ITAKDA ANG TEORYA: MGA KATANGIAN, ELEMENTO, HALIMBAWA, EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang itinakda na teorya ay isang sangay ng matematiko na lohika-na responsable para sa pag-aaral ng mga ugnayan sa pagitan ng mga entidad na tinatawag na mga set. Ang mga hanay ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagiging mga koleksyon ng mga bagay na magkatulad na katangian. Ang nasabing mga bagay ay ang mga elemento ng set at maaaring: mga numero, titik, geometric figure, mga salita na kumakatawan sa mga bagay, ang mga bagay mismo at iba pa.

Ito ay si Georg Cantor, sa pagtatapos ng ika-19 na siglo, na iminungkahi ang itinakda na teorya. Habang ang iba pang mga kilalang matematiko sa ika-20 siglo ay gumawa ng kanilang pormalisasyon: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel bukod sa iba pa.

Larawan 1. Venn diagram ng mga set A, B at ang kanilang intersection A⋂ B. (Pag-iingat ng sariling).

Ang mga diagram ng Venn ay ang graphical na paraan ng kumakatawan sa isang set, at binubuo ito ng isang saradong figure ng eroplano sa loob kung saan ang mga elemento ng set.

Halimbawa, sa Figure 1 dalawang set A at B ang ipinapakita, na may mga elemento na magkakatulad, ang mga elemento na karaniwang sa A at B. Ang mga ito ay bumubuo ng isang bagong set na tinatawag na set ng intersection ng A at B, na nakasulat sa form sinasagisag tulad ng sumusunod:

A ∩ B

katangian

Ang set ay isang primitive konsepto dahil ito ay sa geometry ang konsepto ng point, line o eroplano. Walang mas mahusay na paraan upang maipahayag ang konsepto kaysa sa pamamagitan ng pagturo ng mga halimbawa:

Itakda ang E na nabuo ng mga kulay ng bandila ng Espanya. Ang ganitong paraan ng pagpapahayag ng set ay tinatawag sa pamamagitan ng pag-unawa. Ang parehong hanay E na isinulat ng extension ay:

E = {pula, dilaw}

Sa kasong ito, ang pula at dilaw ay mga elemento ng set E. Dapat pansinin na ang mga elemento ay nakalista sa mga tirante at hindi paulit-ulit. Sa kaso ng watawat ng Espanya, mayroong tatlong kulay na guhitan (pula, dilaw, pula), dalawa ang paulit-ulit, ngunit ang mga elemento ay hindi paulit-ulit kapag ang kabuuan ay ipinahayag.

Ipagpalagay na ang set V na nabuo ng unang tatlong titik ng patinig:

V = {a, e, i}

Ang set ng kapangyarihan ng V, na tinukoy ng P (V) ay ang hanay ng lahat ng mga hanay na maaaring mabuo kasama ang mga elemento ng V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e,}

Mga uri ng mga set

Tapos na ang set

Ito ay isang hanay kung saan ang mga elemento nito ay mabibilang. Ang mga halimbawa ng mga hangganan na hanay ay ang mga titik ng alpabetong Espanyol, ang mga bokales ng Espanyol, ang mga planeta ng sistemang Solar, bukod sa iba pa. Ang bilang ng mga elemento sa isang may hangganang hanay ay tinatawag na kardinalidad nito.

Walang limitasyong hanay

Ang isang walang katapusang hanay ay nauunawaan na ang lahat ng bilang ng mga elemento nito ay hindi mabilang, dahil gaano man kalaki ang bilang ng mga elemento nito, laging posible na makahanap ng mas maraming mga elemento.

Ang isang halimbawa ng isang walang hanggan na hanay ay ang hanay ng mga likas na numero N, na sa malawak na anyo ay ipinahayag tulad ng sumusunod:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Malinaw na isang walang katapusang hanay, yamang kahit gaano kalaki ang isang likas na bilang, ang susunod na pinakamalaking ay palaging matatagpuan, sa isang walang katapusang proseso. Malinaw ang kardinalidad ng isang walang katapusang hanay ay ∞.

Walang laman ang set

Ito ang set na hindi naglalaman ng anumang elemento. Ang walang laman na set V ay minarkahan ng Ø o sa pamamagitan ng isang pares ng mga susi na walang mga elemento sa loob:

V = {} = Ø.

Ang walang laman na hanay ay natatangi, samakatuwid dapat itong hindi tama na sabihin na "isang walang laman na hanay", ang tamang form ay sasabihin "ang walang laman na set".

Kabilang sa mga katangian ng walang laman na hanay mayroon kami na ito ay isang subset ng anumang set:

Ø ⊂ A

Bukod dito, kung ang isang set ay isang subset ng walang laman na set, pagkatapos ay dapat sabihin na ang set ay ang vacuum:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Unitary set

Ang isang yunit ng yunit ay anumang hanay na naglalaman ng isang elemento. Halimbawa, ang hanay ng mga natural na satellite ng Earth ay isang unitary set, na ang tanging elemento ay ang Buwan. Ang set B ng mga integer ay mas mababa sa 2 at mas malaki kaysa sa zero ay mayroon lamang elemento 1, samakatuwid ito ay isang set ng yunit.

Binary set

Binubuo ang isang hanay kung mayroon lamang itong dalawang elemento. Halimbawa ang set X, tulad na ang x ay isang tunay na bilang ng solusyon ng x ^ 2 = 2. Ang set na ito ng extension ay nakasulat na tulad nito:

X = {-√2, + √2}

Universal set

Ang unibersal na hanay ay isang hanay na naglalaman ng iba pang mga hanay ng parehong uri o kalikasan. Halimbawa, ang unibersal na hanay ng mga likas na numero ay ang hanay ng mga tunay na numero. Ngunit ang tunay na mga numero ay isang unibersal na hanay din ng buong mga numero at ang mga nakapangangatwiran na mga numero.

Mga pangunahing bagay

- Pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga set

Sa mga asembliya, ang iba't ibang uri ng relasyon ay maaaring maitatag sa pagitan nila at ng kanilang mga elemento. Kung ang dalawang set A at B ay may eksaktong magkatulad na mga elemento sa pagitan nila, ang isang pagkakapantay-pantay na relasyon ay itinatag, na sinasabing sumusunod:

A = B

Kung ang lahat ng mga elemento ng isang set A ay kabilang sa isang set B, ngunit hindi lahat ng mga elemento ng B ay nabibilang sa A, kung gayon sa pagitan ng mga hanay na ito ay may kaugnayan sa pagsasama na ipinapahiwatig tulad nito:

A ⊂ B, ngunit B ⊄ A

Ang nabanggit na expression ay binabasa: Ang A ay isang subset ng B, ngunit ang B ay hindi isang subset ng A.

Upang ipahiwatig na ang ilang elemento o elemento ay kabilang sa isang set, ang simbolo ng pagiging kasapi ay ginagamit, halimbawa upang sabihin na ang x elemento o elemento ay kabilang sa set A ay nakasulat na simbolikong katulad nito:

x ∈ A

Kung ang isang elemento ay hindi kabilang sa set A, ang kaugnay na ito ay nakasulat na tulad nito:

at ∉ A

Ang ugnayan ng pagiging kasapi ay umiiral sa pagitan ng mga elemento ng isang set at set, na may nag-iisang pagbubukod ng set ng kuryente, ang power set ay ang koleksyon o hanay ng lahat ng posibleng mga set na maaaring mabuo kasama ang mga elemento ng nasabing set.

Ipagpalagay na V = {a, e, i}, ang set ng kuryente nito ay P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, sa kasong ito ang set V ay nagiging isang elemento ng set P (V) at maaaring isulat:

V ∈ P (V)

- Mga Katangian ng pagsasama

Ang unang pag-aari ng pagsasama ay nagpapatunay na ang bawat hanay ay nakapaloob sa sarili, o sa madaling salita, na ito ay isang subset ng kanyang sarili:

A ⊂ A

Ang iba pang pag-aari ng pagsasama ay ang transitivity: kung ang A ay isang subset ng B at B naman ay isang subset ng C, kung gayon ang A ay isang subset ng C. Sa simbolikong anyo, ang kaugnayan ng transitivity ay nakasulat tulad ng sumusunod:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Nasa ibaba ang diagram ng Venn na naaayon sa transitivity ng pagsasama:

Larawan 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Mga operasyon sa pagitan ng mga set

Interseksyon

Ang intersection ay isang operasyon sa pagitan ng dalawang hanay na nagbibigay ng isang bagong hanay na kabilang sa parehong unibersal na hanay bilang unang dalawa. Sa kahulugan na iyon, ito ay isang saradong operasyon.

Symbolically ang operasyon ng intersection ay nabalangkas tulad nito:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Ang isang halimbawa ay ang sumusunod: ang set A ng mga titik ng salitang "elemento" at ang hanay ng B ng mga titik ng salitang "paulit-ulit", ang interseksyon sa pagitan ng A at B ay nakasulat na tulad nito:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Ang unibersal na hanay U ng A, ng B at din ng A⋂B ay ang hanay ng mga titik ng alpabetong Espanyol.

Unyon

Ang unyon ng dalawang hanay ay ang hanay na nabuo ng mga elemento na karaniwang sa dalawang hanay at ang hindi pangkaraniwang mga elemento ng dalawang set. Ang operasyon ng unyon sa pagitan ng mga set ay ipinahayag nang simbolikong katulad nito:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Pagkakaiba

Ang pagkakaiba-iba ng operasyon ng set A minus set B ay minarkahan ng AB. Ang AB ay isang bagong set na nabuo ng lahat ng mga elemento na nasa A at hindi kabilang sa B. Simbolohikal na ito ay nakasulat na tulad nito:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Larawan 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Ang pagkakaiba sa simetriko

Ang pagkakaiba sa simetriko ay isang operasyon sa pagitan ng dalawang hanay kung saan ang nagresultang hanay ay binubuo ng mga elemento na hindi karaniwan sa dalawang hanay. Ang pagkakaiba sa simetriko ay simbolikong kinakatawan tulad nito:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Ang diagram ng Venn ay isang graphical na paraan ng kumakatawan sa mga set. Halimbawa, ang hanay C ng mga titik sa set ng salita ay kinakatawan tulad nito:

Halimbawa 2

Ipinakita sa ibaba ng diagram ng Venn na ang hanay ng mga patinig sa salitang "set" ay isang subset ng hanay ng mga titik sa salitang "set".

Halimbawa 3

Ang hanay Ñ ng mga titik ng mga Espanyol alpabeto ay isang may hangganan set, set na ito sa pamamagitan ng extension ay nakasulat na tulad nito:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} at ang kardinalidad nito ay 27.

Halimbawa 4

Ang set V ng mga patinig sa Espanyol ay isang subset ng set Ñ:

Ang V ⊂ Ñ samakatuwid ay isang takdang hanay.

Ang hangganan na set V sa malawak na anyo ay nakasulat na tulad nito: V = {a, e, i, o, u} at ang kardinalidad nito ay 5.

Halimbawa 5

Ibinigay ang mga set A = {2, 4, 6, 8} at B = {1, 2, 4, 7, 9}, matukoy ang AB at BA.

A - B ang mga elemento ng A na wala sa B:

A - B = {6, 8}

B - A ang mga elemento ng B na wala sa A:

B - A = {1, 7, 9}

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Sumulat sa simbolikong anyo at sa pamamagitan din ng pagpapalawak ng set P ng mga natural na numero na mas mababa sa 10.

Solusyon: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Mag-ehersisyo 2

Ipagpalagay na ang set A na nabuo ng mga likas na numero na mga kadahilanan ng 210, at ang set B na nabuo ng mga pangunahing likas na numero na mas mababa sa 9. Alamin sa pamamagitan ng pagpapalawak ng parehong mga hanay at itatag kung ano ang kaugnayan doon sa pagitan ng dalawang set.

Solusyon: Upang matukoy ang mga elemento ng set A, dapat nating simulan sa pamamagitan ng paghahanap ng mga kadahilanan ng natural na numero 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Pagkatapos ang nakasulat na A ay nakasulat:

A = {2, 3, 5, 7}

Isinasaalang-alang namin ngayon ang set B, na kung saan ang mga primes na mas mababa sa 9. 1 ay hindi kalakasan dahil hindi nito natutugunan ang kahulugan ng prime: "ang isang numero ay pangunahin kung at kung mayroon lamang eksaktong dalawang divisors, 1 at ang bilang mismo." Ang 2 ay kahit na at sa parehong oras na ito ay kalakasan dahil natutupad nito ang kahulugan ng isang punong-guro, ang iba pang mga prima na mas mababa sa 9 ay 3, 5 at 7. Kaya ang set B ay:

B = {2, 3, 5, 7}

Samakatuwid ang dalawang hanay ay pantay-pantay: A = B.

Mag-ehersisyo 3

Alamin ang set na ang mga elemento ng x ay naiiba sa x.

Solusyon: C = {x / x ≠ x}

Dahil ang bawat elemento, bilang o bagay ay pantay sa sarili, ang set C ay hindi maaaring iba kaysa sa walang laman na hanay:

C = Ø

Ehersisyo 4

Hayaan ang hanay ng N ng mga likas na numero at Z ang hanay ng mga integer. Alamin ang N ⋂ Z at N ∪ Z.

Solusyon:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z dahil N ⊂ Z.

Mga Sanggunian

1. Garo, M. (2014). Matematika: quadratic equation: Paano malulutas ang isang kuwadradong equation. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematika para sa pamamahala at ekonomiya. Edukasyon sa Pearson.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Threshold.
4. Preciado, CT (2005). Ika-3 Kurso sa Matematika. Editoryal na Progreso.
5. Matematika 10 (2018). "Mga halimbawa ng mga Takdang Sets". Nabawi mula sa: matematicas10.net
6. Wikipedia. Set theory. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com