PRODUKTO NG CROSS: MGA KATANGIAN, APLIKASYON AT EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang produkto ng cross o vector na produkto ay isang paraan ng pagpaparami ng dalawa o higit pang mga vector. Mayroong tatlong mga paraan upang maparami ang mga vectors, ngunit wala sa mga ito ay dumarami sa karaniwang kahulugan ng salita. Ang isa sa mga form na ito ay kilala bilang isang produkto ng vector, na nagreresulta sa isang pangatlong vector.

Ang produktong cross, na tinatawag ding cross product o panlabas na produkto, ay may iba't ibang mga algebraic at geometric na katangian. Ang mga katangian na ito ay kapaki-pakinabang, lalo na sa mga tuntunin ng pag-aaral ng pisika.

Kahulugan

Ang isang pormal na kahulugan ng produkto ng vector ay ang sumusunod: kung ang A = (a1, a2, a3) at B = (b1, b2, b3) ay mga vectors, kung gayon ang produkto ng vector ng A at B, na kung saan ay ipapahiwatig namin bilang AxB, ay:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Dahil sa notasyon ng AxB, binabasa ito bilang "A cross B".

Isang halimbawa kung paano gamitin ang panlabas na produkto ay kung ang A = (1, 2, 3) at B = (3, -2, 4) ay mga vectors, pagkatapos ay ginagamit ang kahulugan ng isang produkto ng vector na mayroon kami:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Ang isa pang paraan ng pagpapahayag ng produkto ng vector ay ibinibigay sa pamamagitan ng notasyon ng mga determinant.

Ang pagkalkula ng isang pangalawang determinant ng order ay ibinigay ng:

Samakatuwid, ang formula para sa produkto ng krus na ibinigay sa kahulugan ay maaaring maisulat muli tulad ng sumusunod:

Ito ay karaniwang pinasimple sa isang third-order determinant tulad ng mga sumusunod:

Kung saan ako, j, k ay kumakatawan sa mga vectors na bumubuo ng batayan ng R ³ .

Gamit ang ganitong paraan ng pagpapahayag ng produkto ng krus, mayroon kaming na ang nakaraang halimbawa ay maaaring maisulat muli bilang:

Ari-arian

Ang ilang mga pag-aari na tinaglay ng produkto ng vector ay ang mga sumusunod:

Ari-arian 1

Kung ang A ay mayroong anumang vector sa R ³ , mayroon kaming:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Ang mga katangian na ito ay madaling suriin gamit lamang ang kahulugan. Kung A = (a1, a2, a3) mayroon tayo:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Kung ako, j, k ay kumakatawan sa unit base ng R ³ , maaari nating isulat ang mga ito tulad ng sumusunod:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Kaya, mayroon kaming mga sumusunod na mga katangian ay totoo:

Bilang isang panuntunang mnemonic, ang sumusunod na bilog ay madalas na ginagamit upang maalala ang mga pag-aari na ito:

Doon dapat nating tandaan na ang anumang vector na may sarili ay nagbibigay sa vector 0 bilang isang resulta, at ang natitirang mga produkto ay maaaring makuha gamit ang sumusunod na panuntunan:

Ang produkto ng cross ng dalawang magkakasunod na vector sa isang direksyon sa sunud-sunod na direksyon ay nagbibigay sa susunod na vector; at kung isasaalang-alang ang counter-clockwise na direksyon, ang resulta ay ang sumusunod na vector na may negatibong pag-sign.

Salamat sa mga katangiang ito ay makikita natin na ang produkto ng vector ay hindi commutative; halimbawa, tandaan lamang na ixj ≠ jx i. Ang sumusunod na pag-aari ay nagsasabi sa amin kung paano nauugnay ang AxB at BxA sa pangkalahatan.

Ari-arian 2

Kung ang A at B ay mga vectors ng R ³ , mayroon kaming:

AxB = - (BxA).

Demonstrasyon

Kung ang A = (a1, a2, a3) at B = (b1, b2, b3), sa pamamagitan ng kahulugan ng panlabas na produktong mayroon tayo:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Maaari din nating makita na ang produktong ito ay hindi nauugnay sa mga sumusunod na halimbawa:

ix (ixj) = ixk = - j ngunit (ixi) xj = 0xj = 0

Mula dito makikita natin na:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Ari-arian 3

Kung ang A, B, C ay mga vector ng R ³ at r ay isang tunay na numero, ang sumusunod ay totoo:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Salamat sa mga katangiang ito maaari naming kalkulahin ang produkto ng vector gamit ang mga batas ng algebra, sa kondisyon na iginagalang ang order. Halimbawa:

Kung A = (1, 2, 3) at B = (3, -2, 4), maaari nating isulat muli ang mga ito sa mga tuntunin ng kanonikal na batayan ng R ³ .

Sa gayon, A = i + 2j + 3k at B = 3i - 2j + 4k. Pagkatapos, ang paglalapat ng mga nakaraang pag-aari:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Ari-arian 4 (triple dot product)

Tulad ng nabanggit namin sa simula, may iba pang mga paraan upang maparami ang mga vectors bukod sa produkto ng vector. Ang isa sa mga paraang ito ay ang produkto ng scalar o panloob na produkto, na kung saan ay ipinapahiwatig bilang A ∙ B at na ang kahulugan ay:

Kung A = (a1, a2, a3) at B = (b1, b2, b3), pagkatapos ay A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Ang pag-aari na nauugnay sa parehong mga produkto ay kilala bilang ang triple scalar product.

Kung ang A, B, at C ay mga vector ng R ³ , kung gayon A ∙ BxC = AxB ∙ C

Bilang isang halimbawa, tingnan natin iyon, na ibinigay A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) at C = (- 5, 1, - 4), ang pag-aari na ito ay nasiyahan.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Sa kabilang kamay:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Ang isa pang triple product ay Ax (BxC), na kilala bilang produkto ng triple vector.

Ari-arian 5 (triple vector product)

Kung ang A, B at C ay mga vector ng R ³ , kung gayon:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Bilang isang halimbawa, tingnan natin iyon, na ibinigay A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) at C = (- 5, 1, - 4), ang pag-aari na ito ay nasiyahan.

Mula sa nakaraang halimbawa alam natin na ang BxC = (- 18, - 22, 17). Kalkulahin natin ang Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Sa kabilang banda, kailangan nating:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Kaya, kailangan nating:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Ari-arian 6

Ito ay isa sa mga geometric na katangian ng mga vectors. Kung ang A at B ay dalawang vectors sa R ³ at ϴ ang anggulo na nabuo sa pagitan nila, kung gayon:

--AxB-- = --A ---- B - kasalanan (ϴ), kung saan - ∙ - nagsasaad ng modulus o magnitude ng isang vector.

Ang geometric na interpretasyon ng pag-aari na ito ay ang mga sumusunod:

Hayaan ang A = PR at B = PQ. Kaya ang anggulo na nabuo ng mga vectors A at B ay ang anggulo P ng tatsulok na RQP, tulad ng ipinapakita sa sumusunod na pigura.

Samakatuwid, ang lugar ng paralelogram na mayroong PR at PQ bilang katabing panig ay --A ---- B - kasalanan (ϴ), dahil maaari nating gawin --A-- bilang isang batayan at taas nito ay ibinigay ng --B - kasalanan (ϴ).

Samakatuwid, maaari naming tapusin na --AxB-- ay ang lugar ng sinabi paralelogram.

Halimbawa

Ibinigay ang mga sumusunod na patayo ng isang quadrilateral P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) at S (5,7, -3), ipakita ang nasabing quadrilateral ay isang paralelogram at hanapin ang lugar nito.

Para sa mga ito una naming matukoy ang mga vectors na matukoy ang direksyon ng mga gilid ng quadrilateral. Ito ay:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Tulad ng nakikita natin, ang A at C ay may parehong direktor na vector, kung saan mayroon tayong pareho na magkatulad; ang parehong nangyayari sa B at D. Samakatuwid, tapusin namin na ang PQRS ay isang paralelogram.

Upang magkaroon ng lugar ng paralelogram na ito, kinakalkula namin ang BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Samakatuwid, ang parisukat ng lugar ay:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Maaari itong tapusin na ang paralelogram na lugar ay ang parisukat na ugat ng 89.

Ari-arian 7

Dalawang vectors A at B ang kahanay sa R ³ kung at kung AxB = 0 lamang

Demonstrasyon

Malinaw na kung ang A o B ay ang null vector, natutupad na ang AxB = 0. Dahil ang zero vector ay kahanay sa anumang iba pang vector, kung gayon ang pag-aari ay may bisa.

Kung alinman sa dalawang vectors ay ang zero vector, mayroon kaming ang kanilang mga magnitude ay naiiba sa zero; iyon ay, pareho --A-- ≠ 0 at --B-- ≠ 0, kaya magkakaroon tayo --AxB-- = 0 kung at kung magkakasala lamang (ϴ) = 0, at mangyayari ito kung ϴ = π o ϴ = 0.

Samakatuwid, maaari nating tapusin ang AxB = 0 kung at tanging kung ϴ = π o ϴ = 0, na nangyayari lamang kapag ang parehong mga vectors ay magkatulad sa bawat isa.

Ari-arian 8

Kung ang A at B ay dalawang vectors sa R ³ , kung gayon ang AxB ay patayo sa parehong A at B.

Demonstrasyon

Para sa patunay na ito, tandaan na ang dalawang vectors ay patayo kung ang A ∙ B ay pantay sa zero. Bukod dito, alam natin na:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ngunit ang AxA ay katumbas ng 0. Samakatuwid, mayroon kami:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Sa pamamagitan nito maaari nating tapusin na ang A at AxB ay patayo sa bawat isa. Analogously, kailangan nating:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Dahil ang BxB = 0, mayroon kaming:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Samakatuwid, ang AxB at B ay sunud-sunod sa bawat isa at sa pamamagitan nito ay ipinapakita ang pag-aari. Ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa amin, dahil pinapayagan ka nila na matukoy ang equation ng isang eroplano.

Halimbawa 1

Kumuha ng isang equation ng eroplano na dumadaan sa mga puntos ng P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) at R (2, 1, 3).

Hayaan ang A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) at B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). Pagkatapos A = - i + 3j + k at B = i - 2j + k. Upang mahanap ang eroplano na nabuo ng mga tatlong puntos na ito, sapat na upang makahanap ng isang vector na normal sa eroplano, na kung saan ay AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Sa vector na ito, at ang pagkuha ng puntong P (1, 3, 2), matutukoy natin ang equation ng eroplano tulad ng sumusunod:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Kaya, mayroon kaming na ang equation ng eroplano ay 5x + 2y - z - 9 = 0.

Halimbawa 2

Hanapin ang equation ng eroplano na naglalaman ng point P (4, 0, - 2) at iyon ay patayo sa bawat isa sa mga eroplano x - y + z = 0 at 2x + y - 4z - 5 = 0.

Alam na ang isang normal na vector sa isang eroplano ng eroplano + ni + cz + d = 0 ay (a, b, c), mayroon tayong (1, -1,1) ay isang normal na vector ng x - y + z = 0 y ( Ang 2,1, - 4) ay isang normal na vector na 2x + y - 4z - 5 = 0.

Samakatuwid ang isang normal na vector sa hiningi na eroplano ay dapat na patayo sa (1, -1,1) at sa (2, 1, - 4). Ang vector na ito ay:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Pagkatapos, mayroon kaming hinahangad na eroplano ay ang naglalaman ng punto P (4,0, - 2) at mayroong vector (3,6,3) bilang isang normal na vector.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Aplikasyon

Pagkalkula ng dami ng isang parallelepiped

Ang isang application na may produkto ng triple scalar ay upang makalkula ang dami ng isang parallelepiped na ang mga gilid ay ibinibigay ng mga vectors A, B at C, tulad ng ipinapakita sa figure:

Maaari naming ibawas ang application na ito sa sumusunod na paraan: tulad ng sinabi namin dati, ang vector AxB ay isang vector na normal sa eroplano ng A at B. Mayroon din kaming vector - (AxB) ay isa pang vector na normal sa sinabi na eroplano.

Pinipili namin ang normal na vector na bumubuo ng pinakamaliit na anggulo na may vector C; Nang walang pagkawala ng pagkamakinabang, hayaan ang AxB na vector na ang anggulo kasama ang C ay ang pinakamaliit.

Mayroon kaming parehong AxB at C ay may parehong panimulang punto. Bukod dito, nalalaman natin na ang lugar ng paralelogram na bumubuo sa base ng paralelepiped ay --AxB--. Samakatuwid, kung ang taas ng parallelepiped ay ibinibigay ng h, mayroon kami na ang dami nito ay:

V = --AxB - h.

Sa kabilang banda, isaalang-alang natin ang produkto ng tuldok sa pagitan ng AxB at C, na maaaring mailarawan bilang sumusunod:

Gayunpaman, sa pamamagitan ng mga katangian ng trigonometriko mayroon kami na h = --C - cos (ϴ), kaya mayroon kami:

Sa ganitong paraan, mayroon tayong:

Sa pangkalahatang mga term, mayroon kaming na ang dami ng isang parallelepiped ay ibinibigay ng ganap na halaga ng triple scalar product AxB ∙ C.

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Ibinigay ang mga puntos na P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) at S = (2, 6, 9), ang mga puntong ito ay bumubuo ng isang kahanay na ang mga gilid sila ay PQ, PR at PS. Alamin ang dami ng nasabing parallelepiped.

Solusyon

Kung kukuha tayo:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Gamit ang triple scalar product property, mayroon kaming:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Samakatuwid, mayroon kaming na ang dami ng sinabi na parallelepiped ay 52.

Mag-ehersisyo 2

Alamin ang dami ng isang parallelepiped na ang mga gilid ay ibinigay ng A = PQ, B = PR at C = PS, kung saan ang mga puntos na P, Q, R at S ay (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) at (2, 2, 5), ayon sa pagkakabanggit.

Solusyon

Una mayroon tayong A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Kinakalkula namin ang AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Pagkatapos kinakalkula namin ang AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Sa gayon ay tapusin natin na ang dami ng sinabi na parallelepiped ay 1 cubic unit.

Mga Sanggunian

1. Leithold, L. (1992). Ang pagkalkula gamit ang analytic geometry. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexico: Continental.
3. Saenz, J. (nd). Vector Calculus 1ed. Hypotenuse.
4. Spiegel, MR (2011). Vectorial Analysis 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Pagkalkula ng Maraming variable 4ed. Mc Graw Hill.