PANUNTUNAN NI SIMPSON: PORMULA, PATUNAY, HALIMBAWA, PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang panuntunan ng Simpson ay isang paraan para sa pagkalkula, humigit-kumulang, tiyak na mga integral. Ito ay batay sa paghati sa pagitan ng pagsasama sa isang kahit na bilang ng pantay na spaced sub-agwat.

Ang matinding halaga ng dalawang magkakasunod na mga sub-agwat ay tumutukoy sa tatlong puntos, kung saan umaangkop ang isang parabola, na ang equation ay isang pangalawang degree na polynomial.

Larawan 1. Sa pamamaraan ni Simpson, ang pagsasama ng pagitan ay nahahati sa isang bilang ng mga agwat ng pantay na lapad. Ang pag-andar ay tinatayang isang parabola sa bawat 2 mga sub-agwat at ang integral ay tinatayang sa kabuuan ng lugar sa ilalim ng parabolas. Pinagmulan: upv.es.

Kung gayon ang lugar sa ilalim ng curve ng pag-andar sa dalawang magkakasunod na agwat ay tinatayang sa pamamagitan ng lugar ng interporning polynomial. Pagdaragdag ng kontribusyon sa lugar sa ilalim ng parabola ng lahat ng sunud-sunod na mga sub-agwat, mayroon kaming tinatayang halaga ng integral.

Sa kabilang banda, dahil ang integral ng isang parabola ay maaaring kalkulahin nang eksakto sa algebraically, kung gayon posible na makahanap ng isang analytic formula para sa tinatayang halaga ng tiyak na integral. Kilala ito bilang formula Simpson.

Ang pagkakamali ng tinatayang resulta sa gayon nakuha nakuha ay bumababa habang ang bilang ng mga subdibisyon n ay mas malaki (kung saan n ay isang pantay na numero).

Ibibigay ang isang expression sa ibaba na nagbibigay-daan sa pagtantya sa itaas na hangganan ng pagkakamali ng pagkilala sa integral na I, kapag ang isang pagkahati ng n regular na subintervals ng kabuuang agwat ay ginawa.

Pormula

Ang pagitan ng pagsasama ay nahahati sa n subintervals na may pagiging isang integer. Ang lapad ng bawat subdibisyon ay:

h = (b - a) / n

Sa ganitong paraan, ang pagkahati ay ginawa sa pagitan ng agwat:

{X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn}

Kung saan ang X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, …, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Ang pormula na nagbibigay-daan sa tinatayang tiyak na integral I ng tuloy-tuloy, at mas mabuti na makinis, ang pag-andar sa agwat ay:

Demonstrasyon

Upang makakuha ng pormula ni Simpson, sa bawat subinterval ang function f (X) ay tinatayang sa pamamagitan ng isang pangalawang degree na polynomial p (X) (parabola) na dumaan sa tatlong puntos:; at.

Pagkatapos ang integral ng polynomial p (x) ay kinakalkula kung saan tinataya nito ang integral ng function f (X) sa agwat na iyon.

Larawan 2. Graph upang ipakita ang formula ni Simpson. Pinagmulan: F. Zapata.

Mga Coefficient ng interporning polynomial

Ang equation ng parabola p (X) ay may pangkalahatang anyo: p (X) = AX ² + BX + C. Habang ang parabola ay dumaan sa mga puntong Q na ipinapahiwatig ng pula (tingnan ang figure), kung gayon ang mga koepisyentaryo A, B, C ay natutukoy mula sa sumusunod na sistema ng mga equation:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Makikita na ang coefficient C ay natutukoy. Upang matukoy ang koepisyent A nagdaragdag kami ng una at pangatlong equation pagkamit:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Pagkatapos ang halaga ng C ay nahalili at ang A ay na-clear, iniwan:

A = / (2 h ² )

Upang matukoy ang koepisyent B, ang pangatlong equation ay binawi mula sa una at nalutas ang B, nakakakuha:

B = = 2 h.

Sa buod, ang pangalawang degree polynomial p (X) na dumadaan sa mga puntos na Qi, Qi + 1 at Qi + 2 ay may koepisyenteng:

A = / (2 h ² )

B = = 2 h

C = f (Xi + 1)

Pagkalkula ng tinatayang integral sa

Tinatayang pagkalkula ng integral sa

Tulad ng nabanggit na, ang isang pagkahati {X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn} ay ginawa sa kabuuang agwat ng pagsasama sa hakbang h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, kung saan n ay kahit isang numero.

Ang error sa pagtantya

Tandaan na ang pagkakamali ay bumababa sa ika-apat na kapangyarihan ng bilang ng mga subdivision sa agwat. Halimbawa, kung pupunta ka mula sa n subdivision hanggang 2n, pagkatapos ay ang pagkakamali ay nababawasan ng isang kadahilanan 1/16.

Ang pang-itaas na gapos ng error na nakuha sa pamamagitan ng pagkilala ng Simpson ay maaaring makuha mula sa parehong formula na ito, na humahalili sa ika-apat na derivative para sa maximum na halaga ng ika-apat na derivative sa agwat.

Mga Halimbawa ng Nagtrabaho

- Halimbawa 1

Isaalang-alang ang pag-andar f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Hanapin ang tiyak na integral ng function f (X) sa agwat gamit ang pamamaraan ni Simpson na may dalawang subdivision (n = 2).

Solusyon

Kinukuha namin n = 2. Ang mga limitasyon ng pagsasama ay isang = -1 at b = -2, kaya ganito ang pagkahati sa ganito:

X0 = -1; X1 = 0 at X2 = +1.

Samakatuwid, ang pormula ni Simpson ay tumatagal ng sumusunod na form:

Larawan 3. Halimbawa ng pagsasama-sama ayon sa pamamahagi ng Simpson gamit ang software. Pinagmulan: F. Zapata.

Mga Sanggunian

1. Casteleiro, JM 2002. Comprehensive Calculus (Inilustrasyong Edad). Madrid: ESIC Editoryal.
2. UPV. Paraan ni Simpson. Pamantasan ng Polytechnic ng Valencia. Nabawi mula sa: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus Pang-siyam na Edisyon. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Panuntunan ni Simpson. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrange polynomial interporning. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com