SISTEMA NG OCTAL: KASAYSAYAN, SISTEMA NG PAG-NUMERO, MGA CONVERSION - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang sistema ng octal ay isang base-walo (8) positional numbering system; iyon ay, binubuo ito ng walong numero, na kung saan ay: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 at 7. Samakatuwid, ang bawat digit ng isang octal number ay maaaring magkaroon ng anumang halaga mula 0 hanggang 7. Ang mga numero ng octal ang mga ito ay nabuo mula sa mga numero ng binary.

Ito ay dahil ang batayan nito ay isang eksaktong lakas ng dalawa (2). Iyon ay, ang mga numero na nabibilang sa octal system ay nabuo kapag sila ay pinagsama-sama sa tatlong magkakasunod na numero, iniutos mula kanan hanggang kaliwa, kaya nakuha ang kanilang desimal na halaga.

Kasaysayan

Ang sistema ng octal ay nagmula sa mga sinaunang panahon, kapag ginamit ng mga tao ang kanilang mga kamay upang mabilang ang mga hayop mula walo hanggang walo.

Halimbawa, upang mabilang ang bilang ng mga baka sa isang matatag, ang isa ay nagsimulang mabilang gamit ang kanang kamay, na sumali sa hinlalaki gamit ang maliit na daliri; Pagkatapos, upang mabilang ang pangalawang hayop, ang hinlalaki ay sumali sa hintuturo, at iba pa sa natitirang mga daliri ng bawat kamay, hanggang sa pagkumpleto ng 8.

May posibilidad na sa mga sinaunang panahon ang sistema ng pag-numero sa octal ay ginamit bago ang desimal upang maibilang ang mga puwang ng interdigital; iyon ay, bilangin ang lahat ng mga daliri maliban sa mga hinlalaki.

Nang maglaon, naitatag ang sistema ng octal numbering, na nagmula sa sistemang binary, dahil nangangailangan ito ng maraming mga numero upang kumatawan lamang ng isang numero; mula noon, ang mga sistema ng octal at heksagonal ay nilikha, na hindi nangangailangan ng napakaraming mga numero at madaling ma-convert sa binary system.

Sistema ng pag-numero ng Octal

Ang sistema ng octal ay binubuo ng walong mga numero mula 0 hanggang 7. Ito ay may parehong halaga tulad ng sa kaso ng desimal system, ngunit ang kanilang kamag-anak na halaga ng pagbabago ay depende sa posisyon na kanilang nasakop. Ang halaga ng bawat posisyon ay ibinibigay ng mga kapangyarihan ng base 8.

Ang mga posisyon ng mga numero sa isang numero ng octal ay may mga sumusunod na timbang:

8 ⁴ , 8 ³ , 8 ² , 8 ¹ , 8 ⁰ , octal point, 8 ^-1 , 8 ^-2 , 8 ^-3 , 8 ^-4 , 8 ^-5 .

Ang pinakamalaking octal digit ay 7; sa gayon, kapag ang pagbibilang sa sistemang ito, ang isang posisyon ng isang digit ay nadagdagan mula 0 hanggang 7. Kapag naabot ang 7, mai-recycle ito sa 0 para sa susunod na bilang; sa ganitong paraan ay nadagdagan ang susunod na posisyon ng digit. Halimbawa, upang mabilang ang mga pagkakasunud-sunod, sa octal system ay magiging:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Mayroong isang pangunahing teorema na inilalapat sa sistema ng octal, at ipinahayag ito sa sumusunod na paraan:

Sa expression na ito ay kumakatawan sa digit na pinarami ng lakas ng base 8, na nagpapahiwatig ng halaga ng lugar ng bawat digit, sa parehong paraan na iniutos sa sistemang desimal.

Halimbawa, mayroon kang bilang na 543.2. Upang dalhin ito sa octal system, masira ito tulad ng mga sumusunod:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0.125)

N = 320 +32 + 2 + 0.25 = 354 + 0.25 _d

Sa gayon, mayroon kaming 543.2 _q = 354.25 _d . Ang subscript q ay nagpapahiwatig na ito ay isang octal na numero na maaari ding kinakatawan ng numero 8; at ang subskripsyon d ay tumutukoy sa numero ng desimal, na maaari ring mailarawan ng numero 10.

Ang pagbabagong loob mula sa octal hanggang sa sistema ng desimal

Upang mai-convert ang isang numero mula sa sistema ng octal hanggang sa katumbas nito sa sistema ng desimal, i-multiplikate lamang ang bawat octal digit sa pamamagitan ng halaga ng lugar nito, simula sa kanan.

Halimbawa 1

732 ₈ = (7 _* 8 ² ) + (3 _* 8 ¹ ) + (2 _* 8 ⁰ ) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Halimbawa 2

26.9 ₈ = (2 _* 8 ¹ ) + (6 _* 8 ⁰ ) + (9 _* 8 ^-1 ) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0.125)

26.9 ₈ = 16 + 6 + 1.125

26.9 ₈ = 23.125 ₁₀

Pagbabago mula sa desimal hanggang sa sistema ng octal

Ang isang perpektong integer ay maaaring ma-convert sa isang numero ng octal gamit ang paulit-ulit na paraan ng dibisyon, kung saan ang decimal integer ay nahahati ng 8 hanggang ang quient ay katumbas ng 0, at ang mga natitira sa bawat dibisyon ay kumakatawan sa oktaryong numero.

Ang mga tira ay iniutos mula huling hanggang una; iyon ay, ang unang natitira ay ang hindi bababa sa makabuluhang digit ng numero ng octal. Sa ganoong paraan, ang pinaka makabuluhang numero ay ang huling natitira.

Halimbawa

Decimal Number Octal 266 ₁₀

- Hatiin ang decimal na numero 266 sa pamamagitan ng 8 = 266/8 = 33 + na naiwan ng 2.

- Pagkatapos ay hatiin ang 33 sa pamamagitan ng 8 = 33/8 = 4 + na nalalabi ng 1.

- Hatiin 4 sa pamamagitan ng 8 = 4/8 = 0 + na naiwan ng 4.

Tulad ng sa huling dibisyon isang quient na mas mababa sa 1 ay nakuha, nangangahulugan ito na ang resulta ay natagpuan; Kailangan mo lamang i-order ang mga natitira sa kabaligtaran, upang ang octal na bilang ng desimal 266 ay 412, tulad ng makikita sa sumusunod na imahe:

Ang pagbabagong loob mula sa octal hanggang sa binary system

Ang pag-convert mula sa octal hanggang sa binary ay ginagawa sa pamamagitan ng pag-convert ng octal digit sa katumbas nitong binary digit, na binubuo ng tatlong numero. May isang talahanayan na nagpapakita kung paano na-convert ang walong posibleng mga numero:

Mula sa mga pagbabagong ito, ang anumang numero ay maaaring mabago mula sa octal system hanggang sa binary, halimbawa, upang mai-convert ang numero 572 ₈ , ang mga katumbas nito ay hinanap sa talahanayan. Kaya, kailangan mong:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Samakatuwid, ang 572 _{8 ay} katumbas sa binary system hanggang 10111110.

Ang pag-convert mula sa binary hanggang octal

Ang proseso ng pag-convert ng mga binuong integers sa mga integer ng octal ay ang reverse ng nakaraang proseso.

Iyon ay, ang mga piraso ng binary number ay pinagsama sa dalawang pangkat ng tatlong bits, simula sa kanan hanggang kaliwa. Pagkatapos, ang pag-convert mula sa binary hanggang octal ay ginagawa gamit ang talahanayan sa itaas.

Sa ilang mga kaso ang binary number ay hindi magkakaroon ng mga pangkat ng 3 bits; upang makumpleto ito, isa o dalawang nol ay idinagdag sa kaliwa ng unang pangkat.

Halimbawa, upang baguhin ang binary number 11010110 sa octal, gawin ang mga sumusunod:

- Ang mga pangkat ng 3 bits ay nabuo simula sa kanan (huling bit):

11010110

- Dahil hindi kumpleto ang unang pangkat, ang isang nangungunang zero ay idinagdag:

011010110

- Ang conversion ay ginawa mula sa talahanayan:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Sa gayon, ang binary number 011010110 ay katumbas ng 326 ₈ .

Ang pag-convert mula sa octal hanggang sa hexadecimal at kabaligtaran

Upang magbago mula sa isang octal number hanggang sa hexadecimal system o mula sa hexadecimal hanggang octal, kinakailangan munang i-convert ang numero sa binary, at pagkatapos ay sa nais na system.

Para sa mga ito, mayroong isang talahanayan kung saan ang bawat hexadecimal digit ay kinakatawan ng katumbas nito sa binary system, na binubuo ng apat na numero.

Sa ilang mga kaso, ang binary number ay hindi magkakaroon ng mga grupo ng 4 bits; upang makumpleto ito, isa o dalawang nol ay idinagdag sa kaliwa ng unang pangkat

Halimbawa

I-convert ang octal number 1646 sa hexadecimal number:

- I-convert ang numero mula sa octal hanggang sa binary

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Kaya, 1646 ₈ = 1110100110.

- Upang mai-convert mula sa binary hanggang hexadecimal, inuutusan muna sila sa isang pangkat ng 4 bits, simula sa kanan hanggang kaliwa:

11 1010 0110

- Ang unang pangkat ay nakumpleto ng mga zero, upang maaari itong magkaroon ng 4 bits:

0011 1010 0110

- Ang pagbabagong loob mula sa binary hanggang hexadecimal ay tapos na. Ang mga katumbas ay nahalili sa pamamagitan ng talahanayan:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Kaya, ang octal number 1646 ay katumbas ng 3A6 sa hexadecimal system.

Mga Sanggunian

1. Bressan, AE (1995). Panimula sa mga sistema ng pag-numero. Argentine University ng Kumpanya.
2. Harris, JN (1957). Pambungad sa Binary at Octal Numbering Systems: Lexington, Mass. Armed Services Technical Information Agency Agency.
3. Kumar, AA (2016). Mga Batayan ng Digital Circuits. Pag-aaral ng Pvt.
4. Peris, XC (2009). Nag-iisang Sistema ng Operative.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Mga digital na sistema: mga prinsipyo at aplikasyon. Edukasyon sa Pearson.