MGA PUNTOS NG COPLANAR: EQUATION, HALIMBAWA AT MALULUTAS NA EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga puntos ng coplanar ay kabilang sa parehong eroplano. Ang dalawang puntos ay palaging may kinalaman, dahil ang mga puntong ito ay nagpapahiwatig ng isang linya kung saan ang mga walang hangganang eroplano ay pumasa. Pagkatapos, ang parehong mga puntos ay nabibilang sa bawat isa sa mga eroplano na dumadaan sa linya at samakatuwid, palagi silang magiging coplanar.

Sa kabilang banda, ang tatlong puntos ay tumutukoy sa isang solong eroplano, kung saan sinusundan nito na ang tatlong puntos ay palaging magiging coplanar sa eroplano na kanilang tinutukoy.

Larawan 1. A, B, C at D ay coplanar sa (Ω) na eroplano. E, F at G ay hindi coplanar sa (Ω) ngunit sila ay coplanar sa eroplano na kanilang tinukoy. Pinagmulan: F. Zapata.

Mahigit sa tatlong puntos ang maaaring maging coplanar o hindi. Halimbawa sa figure 1, puntos A, B, C at D ay coplanar sa eroplano (Ω). Ngunit E, F at G ay hindi coplanar sa (Ω), kahit na sila ay coplanar sa eroplano na kanilang tinukoy.

Pagkapareho ng isang eroplano na binigyan ng tatlong puntos

Ang equation ng isang eroplano na tinutukoy ng tatlong kilalang puntos A, B, C ay isang kaugnay na matematika na ginagarantiyahan na ang anumang punto P na may generic coordinates (x, y, z) na tumutupad sa ekwasyon ay kabilang sa nasabing eroplano.

Ang naunang pahayag ay katumbas ng pagsasabi na kung ang P ng mga coordinate (x, y, z) ay tinutupad ang equation ng eroplano, kung gayon ang sinabi na point ay magiging coplanar kasama ang tatlong puntos A, B, C na tinukoy ang eroplano.

Upang mahanap ang equation ng eroplano na ito, simulan natin sa pamamagitan ng paghahanap ng mga vectors AB at AC :

AB =

AC =

Ang produkto ng vector na AB X AC ay nagreresulta sa isang vector na patayo o normal sa eroplano na tinukoy ng mga puntos A, B, C.

Ang anumang point P na may mga coordinate (x, y, z) ay kabilang sa eroplano kung ang vector AP ay patayo sa vector AB X AC , na ginagarantiyahan kung:

AP • (AB X AC) = 0

Katumbas ito sa pagsasabi na ang triple produkto ng AP , AB, at AC ay zero. Ang equation sa itaas ay maaaring isulat sa form ng matrix:

Halimbawa

Hayaan ang mga puntos A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) at D (a, 0, 1). Anong halaga ang dapat na magkaroon ng apat na puntos upang maging coplanar?

Solusyon

Upang malaman ang halaga ng isang, point D ay dapat na bahagi ng eroplano na tinukoy ng A, B at C, na ginagarantiyahan kung nasiyahan ito sa equation ng eroplano.

Ang pagbuo ng determinant na mayroon tayo:

Ang nakaraang equation ay nagsasabi sa amin na isang = -1 para sa pagkakapantay-pantay na matutupad. Sa madaling salita, ang tanging paraan na point D (a, 0,1) ay coplanar na may mga punto A, B at C ay para sa isang -1. Kung hindi man ay hindi ito magiging coplanar.

Malutas na ehersisyo

- Ehersisyo 1

Ang isang eroplano ay tumutukoy sa Cartesian axes X, Y, Z sa 1, 2, at 3 ayon sa pagkakabanggit. Ang intersection ng eroplano na ito kasama ang mga axes ay tumutukoy sa mga puntos A, B at C. Hanapin ang bahagi Dz ng isang punto D, na ang mga bahagi ng Cartesian ay:

Ibinigay na ang D ay coplanar sa mga puntos A, B at C.

Solusyon

Kapag ang mga intercepts ng isang eroplano na may Cartesian axes ay kilala, ang segmental form ng equation ng eroplano ay maaaring magamit:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Dahil ang point D ay dapat na kabilang sa nakaraang eroplano, kailangang:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Na ibig sabihin:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Mula sa itaas nasusunod ang puntong iyon D (3, -2, -3) ay coplanar na may mga puntos A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) at C (0, 0, 3).

- Ehersisyo 2

Alamin kung ang mga puntos A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) at D (2, 3, 1) ay coplanar.

Solusyon

Bumubuo kami ng matris na ang mga hilera ay ang mga coordinate ng DA, BA, at CA. Pagkatapos ang determinant ay kinakalkula at napatunayan kung zero o hindi.

Matapos maisagawa ang lahat ng mga kalkulasyon, napagpasyahan na sila ay coplanar.

- Ehersisyo 3

Mayroong dalawang linya sa espasyo. Ang isa sa kanila ay ang linya (R) na ang equation na parametric ay:

At ang iba pa ay ang linya (S) na ang equation ay:

Ipakita na ang (R) at (S) ay mga linya ng coplanar, iyon ay, nagsisinungaling sila sa parehong eroplano.

Solusyon

Magsimula tayo sa pamamagitan ng hindi sinasadyang pagkuha ng dalawang puntos sa linya (R) at dalawa sa linya (S):

Linya (R): λ = 0; A (1, 1, 1) at λ = 1; B (3, 0, 1)

Hayaan ang x = 0 sa linya (S) => y = ½; C (0, ½, -1). At sa kabilang banda, kung gumawa tayo ng y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Iyon ay, kinuha namin ang mga puntos na A at B na kabilang sa linya (R) at ang mga puntos C at D na kabilang sa linya (S). Kung ang mga puntong iyon ay coplanar, kung gayon ang dalawang linya ay magiging.

Ngayon pipiliin namin ang point A bilang pivot at pagkatapos ay nakita namin ang mga coordinate ng mga vectors AB , AC at AD. Sa ganitong paraan makakakuha ka:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Ang susunod na hakbang ay upang mabuo at makalkula ang determinant na ang unang hilera ay ang mga koepisyent ng vector AB , ang pangalawang hilera ay ang mga AC at ang pangatlong hilera ng mga vector AD :

Dahil ang determinant ay lumiliko na walang bisa, kung gayon maaari nating tapusin na ang apat na puntos ay coplanar. Bilang karagdagan, maaari itong ipahiwatig na ang mga linya (R) at (S) ay coplanar din.

- Ehersisyo 4

Ang mga linya (R) at (S) ay coplanar, tulad ng ipinakita sa Ehersisyo 3. Hanapin ang equation ng eroplano na naglalaman ng mga ito.

Solusyon

Ang mga Punto A, B, C ay ganap na tukuyin ang eroplano na iyon, ngunit nais naming ipataw na ang anumang punto X ng mga coordinate (x, y, z) ay kabilang dito.

Para sa X na kabilang sa eroplano na tinukoy ng A, B, C at kung saan nakapaloob ang mga linya (R) at (S), kinakailangan na ang determinant na nabuo sa unang hilera ng mga sangkap ng AX , sa pangalawang hilera ng mga AB at sa pangatlo ng mga AC :

Kasunod ng resulta na ito, pangkat namin sa ganitong paraan:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

At agad mong nakita na maaari itong maisulat muli tulad nito:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Samakatuwid ang x + 2y - z = 2 ay ang equation ng eroplano na naglalaman ng mga linya (R) at (S).

Mga Sanggunian

1. Fleming, W. 1989. Matematika ng Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Linear Algebra. Edukasyon sa Pearson.
3. Leal, JM 2005. Flat Analytical Geometry. Mérida - Venezuela: Editoryal na Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Mga Vector. Nabawi mula sa: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Paunang pagkalkula. Edukasyon sa Pearson.
6. Prenowitz, W. 2012. Pangunahing Konsepto ng Geometry. Rowman at Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Edukasyon sa Pearson.