MGA TOTOONG NUMERO: KASAYSAYAN, HALIMBAWA, PAG-AARI, OPERASYON - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga tunay na numero ay bumubuo ng numerong hanay na kinabibilangan ng mga likas na numero, ang mga integer, ang nakapangangatwiran at ang hindi makatwiran. Ang mga ito ay ipinapahiwatig ng simbolo ℝ o simpleng R at ang kanilang saklaw sa agham, engineering at ekonomiya ay tulad na kapag nagsasalita ng "bilang", halos mabigyan ng pansin na ito ay isang tunay na bilang.

Ang mga totoong numero ay ginamit mula pa noong sinaunang panahon, bagaman hindi sila binigyan ng pangalang iyon. Nasa oras na binuo ni Pythagoras ang kanyang tanyag na teorema, lumitaw ang mga numero na hindi makuha bilang quotients ng mga natural na numero o integer.

Larawan 1. Ang diagram ng Venn na nagpapakita kung paano naglalaman ng hanay ng mga tunay na numero ang iba pang mga hanay ng numero. Pinagmulan> Wikimedia Commons.

Ang mga halimbawa ng mga numero ay √2, √3, at π. Ang mga bilang na ito ay tinatawag na hindi makatwiran, kumpara sa mga nakapangangatwiran na mga numero, na nagmula sa mga quotients ng buong numero. Ito ay samakatuwid ay kinakailangan ng isang bilang na hanay na sumasaklaw sa parehong mga klase ng mga numero.

Ang salitang "totoong bilang" ay nilikha ng mahusay na dalub-agbilang na si René Descartes (1596-1650), upang makilala sa pagitan ng dalawang uri ng mga ugat na maaaring lumabas mula sa paglutas ng isang pagkakaugnay na polynomial.

Ang ilan sa mga ugat na ito ay maaaring maging mga ugat ng negatibong numero, tinawag ni Descartes ang mga "haka-haka na numero" at ang mga hindi, ay mga tunay na numero.

Ang denominasyon ay nagpatuloy sa paglipas ng panahon, na nagdaragdag ng dalawang malaking hanay ng numero: totoong mga numero at kumplikadong mga numero, isang mas malaking hanay na kasama ang mga tunay na numero, haka-haka na mga numero, at ang mga bahagi ay tunay at bahagi na haka-haka.

Ang ebolusyon ng mga tunay na numero ay nagpatuloy sa kurso nito hanggang noong 1872, pormal na tinukoy ng matematika na si Richard Dedekind (1831-1936) ang hanay ng mga tunay na numero sa pamamagitan ng tinatawag na mga pagbawas sa Dedekind. Ang synthesis ng kanyang trabaho ay nai-publish sa isang artikulo na nakakita ng ilaw sa parehong taon.

Mga halimbawa ng mga tunay na numero

Ang talahanayan sa ibaba ay nagpapakita ng mga halimbawa ng mga tunay na numero. Ang set na ito ay bilang subsets ang mga natural na numero, ang integers, ang makatuwiran at hindi makatwiran. Ang anumang bilang ng mga hanay na ito ay, sa kanyang sarili, isang tunay na numero.

Samakatuwid 0, ang mga negatibo, positibo, fraction, at decimals ay tunay na mga numero.

Larawan 2. Ang mga halimbawa ng mga tunay na numero ay natural, integer, makatuwiran, hindi makatwiran, at transendente. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang kinatawan ng mga tunay na numero sa totoong linya

Ang mga totoong numero ay maaaring kinakatawan sa totoong linya R , tulad ng ipinapakita sa figure. Hindi kinakailangan na ang 0 ay palaging naroroon, gayunpaman ito ay maginhawa upang malaman na ang mga negatibong real ay nasa kaliwa at ang mga positibo sa kanan. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay isang mahusay na punto ng sanggunian.

Sa totoong linya, ang isang scale ay nakuha, kung saan natagpuan ang mga integer: … 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Ang arrow ay nagpapahiwatig na ang linya ay umaabot sa kawalang-hanggan. Ngunit hindi iyon ang lahat, sa anumang isinasaalang-alang na agwat, lagi rin tayong makahanap ng walang hanggan na tunay na mga numero.

Ang tunay na mga numero ay kinakatawan sa pagkakasunud-sunod. Upang magsimula, mayroong pagkakasunud-sunod ng mga integer, kung saan ang mga positibo ay palaging mas malaki kaysa sa 0, habang ang mga negatibo ay mas kaunti.

Ang order na ito ay itinatago sa loob ng mga tunay na numero. Ang mga sumusunod na hindi pagkakapareho ay ipinapakita bilang isang halimbawa:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Larawan 3.- Ang tunay na linya. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Mga katangian ng mga tunay na numero

Kabilang sa mga numero ng mga likas na numero, integer, mga nakapangangatwiran na numero, at hindi makatwiran na mga numero.

-Ang katuparan ng pag-aari ng karagdagan ay natutupad: ang pagkakasunud-sunod ng mga pagdaragdag ay hindi binabago ang kabuuan. Kung ang a at b ay dalawang tunay na numero, laging totoo na:

isang + b = b + a

-Ang 0 ay ang neutral na elemento ng kabuuan: a + 0 = a

-Para sa kabuuan ay natutupad ang pag-aari ng kaakibat. Kung ang a, b at c ay tunay na mga numero: (a + b) + c = a + (b + c).

-Ang kabaligtaran ng isang tunay na bilang na -a.

-Ang pagbabawas ay tinukoy bilang ang kabuuan ng kabaligtaran: a - b = a + (-b).

-Ang katuparan ng pag-aari ng produkto ay natutupad: ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay hindi nagbabago ng produkto: ab = ba

-Sa produkto ang pag-aari ng kaakibat ay inilalapat din ((ab) .c = a. (Bc)

-Ang 1 ay ang neutral na elemento ng pagpaparami: a.1 = a

-Ang namamahagi ng pag-aari ng pagpaparami ay may bisa patungkol sa karagdagan: a. (b + c) = ab + ac

-Division ng 0 ay hindi tinukoy.

-Ang tunay na bilang ng isang, maliban sa 0, ay may isang multiplikatibong kabaligtaran ng ^-1 tulad na aa ^-1 = 1.

-Kung ang isang tunay na bilang: isang ⁰ = 1 at isang ¹ = a.

-Ang ganap na halaga o modulus ng isang tunay na numero ay ang distansya sa pagitan ng sinabi ng numero at 0.

Mga operasyon na may mga tunay na numero

Gamit ang tunay na mga numero na maaari mong gawin ang mga operasyon na ginagawa sa iba pang mga hanay ng numero, kabilang ang karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, dibisyon, empowerment, radication, logarithms at marami pa.

Tulad ng dati, ang dibisyon ng 0 ay hindi tinukoy, ni ang mga logarithms ng mga negatibong numero o 0, bagaman totoo na ang log 1 = 0 at ang mga logarithms ng mga numero sa pagitan ng 0 at 1 ay negatibo.

Aplikasyon

Ang mga aplikasyon ng mga tunay na numero sa lahat ng uri ng mga sitwasyon ay lubos na nag-iiba. Lumilitaw ang mga tunay na numero bilang mga sagot sa maraming mga problema sa eksaktong agham, computer science, engineering, economics, at science science.

Ang lahat ng mga uri ng mga magnitude at dami tulad ng mga distansya, oras, pwersa, kasidhian ng tunog, pera at marami pa, ay mayroong kanilang expression sa totoong mga numero.

Ang paghahatid ng mga signal ng telepono, ang imahe at tunog ng isang video, ang temperatura ng isang air conditioner, isang heater o isang ref ay maaaring kontrolado nang digital, na nangangahulugang ang pagbabago ng pisikal na dami sa mga pagkakasunud-sunod.

Ang parehong nangyayari sa paggawa ng isang transaksyon sa pagbabangko sa Internet o pagkonsulta sa instant na pagmemensahe. Ang mga tunay na numero ay saanman.

Nalutas ang ehersisyo

Titingnan namin sa mga pagsasanay kung paano gumagana ang mga bilang na ito sa mga karaniwang sitwasyon na nakatagpo namin sa pang-araw-araw na batayan.

Ehersisyo 1

Tumatanggap lamang ang tanggapan ng post ng mga pakete kung saan ang haba, kasama ang pagsukat ng girth, ay hindi lalampas sa 108 pulgada. Samakatuwid, para matanggap ang ipinakita na pakete, dapat itong matupad na:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Magagawa ba ng isang package na 6 pulgada ang lapad, 8 pulgada ang taas, at 5 piye ang haba?

b) Paano ang tungkol sa isa na hakbang 2 x 2 x 4 ft ³ ?

c) Ano ang pinakamataas na katanggap-tanggap na taas para sa isang pakete na ang base ay parisukat at sumusukat 9 x 9 pulgada ² ?

Sagot sa

L = 5 talampakan = 60 pulgada

x = 6 pulgada

y = 8 pulgada

Ang operasyon upang malutas ay:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) pulgada = 60 + 2 x 14 pulgada = 60 + 28 pulgada = 88 pulgada

Tinatanggap ang pakete.

Sagot b

Ang mga sukat ng packet na ito ay mas maliit kaysa sa packet a), kaya pareho silang ginagawa.

Sagot c

Sa package na ito:

x = L = 9 pulgada

Dapat itong napansin na:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

at ≤ 40.5 pulgada

Mga Sanggunian

1. Carena, M. 2019. Manwal ng Pre-University Matematika. Pambansang Unibersidad ng Litoral.
2. Diego, A. Mga tunay na numero at ang kanilang mga pag-aari. Nabawi mula sa: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematika ika-9. Degree. Mga edisyon ng CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematika para sa Calculus. Ika-5. Edisyon. Pag-aaral ng Cengage.