MGA KATANGIAN NG PAGKAKAPANTAY-PANTAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga katangian ng pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa ugnayan sa pagitan ng dalawang bagay sa matematika, kung sila ay mga numero o variable. Ito ay minarkahan ng simbolo na "=", na laging napupunta sa pagitan ng dalawang bagay na ito. Ang expression na ito ay ginagamit upang maitaguyod na ang dalawang bagay sa matematika ay kumakatawan sa parehong bagay; sa madaling salita, ang dalawang bagay ay ang parehong bagay.

Mayroong mga kaso kung saan mahalaga ang paggamit ng pagkakapantay-pantay. Halimbawa, malinaw na ang 2 = 2. Gayunpaman, pagdating sa mga variable hindi na ito mahalaga at may mga tiyak na paggamit. Halimbawa, kung mayroon tayo na y = x at sa kabilang banda x = 7, maaari nating tapusin na y = 7 rin.

Ang halimbawa sa itaas ay batay sa isa sa mga katangian ng pagkakapantay-pantay, tulad ng makikita mo sa ilang sandali. Ang mga katangiang ito ay mahalaga upang malutas ang mga equation (pagkakapantay-pantay na kinasasangkutan ng mga variable), na bumubuo ng isang napakahalagang bahagi ng matematika.

Ano ang mga katangian ng pagkakapantay-pantay?

Pagmuni-muni na pag-aari

Ang reflexive na pag-aari, sa kaso ng pagkakapantay-pantay, ay nagsasaad na ang bawat bilang ay pantay sa kanyang sarili at ipinahayag bilang b = b para sa anumang tunay na numero b.

Sa partikular na kaso ng pagkakapantay-pantay na ang pag-aari na ito ay tila halata, ngunit sa iba pang mga uri ng mga relasyon sa pagitan ng mga numero ay hindi. Sa madaling salita, hindi lahat ng tunay na ugnayan sa bilang ay nakakatugon sa pag-aari na ito. Halimbawa, tulad ng isang kaso ng kaugnayan "mas mababa sa" (<); walang bilang na mas mababa sa kanyang sarili.

Pagmamay-ari ng simetriko

Ang proporsyon ng simetriko para sa pagkakapantay-pantay ay nagsasabi na kung isang = b, pagkatapos ay b = a. Hindi mahalaga kung anong pagkakasunud-sunod ang ginagamit sa mga variable, mapangalagaan ito ng kaugnay na pagkakapantay-pantay.

Ang isang tiyak na pagkakatulad ng pag-aari na ito na may pag-aari ng commutative ay maaaring sundin sa kaso ng karagdagan. Halimbawa, dahil sa pag-aari na ito ay katumbas na isulat ang y = 4 o 4 = y.

Transitive na pag-aari

Ang transitive na pag-aari sa pagkakapantay-pantay ay nagsasaad na kung ang isang = b at b = c, pagkatapos ay isang = c. Halimbawa, 2 + 7 = 9 at 9 = 6 + 3; samakatuwid, sa pamamagitan ng transitive na pag-aari mayroon tayong 2 + 7 = 6 + 3.

Ang isang simpleng aplikasyon ay ang sumusunod: ipagpalagay na si Julian ay 14 taong gulang at na si Mario ay kaparehong edad ni Rosa. Kung si Rosa ay kaparehong edad ni Julián, ilang taon na si Mario?

Sa likod ng sitwasyong ito ang ginamit na transitive na gamit ay dalawang beses. Matematika ito ay binibigyang kahulugan bilang mga sumusunod: hayaan ang "a" maging ang edad ni Mario, "b" ang edad ni Rosa at "c" ang edad ni Julian. Ito ay kilala na b = c at na c = 14.

Sa pamamagitan ng transitive na pag-aari mayroon tayong b = 14; iyon ay, si Rosa ay 14 taong gulang. Dahil ang isang = b at b = 14, gamit ang transitive na pag-aari ay mayroon kaming isang = 14; iyon ay, ang edad ni Mario ay 14 taong gulang din.

Unipormasyong pag-aari

Ang pantay na pag-aari ay kung ang magkabilang panig ng isang pagkakapantay-pantay ay idinagdag o pinarami ng parehong halaga, ang pagkakapantay-pantay ay mapangalagaan. Halimbawa, kung 2 = 2, pagkatapos ay 2 + 3 = 2 + 3, na malinaw, mula noong 5 = 5. Ang ari-arian na ito ay pinaka-kapaki-pakinabang kapag sinusubukan upang malutas ang isang equation.

Halimbawa, ipagpalagay na tatanungin ka upang malutas ang equation x-2 = 1. Maginhawang tandaan na ang paglutas ng isang equation ay binubuo ng malinaw na pagtukoy ng variable (o variable) na kasangkot, batay sa isang tiyak na numero o isang naunang tinukoy na variable.

Bumalik sa equation x-2 = 1, ang dapat mong gawin ay hahanapin nang malinaw kung magkano ang halaga ng x. Upang gawin ito, ang variable ay dapat na ma-clear.

Malinaw na itinuro na sa kasong ito, dahil ang bilang 2 ay negatibo, ipinapasa ito sa kabilang panig ng pagkakapantay-pantay na may positibong tanda. Ngunit hindi tama na sabihin ito sa ganoong paraan.

Karaniwan, ang ginagawa mo ay nag-aaplay ng pare-parehong pag-aari, tulad ng makikita sa ibaba. Ang ideya ay upang limasin ang "x"; iyon ay, iwanan mo lang ito sa isang panig ng equation. Sa pamamagitan ng kombensyon ay karaniwang naiwan sa kaliwang bahagi.

Para sa layuning ito, ang bilang na "puksain" ay -2. Ang paraan upang gawin ito ay sa pamamagitan ng pagdaragdag ng 2, mula noong -2 + 2 = 0 at x + 0 = 0. Upang magawa ito nang hindi binabago ang pagkakapantay-pantay, ang parehong operasyon ay dapat mailapat sa kabilang panig.

Pinapayagan nitong mapagtanto namin ang pantay na pag-aari: yamang x-2 = 1, kung ang numero ng 2 ay idinagdag sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay, sinabi ng uniporme na hindi binago. Pagkatapos mayroon kaming na x-2 + 2 = 1 + 2, na katumbas ng sinasabi na x = 3. Gamit ang equation ay malulutas.

Katulad nito, kung nais mong malutas ang equation (1/5) y-1 = 9, maaari kang magpatuloy gamit ang unipormeng pag-aari tulad ng sumusunod:

Mas madalas, ang mga sumusunod na pahayag ay maaaring gawin:

- Kung ab = cb, pagkatapos ay isang = c.

- Kung xb = y, kung gayon x = y + b.

- Kung (1 / a) z = b, pagkatapos ay z = a ×

- Kung (1 / c) a = (1 / c) b, pagkatapos ay isang = b.

Pag-aari ng pagkansela

Ang pag-aari ng pagkansela ay isang partikular na kaso ng unipormeng pag-aari, isinasaalang-alang lalo na ang kaso ng pagbabawas at paghahati (na, talaga, nauugnay din sa pagdaragdag at pagdaragdag). Ang ari-arian na ito ay itinuturing nang hiwalay ang kasong ito.

Halimbawa, kung 7 + 2 = 9, pagkatapos ay 7 = 9-2. O kung 2y = 6, pagkatapos ay y = 3 (paghahati ng dalawa sa magkabilang panig).

Katulad sa nakaraang kaso, ang mga sumusunod na pahayag ay maaaring maitatag sa pamamagitan ng pagkansela ng pag-aari:

- Kung ang isang + b = c + b, pagkatapos ay isang = c.

- Kung x + b = y, pagkatapos x = yb.

- Kung az = b, pagkatapos ay z = b / a.

- Kung ca = cb, pagkatapos ay isang = b.

Pag-aari ng pagpapalit

Kung alam natin ang halaga ng isang bagay sa matematika, ang pagpapalit ng ari-arian ay nagsasaad na ang halagang ito ay maaaring mapalitan sa anumang equation o expression. Halimbawa, kung b = 5 at isang = bx, pagkatapos ay ibahin ang halaga ng "b" sa pangalawang pagkakapantay-pantay ay mayroon tayong isang = 5x.

Ang isa pang halimbawa ay ang sumusunod: kung ang "m" ay naghahati ng "n" at din "n" ay naghahati ng "m", kung gayon dapat tayong magkaroon ng m = n.

Sa katunayan, upang sabihin na ang "m" ay naghahati ng "n" (o katumbas, na ang "m" ay isang divisor ng "n") ay nangangahulugang ang paghahati m ÷ n ay eksaktong; iyon ay, ang paghati sa "m" sa pamamagitan ng "n" ay nagbubunga ng isang buong bilang, hindi isang desimal. Maaari itong maipahayag sa pamamagitan ng pagsasabi na mayroong isang integer "k" tulad na m = k × n.

Dahil ang "n" ay naghahati din sa "m", kung gayon mayroong umiiral na isang integer "p" tulad na n = p × m. Dahil sa pag-aari ng pagpapalit, mayroon kaming n = p × k × n, at para mangyari ito ay may dalawang posibilidad: n = 0, kung saan magkakaroon tayo ng pagkakakilanlan 0 = 0; op × k = 1, samakatuwid ang pagkakakilanlan n = n.

Ipagpalagay na ang "n" ay nonzero. Pagkatapos ay kinakailangang p × k = 1; samakatuwid, p = 1 at k = 1. Gamit muli ang pag-aari ng pagpapalit, sa pamamagitan ng pagpapalit ng k = 1 sa pagkakapantay-pantay na m = k × n (o katumbas, p = 1 sa n = p × m) sa wakas nakuha natin ang m = n, na kung saan ay nais naming ipakita.

Power ari-arian sa isang pagkakapantay-pantay

Tulad ng nauna nang nakita na kung ang isang operasyon tulad ng pagdaragdag, pagpaparami, pagbabawas o paghahati ay ginagawa sa parehong mga tuntunin ng isang pagkakapantay-pantay, napapanatili ito, sa parehong paraan ng iba pang mga operasyon na hindi nagbabago ng isang pagkakapantay-pantay ay maaaring mailapat.

Ang susi ay palaging isagawa ito sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay at tiyaking maaga na maaaring maisagawa ang operasyon. Ganito ang kaso ng empowerment; iyon ay, kung ang magkabilang panig ng isang equation ay itataas sa parehong lakas, mayroon pa rin tayong pagkakapantay-pantay.

Halimbawa, mula noong 3 = 3, kaya 3 ² = 3 ² (9 = 9). Sa pangkalahatan, binigyan ng isang integer "n", kung x = y, pagkatapos x ⁿ = y ⁿ .

Ang pag-aari ng Root sa isang pagkakapantay-pantay

Ito ay isang partikular na kaso ng empowerment at inilalapat kapag ang kapangyarihan ay isang di-integer na nakapangangatwiran na numero, tulad ng ½, na kumakatawan sa square root. Sinasabi ng ari-arian na ito na kung ang parehong ugat ay inilalapat sa magkabilang panig ng isang pagkakapantay-pantay (hangga't maaari), ang pagkakapantay-pantay ay napanatili.

Hindi tulad ng nakaraang kaso, narito dapat na mag-ingat ka sa pagkakapareho ng ugat na mailalapat, dahil kilalang-kilala na ang kahit na ugat ng isang negatibong numero ay hindi mahusay na tinukoy.

Sa kaso na ang radikal ay kahit na, walang problema. Halimbawa, kung ang x ³ = -8, kahit na ito ay pagkakapantay-pantay, hindi ka maaaring mag-aplay ng isang parisukat na ugat sa magkabilang panig, halimbawa. Gayunpaman, kung maaari kang mag-aplay ng isang cube root (na kung saan ay mas maginhawa kung nais mong malinaw na malaman ang halaga ng x), sa gayon makuha ang x = -2.

Mga Sanggunian

1. Aylwin, CU (2011). Logic, Sets at Numero. Mérida - Venezuela: Konseho ng Publikasyon, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Math 1 SEP. Threshold.
3. Lira, ML (1994). Simon at matematika: teksto sa matematika para sa ikalawang baitang: libro ng mag-aaral. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Ika-3 Kurso sa Matematika. Editoryal na Progreso.
5. Segovia, BR (2012). Mga aktibidad at laro sa matematika kasama sina Miguel at Lucía. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Ika-2 Kurso sa Matematika. Editoryal na Progreso.