natin ang pamamaraang ito upang ibahin ang anyo ng decimal na numero 0.428428428 … sa isang maliit na bahagi.

-Nauna, ang panahon ay nakilala, na kung saan ay ang pagkakasunud-sunod na paulit-ulit: 428.

-Tapos ang operasyon ay ginagawa upang ibawas ang numero nang walang kuwit o tuldik: 0428 mula sa bahagi na walang isang circumflex, na kung saan ay 0. Ito ay nananatiling tulad nito 428 - 0 = 428.

-Ang denominator ay itinayo, alam na sa ilalim ng circumflex mayroong 3 mga numero at ang lahat ay nasa ilalim ng circumflex. Samakatuwid ang denominator ay 999.

-Katapos ang bahagi ay nabuo at pinasimple kung posible:

0.428 = 428/999

Hindi posible na gawing simple.

Mga operasyon na may mga nakapangangatwiran na mga numero

- Magdagdag at ibawas

Ang mga praksiyon na may parehong denominador

Kapag ang mga praksiyon ay may parehong denominator, ang pagdaragdag at / o pagbabawas sa mga ito ay napakadali, dahil ang mga numerador ay simpleng idinagdag algebraically, nag-iiwan ng kapareho ng mga pagdaragdag bilang isang denominador ng resulta. Sa wakas, kung posible, pinasimple ito.

Halimbawa

Isakatuparan ang sumusunod na algebraic karagdagan at gawing simple ang resulta:

Ang nagreresultang bahagi ay hindi na maiwasang.

Ang mga praksiyon na may iba't ibang mga denominador

Sa kasong ito, ang mga pagdaragdag ay pinalitan ng katumbas na mga praksyon sa parehong denominator at pagkatapos ay inilarawan ang pamamaraan na inilarawan.

Halimbawa

Magdagdag ng algebraically ang mga sumusunod na mga nakapangangatwiran na numero, pinadali ang resulta:

Ang mga hakbang ay:

-Suriin ang hindi bababa sa karaniwang maraming (lcm) ng mga denominador 5, 8 at 3:

lcm (5,8,3) = 120

Ito ang magiging denominator ng nagreresultang bahagi nang hindi pinasimple.

-Para sa bawat bahagi: hatiin ang LCM sa pamamagitan ng denominador at dumami ng numumerator. Ang resulta ng operasyon na ito ay inilalagay, kasama ang kani-kanilang senyas, sa bilang ng maliit na bahagi. Sa ganitong paraan, ang isang bahagi na katumbas ng orihinal ay nakuha, ngunit kasama ang LCM bilang denominador.

Halimbawa, para sa unang bahagi, ang numerator ay itinayo tulad nito: (120/5) x 4 = 96 at nakukuha natin:

Magpatuloy sa parehong paraan para sa natitirang mga praksyon:

Sa wakas, ang mga katumbas na fraksyon ay pinalitan nang hindi nakakalimutan ang kanilang pag-sign at ang algebraic na kabuuan ng mga numerador ay isinasagawa:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Pagpaparami at paghahati

Ang pagpaparami at paghahati ay ginagawa kasunod ng mga patakaran na ipinakita sa ibaba:

Larawan 3. Mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga nakapangangatwiran na mga numero. Pinagmulan: F. Zapata.

Sa anumang kaso, mahalagang tandaan na ang pagpaparami ay commutative, na nangangahulugang ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay hindi binabago ang produkto. Hindi ito nangyayari sa paghahati, kaya dapat gawin ang pangangalaga upang igalang ang pagkakasunud-sunod sa pagitan ng dibidendo at divisor.

Halimbawa 1

Isagawa ang mga sumusunod na operasyon at gawing simple ang resulta:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Sagot sa

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Sagot b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Halimbawa 2

Si Luisa ay mayroong $ 45. Ginugol niya ang isang ikasampu nito upang bumili ng isang libro at 2/5 ng kung ano ang naiwan sa isang t-shirt. Gaano karaming pera ang naiwan ni Luisa? Ipahayag ang resulta bilang isang hindi maiwasang bahagi.

Solusyon

Ang halaga ng libro (1/10) x $ 45 = 0.1 x $ 45 = $ 4.5

Samakatuwid, si Luisa ay naiwan kasama:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

Gamit ang pera na iyon, pumunta si Luisa sa tindahan ng damit at bumili ng shirt, ang presyo nito ay:

(2/5) x $ 40.5 = $ 16.2

Ngayon si Luisa ay nasa kanyang portfolio:

40.5 - 16.2 $ = 24.3 $

Upang maipahayag ito bilang isang maliit na bahagi ay nakasulat na tulad nito:

24.3 = 243/10

Hindi maiiwasan iyon.

Mga Sanggunian

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Mga Edisyon at Pamamahagi Codex.
2. Carena, M. 2019. Manwal ng Matematika. Pambansang Unibersidad ng Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Ang mga nakapangangatwiran na mga numero. Nabawi mula sa: Cimanet.uoc.edu.
6. Rational number. Nabawi mula sa: webdelprofesor.ula.ve.