AXIAL SIMETRYA: MGA KATANGIAN, HALIMBAWA AT EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang axial simetrya ay kapag ang mga puntos ng isang pigura ay nag-tutugma sa mga puntos ng isa pang figure sa pamamagitan ng isang tuwid na bisector na tinatawag na axis ng symmetry. Tinatawag din itong radial, rotational, o cylindrical symmetry.

Karaniwang inilalapat ito sa mga geometriko na figure, ngunit madaling makita ang kalikasan, dahil mayroong mga hayop tulad ng butterflies, scorpion, ladybugs o mga tao na nagpapakita ng simetrya ng axial.

Ang simetriko ng axial ay ipinakita sa larawang ito ng Skyline city city at ang pagmuni-muni nito sa tubig. (Pinagmulan: pixabay)

Paano makahanap ng simetriko ng ehe

Upang mahanap ang axial symmetry P 'ng isang point P na may kaugnayan sa isang linya (L), isinasagawa ang sumusunod na geometric na operasyon:

1.- Ang patayo sa linya (L) na dumadaan sa point P.

2.- Ang pagharang ng dalawang linya ay tumutukoy sa isang punto O.

3.- Ang haba ng segment na sinusukat ng PO, kung gayon ang haba na ito ay kinopya sa linya (PO) na nagsisimula mula sa O sa direksyon mula P hanggang O, na tinutukoy ang puntong P '.

4.- Ang point P 'ay ang axial simetriko ng point P na may kinalaman sa axis (L), dahil ang linya (L) ay ang bisector ng segment na PP', na O ang midpoint ng nasabing segment.

Larawan 1. Dalawang puntos na P at P 'ay axi simetriko sa isang axis (L) kung sinabing axis ay isang bisector ng segment na PP'

Mga katangian ng simetrya ng ehe

- Ang simetriko ng simetriko ay isometric, iyon ay, ang mga distansya ng isang geometric figure at ang kaukulang simetrya ay napanatili.

- Ang sukat ng isang anggulo at simetriko nito ay pantay.

- Ang axial simetrya ng isang punto sa axis ng symmetry ay ang puntong mismo.

- Ang simetriko na linya ng isang linya na kahanay sa axis ng symmetry ay isang linya na kahanay din sa sinabi na axis.

- Ang isang lihim na linya sa axis ng simetrya ay bilang isang simetriko na linya ng isa pang lihim na linya na, sa turn, ay intersect ang axis ng symmetry sa parehong punto sa orihinal na linya.

- Ang simetriko na imahe ng isang linya ay isa pang linya na bumubuo ng isang anggulo na may axis ng simetrya ng parehong sukatan tulad ng sa orihinal na linya.

- Ang simetriko na imahe ng isang linya na patayo sa axis ng symmetry ay isa pang linya na nagpapatong sa una.

- Ang isang linya at linya ng axial simetriko nito ay bumubuo ng isang anggulo na ang bisector ay ang axis ng simetrya.

Larawan 2. Ang simetriko ng simetriko ay nagpapanatili ng mga distansya at anggulo.

Mga halimbawa ng simetrya ng ehe

Ang Kalikasan ay nagpapakita ng maraming halimbawa ng simetrya ng ehe. Halimbawa, maaari mong makita ang simetrya ng mga mukha, mga insekto tulad ng mga butterflies, ang pagmuni-muni sa kalmadong mga ibabaw ng tubig at salamin o ang mga dahon ng mga halaman, bukod sa marami pa.

Larawan 3. Ang butterfly na ito ay nagpapakita ng malapit sa perpektong simetriko ng ehe. (Pinagmulan: pixabay)

Larawan 4. Ang mukha ng batang babae na ito ay may simetrya ng ehe. (Pinagmulan: pixabay)

Mga pagsasanay sa simetriko ng simetriko

Ehersisyo 1

Mayroon kaming tatsulok ng mga vertices A, B at C na ang mga coordinate ng Cartesian ay ayon sa pagkakabanggit A = (2, 5), B = (1, 1) at C = (3,3). Hanapin ang mga coordinate ng Cartesian ng simetriko ng tatsulok tungkol sa Y axis (mag-ordinate axis).

Solusyon: Kung ang isang point P ay mayroong mga coordinate (x, y) kung gayon ang simetrya nito tungkol sa ordinate axis (Y axis) ay P '= (- x, y). Sa madaling salita, ang halaga ng abscissa ay nagbabago ng pag-sign, habang ang halaga ng ordinate ay nananatiling pareho.

Sa kasong ito, ang tatsulok na simetriko na may mga vertice A ', B' at C 'ay magkakaroon ng mga coordinate:

Isang '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) at C' = (- 3, 3) gaya ng makikita sa figure 6.

Larawan 6. Kung ang isang punto ay may mga coordinate (x, y), ang simetriko nito na may paggalang sa Y axis (ordinate axis) ay magkakaroon ng mga coordinate (-x, y).

Mag-ehersisyo 2

Gamit ang sanggunian sa tatsulok na ABC at ang symmetric A'B'C 'mula sa ehersisyo 1, suriin na ang mga kaukulang panig ng orihinal na tatsulok at simetriko ay may parehong haba.

Solusyon: Upang mahanap ang distansya o haba ng mga gilid ginagamit namin ang Euclidean distance formula:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (Ni - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Ang haba ng kaukulang simetriko na bahagi A'B 'ay kinakalkula sa ibaba:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Sa ganitong paraan, napatunayan na ang simetrya ng axial na nagpapanatili ng distansya sa pagitan ng dalawang puntos. Ang pamamaraan ay maaaring ulitin para sa iba pang dalawang panig ng tatsulok at simetriko upang suriin ang invariance sa haba. Halimbawa -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Mag-ehersisyo 3

Kaugnay ng tatsulok na ABC at ang symmetric A'B'C 'mula sa Ehersisyo 1, suriin na ang mga kaukulang anggulo ng orihinal na tatsulok at simetriko ay may parehong anggular na panukala.

Solusyon: Upang matukoy ang mga panukala ng mga anggulo ng BAC at B'A'C ', kalkulahin muna natin ang scalar product ng mga vectors AB na may AC at pagkatapos ay ang scalar product ng A'B' na may A'C ' .

Naaalala iyon:

A = (2, 5), B = (1, 1) at C = (3,3)

Isang '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) at C' = (- 3, 3).

Mayroon itong:

AB = <1-2, 1-5> at AC = <3-2, 3-5>

katulad din

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> at AC = <-3 + 2, 3-5>

Pagkatapos ay matatagpuan ang mga sumusunod na produkto ng scalar:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Katulad din

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Ang sukatan ng anggulo BAC ay:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6º

Katulad nito, ang sukatan ng anggulo B'A'C 'ay:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6º

Ang pagtatapos ng axial simetrya ay pinapanatili ang sukatan ng mga anggulo.

Ehersisyo 4

Hayaan ang isang punto P ng mga coordinate (a, b). Hanapin ang mga coordinate ng axial symmetry P 'na may paggalang sa linya y = x.

Solusyon: Tatawagan namin (isang ', b') ang mga coordinate ng simetriko point P 'na may paggalang sa linya y = x. Ang midpoint M ng segment na PP 'ay mayroong mga coordinate ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) at nasa linya y = x, kaya ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay humahawak:

isang + a '= b + b'

Sa kabilang banda, ang segment na PP 'ay may slope -1 dahil ito ay patayo sa linya y = x na may slope 1, kaya ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay humahawak:

b - b '= a' -a

Ang paglutas para sa dalawang nakaraang pagkakapantay-pantay ng isang 'at b' ay napagpasyahan na:

isang '= sa pamamagitan ng b' = a.

Iyon ay, binigyan ng isang punto P (a, b), ang simetrya ng ehe na may paggalang sa linya y = x ay P '(b, a).

Mga Sanggunian

1. Arce M., Blázquez S at iba pa. Pagbabago ng eroplano. Nabawi mula sa: educutmxli.files.wordpress.com
2. Pagkalkula cc. Isang simetriko ng axial. Nabawi mula sa: calculo.cc
3. Superprof. Isang simetriko ng axial. Nabawi mula sa: superprof.es
4. wikipedia. Isang simetriko ng axial. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Circular Symmetry. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com