POWER SERIES: MGA HALIMBAWA AT PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang serye ng kapangyarihan ay binubuo ng isang pagbubuod ng mga term sa anyo ng mga kapangyarihan ng variable x, o higit sa pangkalahatan, ng xc, kung saan c ay isang pare-pareho ang tunay na numero. Sa pag-uulat ng pagsumite ng isang serye ng mga kapangyarihan ay ipinahayag tulad ng sumusunod:

Kung saan ang mga coefficient a _o , a ₁ , a ₂ … ay mga tunay na numero at nagsisimula ang serye sa n = 0.

Larawan 1. Kahulugan ng isang serye ng kuryente. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang seryeng ito ay nakasentro sa halaga c na palagi, ngunit maaari mong piliin na ang c ay katumbas sa 0, kung saan pinapasimple ng serye ng kuryente na:

Magsisimula ang serye sa isang _o (xc) ⁰ at isang _o x ⁰ ayon sa pagkakabanggit. Ngunit alam natin na:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Samakatuwid isang _o (xc) ⁰ = a _o x ⁰ = a _o (independiyenteng termino)

Ang magandang bagay tungkol sa serye ng kapangyarihan ay ang mga pag-andar ay maipahayag sa kanila at ito ay may maraming mga pakinabang, lalo na kung nais mong magtrabaho sa isang kumplikadong pag-andar.

Kapag ito ang kaso, sa halip na direktang ginagamit ang pag-andar, gamitin ang pagpapalawak ng serye ng kuryente, na maaaring mas madaling makuha, isama, o gumana nang ayon sa bilang.

Siyempre ang lahat ay nakakondisyon sa tagpo ng serye. Ang isang serye ay nagko-convert kapag nagdaragdag ng isang tiyak na malaking bilang ng mga termino ay nagbibigay ng isang nakapirming halaga. At kung nagdagdag kami ng higit pang mga termino, nagpapatuloy kaming makuha ang halagang iyon.

Mga function bilang Power Series

Bilang isang halimbawa ng isang function na ipinahayag bilang isang serye ng kuryente, kunin natin f (x) = e ^x .

Ang pagpapaandar na ito ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng isang serye ng mga kapangyarihan tulad ng sumusunod:

at ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) + …

Saan! = n. (n-1). (n-2). (n-3) … at aabutin ng 0! = 1.

Susubukan naming suriin sa tulong ng isang calculator, na sa katunayan ang serye ay nagkakasabay sa pagpapaandar na ibinigay nang malinaw. Halimbawa magsimula tayo sa pamamagitan ng paggawa ng x = 0.

Alam namin na e ⁰ = 1. Tingnan natin kung ano ang ginagawa ng serye:

at ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

At ngayon subukan natin x = 1. Nagbabalik ang isang calculator na e ¹ = 2.71828, at pagkatapos ay ihambing natin sa serye:

at ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 + … ≈ 2.7167

Sa pamamagitan lamang ng 5 term na mayroon kami ng isang eksaktong tugma sa e 2.71. Ang aming serye ay may kaunti pa upang gawin, ngunit habang ang maraming mga term ay idinagdag, ang serye ay tiyak na nagko-convert sa eksaktong halaga ng e. Ang representasyon ay eksaktong kapag n → ∞.

Kung ang nakaraang pagsusuri ay paulit-ulit para sa n = 2, ang magkatulad na mga resulta ay nakuha.

Sa ganitong paraan sigurado tayo na ang exponential function f (x) = e ^x ay maaaring kinakatawan ng seryeng ito ng mga kapangyarihan:

Larawan 2. Sa animation na ito makikita natin kung paano lumapit ang serye ng kapangyarihan sa pag-andar ng eksponensyong bilang mas maraming mga termino ay nakuha. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Geometric serye ng mga kapangyarihan

Ang function f (x) = e ^x ay hindi lamang pag-andar na sumusuporta sa isang representasyon ng serye ng kuryente. Halimbawa, ang pag-andar f (x) = 1/1 - x ay mukhang maraming katulad ng kilalang tagataguyod na geometric series:

Sapat na gawin ang isang = 1 at r = x upang makakuha ng isang serye na angkop para sa pagpapaandar na ito, na nakasentro sa c = 0:

Gayunpaman, kilala na ang seryeng ito ay nag-uugnay para sa │r│ <1, samakatuwid ang representasyon ay may bisa lamang sa agwat (-1,1), bagaman ang pag-andar ay may bisa para sa lahat ng x, maliban sa x = 1.

Kung nais mong tukuyin ang pagpapaandar na ito sa ibang saklaw, tumutok ka lamang sa isang angkop na halaga at tapos ka na.

Paano mahahanap ang serye ng pagpapalawak ng mga kapangyarihan ng isang function

Ang anumang pag-andar ay maaaring mabuo sa isang serye ng kapangyarihan na nakasentro sa c, hangga't mayroon itong mga derivatives ng lahat ng mga order sa x = c. Ginagamit ng pamamaraan ang sumusunod na teorema, na tinatawag na teorema ng Taylor:

Hayaan ang f (x) ay maging isang function na may derivatives ng order n, na ipinapahiwatig bilang f ⁽ⁿ⁾ , na umaamin sa isang serye ng pagpapalawak ng mga kapangyarihan sa agwat I. Ang kanyang serial development ng Taylor ay:

Kaya na:

Kung saan ang R _n , na kung saan ay ang pang-unang termino ng serye, ay tinatawag na isang natitira:

Kapag c = 0 ang serye ay tinatawag na serye ng Maclaurin.

Ang seryeng ibinigay dito ay magkapareho sa serye na ibinigay sa simula, ngayon lamang mayroon kaming isang paraan upang malinaw na mahanap ang mga koepisyent ng bawat term, na ibinigay ng:

Gayunpaman, dapat nating tiyakin na ang serye ay nagko-convert sa pagpapaandar na kinakatawan. Nangyayari na hindi lahat ng serye ng Taylor ay kinakailangang sumali sa f (x) na nasa isip kapag kinakalkula ang mga koepisyente sa _n .

Nangyayari ito dahil marahil ang mga derivatives ng pag-andar, nasuri sa x = c magkatulad na may parehong halaga ng mga derivatives ng isa pa, din sa x = c. Sa kasong ito ang mga koepisyentidad ay magkapareho, ngunit ang pag-unlad ay magiging hindi maliwanag dahil hindi ito tiyak na gumagana ang naaayon sa.

Sa kabutihang palad mayroong isang paraan upang malaman:

Pag-uuri ng taludtod

Upang maiwasan ang kalabuan, kung ang R _n → 0 as n → ∞ para sa lahat ng x sa agwat ko, ang serye ay nagkokonekta sa f (x).

Mag-ehersisyo

- Natapos ang ehersisyo 1

Hanapin ang serye ng kapangyarihan ng geometriko para sa pagpapaandar f (x) = 1/2 - x nakasentro sa c = 0.

Solusyon

Dapat nating ipahiwatig ang ibinigay na pag-andar sa paraang ito nang magkakasabay nang malapit sa 1 / 1- x, na ang serye ay kilala. Kaya muling isulat ang numerator at denominator, nang hindi binabago ang orihinal na expression:

1/2 - x = (1/2) /

Dahil ang ½ ay pare-pareho, lumalabas ito sa pagbubuod, at nakasulat ito sa mga tuntunin ng bagong variable x / 2:

Tandaan na ang x = 2 ay hindi nabibilang sa domain ng function, at ayon sa criterion ng convergence na ibinigay sa seksyon ng Geometric Power Series, ang pagpapalawak ay may bisa para sa │x / 2│ <1 o katumbas -2 <x <2.

- Malutas ang ehersisyo 2

Hanapin ang unang 5 term ng Maclaurin serye pagpapalawak ng function f (x) = kasalanan x.

Solusyon

Hakbang 1

Una ay ang mga derivatives:

-Deribatibo ng pagkakasunud-sunod 0: ito ay ang parehong pag-andar f (x) = kasalanan x

-Unang turo: (kasalanan x) ´ = kos x

-Suri ng hinango: (kasalanan x) ´´ = (kos x) ´ = - kasalanan x

-Third derivative: (kasalanan x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Pagmulan ng dereksyon: (kasalanan x) ´´´´ = (- cos x) ´ = kasalanan x

Hakbang 2

Kung gayon ang bawat turo ay nasuri sa x = c, tulad ng isang pagpapalawak ng Maclaurin, c = 0:

kasalanan 0 = 0; kos 0 = 1; - kasalanan 0 = 0; -cos 0 = -1; kasalanan 0 = 0

Hakbang 3

Ang mga koepisyentong _{n n ay itinayo} ;

isang _o = 0/0! = 0; isang ₁ = 1/1! = 1; isang ₂ = 0/2! = 0; isang ₃ = -1 / 3 !; isang ₄ = 0/4! = 0

Hakbang 4

Sa wakas ang serye ay natipon ayon sa:

kasalanan x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Kailangan ba ng mga mambabasa ang maraming mga term? Ilan pa, ang serye ay malapit sa pag-andar.

Tandaan na mayroong isang pattern sa mga coefficients, ang susunod na non-zero term ay isang ₅ at ang lahat ng may kakaibang index ay naiiba rin sa 0, alternating ang mga palatandaan, kaya na:

kasalanan x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Ito ay naiwan bilang isang ehersisyo upang suriin na nagko-kombert ito, maaaring magamit ang quotiter criterion para sa tagpo ng serye.

Mga Sanggunian

1. CK-12 Foundation. Power Series: representasyon ng mga pag-andar at operasyon. Nabawi mula sa: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integral Calculus. Pambansang Unibersidad ng Litoral.
3. Larson, R. 2010. Pagkalkula ng isang variable. Ika-9. Edisyon. McGraw Hill.
4. Libreng Teksto ng Matematika. Serye ng lakas. Nabawi mula sa: matematika.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Serye ng lakas. Nabawi mula sa: es.wikipedia.org.