ORTHOHEDRON: MGA PORMULA, LUGAR, DAMI, DAYAGONAL, MGA HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang orthohedron ay isang volumetric o three-dimensional na geometric figure na nailalarawan sa pamamagitan ng pagkakaroon ng anim na hugis-parihaba na mga mukha, upang ang mga kabaligtaran na mukha ay nasa magkatulad na mga eroplano at magkapareho o magkakasamang mga parihaba. Sa kabilang banda, ang mga mukha na katabi ng isang naibigay na mukha ay nasa mga eroplano na patayo sa paunang mukha.

Ang orthohedron ay maaari ding isaalang-alang bilang isang orthogonal prisma na may isang hugis-parihaba na base, kung saan ang mga anggulo ng dihedral na nabuo ng mga eroplano ng dalawang mukha na katabi ng isang karaniwang sukatan na 90º. Ang anggulo ng dihedral sa pagitan ng dalawang mukha ay sinusukat sa intersection ng mga mukha na may isang patayo na eroplano na karaniwang sa kanila.

Larawan 1. Orthohedron. Pinagmulan: F. Zapata kasama ang Geogebra.

Gayundin, ang orthohedron ay isang hugis-parihaba na paralelepiped, dahil ito ay kung paano ang paralelepiped ay tinukoy bilang volumetric figure ng anim na mukha, na magkatulad ng dalawa.

Sa anumang parallelepiped ang mga mukha ay paralelograms, ngunit sa hugis-parihaba na parallelepiped ang mga mukha ay dapat na hugis-parihaba.

Mga bahagi ng ortohedron

Ang mga bahagi ng isang polyhedron, tulad ng orthohedron, ay:

-Aristas

-Vertice

-Mga Katangian

Ang anggulo sa pagitan ng dalawang mga gilid ng isang mukha ng orthohedron ay nagkakasabay sa anggulo ng dihedral na nabuo ng iba pang dalawang mukha na katabi ng bawat gilid, na bumubuo ng isang tamang anggulo. Ang sumusunod na imahe ay nililinaw ang bawat konsepto:

Larawan 2. Mga bahagi ng isang ortohedron. Pinagmulan: F. Zapata kasama ang Geogebra.

-Sa kabuuan ng isang ortohedron ay may 6 mukha, 12 mga gilid at 8 na mga vertice.

-Ang anggulo sa pagitan ng anumang dalawang gilid ay isang tamang anggulo.

-Ang dihedral na anggulo sa pagitan ng anumang dalawang mukha ay tama rin.

-Sa bawat mukha ay may apat na mga vertex at sa bawat pag-asa mayroong tatlong magkatulad na mukha ng orthogonal.

Mga formula ng Orthohedron

Lugar

Ang ibabaw o lugar ng isang ortohedron ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga mukha nito.

Kung ang tatlong mga gilid na nakakatugon sa isang vertex ay may mga panukala a, b, at c, tulad ng ipinapakita sa Figure 3, kung gayon ang harap na mukha ay may lugar na c⋅b at ang ilalim na mukha ay mayroon ding area c⋅b.

Pagkatapos ang dalawang pag-ilid na mukha ay may lugar ng bawat isa. At sa wakas, ang sahig at mga mukha ng kisame ay may lugar na tienenc bawat isa.

Larawan 3. Orthohedron ng mga sukat a, b, c. Panloob na dayagonal D at panlabas na dayagonal d.

Ang pagdaragdag ng lugar ng lahat ng mga mukha ay nagbibigay:

Ang pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan at pag-order ng mga termino:

Dami

Kung ang ortohedron ay naisip bilang isang prisma, kung gayon ang dami nito ay kinakalkula tulad nito:

Sa kasong ito, ang sahig ng mga sukat c at a ay kinuha bilang ang hugis-parihaba na base, kaya ang lugar ng base ay c⋅a.

Ang taas ay ibinibigay ng haba b ng mga gilid orthogonal sa mga mukha ng mga panig at c.

Ang pagpaparami ng lugar ng base (a⋅c) sa taas na b ay nagbibigay ng dami V ng ortohedron:

Panloob na dayagonal

Sa isang orthohedron mayroong dalawang uri ng mga diagonal: ang panlabas na diagonals at panloob na diagonals.

Ang mga panlabas na diagonals ay nasa hugis-parihaba na mukha, habang ang mga panloob na diagonal ay ang mga segment na sumali sa dalawang kabaligtaran ng mga vertice, na nauunawaan ng kabaligtaran ng mga vertices ng mga hindi nagbabahagi.

Sa isang orthohedron mayroong apat na panloob na diagonals, lahat ng pantay na panukala. Ang haba ng mga panloob na diagonals ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-apply ng Pythagorean theorem para sa tamang mga tatsulok.

Ang haba d ng panlabas na dayagonal ng mukha ng sahig ng ortohedron ay tinutupad ang kaugnayan ng Pythagorean:

d ² = a ² + c ²

Katulad nito, ang panloob na dayagonal ng sukatan D ay tinutupad ang kaugnayan sa Pythagorean:

D ² = d ² + b ² .

Ang pagsasama-sama ng dalawang nakaraang expression na mayroon kami:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Sa wakas, ang haba ng anuman sa mga panloob na diagonals ng orthohedron ay ibinibigay ng mga sumusunod na pormula:

D = √ (isang ² + b ² + c ² ).

Mga halimbawa

- Halimbawa 1

Ang isang bricklayer ay nagtatayo ng isang tangke sa hugis ng isang ortohedron na ang mga panloob na sukat ay: 6 mx 4 m sa base at 2 m ang taas. Nagtatanong ito:

a) Alamin ang panloob na ibabaw ng tangke kung ito ay ganap na nakabukas sa tuktok.

b) Kalkulahin ang lakas ng tunog ng interior space ng tangke.

c) Hanapin ang haba ng isang interior dayagonal.

d) Ano ang kapasidad ng tangke sa litro?

Solusyon sa

Dadalhin namin ang mga sukat ng hugis-parihaba na base ng isang = 4 m at c = 6 m at ang taas bilang b = 2 m

Ang lugar ng isang ortohedron na may ibinigay na mga sukat ay ibinibigay ng mga sumusunod na relasyon:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Na ibig sabihin:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Ang nakaraang resulta ay ang lugar ng saradong orthohedron na may ibinigay na mga sukat, ngunit dahil ito ay isang tangke na ganap na walang takip sa itaas na bahagi nito, upang makuha ang ibabaw ng mga panloob na pader ng tangke, ang lugar ng nawawalang takip ay dapat ibawas, na:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Sa wakas, ang panloob na ibabaw ng tangke ay: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

Solusyon b

Ang dami ng panloob na tangke ay ibinibigay ng dami ng isang orthohedron ng mga sukat ng interior ng tangke:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Solusyon c

Ang panloob na dayagonal ng isang octahedron na may sukat ng interior ng tangke ay may haba na D na ibinigay ni:

√ (isang ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Isinasagawa ang ipinahiwatig na operasyon na mayroon kami:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2√ (14) m = 7.48 m.

Solusyon d

Upang makalkula ang kapasidad ng tangke sa litro, kinakailangang malaman na ang dami ng isang cubic decimeter ay katumbas ng kapasidad ng isang litro. Dati na ito ay kinakalkula sa dami sa mga kubiko metro, ngunit kailangang baguhin ito sa mga kubiko decimeter at pagkatapos ay litro:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4,800 dm ³ = 4,800 L

- Ehersisyo 2

Ang isang baso aquarium ay may isang kubiko na hugis na may isang gilid na 25 cm. Alamin ang lugar sa m ² , ang dami sa litro, at ang haba ng isang interior dayagonal sa cm.

Larawan 4. Cubic na may hugis ng baso aquarium.

Solusyon

Ang lugar ay kinakalkula gamit ang parehong formula ng orthohedron, ngunit isinasaalang-alang na ang lahat ng mga sukat ay magkapareho:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1,250 cm ²

Ang dami ng kubo ay ibinibigay ng:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15.625 cm ³ = 15.625 (0.1 dm) ³ = 15.625 dm ³ = 15.625 L.

Ang haba D ng loob ng dayagonal ay:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43.30 cm.

Mga Sanggunian

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Nabawi mula sa: youtube.com.
2. Pagkalkula.cc. Mga pagsasanay at paglutas ng mga problema sa mga lugar at dami. Nabawi mula sa: calculo.cc.
3. Salvador R. Pyramid + orthohedron kasama ang GEOGEBRA (IHM). Nabawi mula sa: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Pananaliksik.
5. Wikipedia. Orthohedron Nabawi mula sa: es.wikipedia.com