BAYES TEOREMA: PALIWANAG, APLIKASYON, EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang Bayes Theorem ay isang pamamaraan na nagbibigay-daan sa amin upang maipahayag ang kondisyon na posibilidad ng isang random na kaganapan A naibigay na B, sa mga tuntunin ng probabilidad na pamamahagi ng kaganapan A at B mula sa probabilidad na pamamahagi lamang ng A.

Ang teorema na ito ay napaka-kapaki-pakinabang, dahil salamat dito maaari naming maiugnay ang posibilidad na ang isang kaganapan A ay nangyayari na alam na naganap ang B, na may posibilidad na ang kabaligtaran ay nangyayari, iyon ay, na ang B ay nangyayari na ibinigay A.

Ang teorem ng Bayes ay isang panukalang pilak ng Reverend Thomas Bayes, isang teologo ng ika-18 siglo na isang matematiko. Siya ang may-akda ng maraming mga gawa sa teolohiya, ngunit ngayon siya ay kilala para sa isang pares ng matematika na treatises, na kung saan ang nabanggit na Bayes Theorem ay nakatayo bilang pangunahing resulta.

Inaksyunan ni Bayes ang teorema na ito sa isang papel na pinamagatang "Isang Sanaysay tungo sa paglutas ng isang Suliranin sa Doktrina ng mga Pagkakataon", na inilathala noong 1763, at kung saan ang mga napakaraming bilang ay binuo. mga pag-aaral na may mga aplikasyon sa iba't ibang mga lugar ng kaalaman.

Pagpapaliwanag

Una, para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa teorema na ito, ang ilang pangunahing mga kuru-kuro ng probabilidad na teorya ay kinakailangan, lalo na ang pagpaparami teorama para sa posibilidad na may kondisyon, na nagsasaad na

Para sa E at Isang di-makatwirang mga kaganapan ng isang sample space S.

At ang kahulugan ng mga partisyon, na nagsasabi sa amin na kung mayroon kaming A ₁ , A ₂ , …, A _{n mga} kaganapan ng isang sample space S, bubuo sila ng isang pagkahati ng S, kung ang A _i ay magkatulad na eksklusibo at ang kanilang unyon ay S.

Dahil dito, hayaan ang B maging isa pang kaganapan. Kaya makikita natin ang B bilang

Kung saan ang isang _i intersected sa B ay kapwa eksklusibong mga kaganapan.

At sa kahihinatnan,

Pagkatapos, inilalapat ang teorem ng pagpaparami

Sa kabilang banda, ang kondisyong posibilidad ng Ai na ibinigay B ay tinukoy ng

Substituting naaangkop na mayroon kami para sa anumang i

Aplikasyon ng Bayes 'Theorem

Salamat sa resulta na ito, ang mga pangkat ng pananaliksik at iba't ibang mga korporasyon ay pinamamahalaang upang mapagbuti ang mga system na batay sa kaalaman.

Halimbawa, sa pag-aaral ng mga sakit, ang teorema ng Bayes 'ay makakatulong upang makilala ang posibilidad na ang isang sakit ay matatagpuan sa isang pangkat ng mga taong may isang katangian, na kinukuha bilang data ang pandaigdigang mga rate ng sakit at ang namamayani ng mga nasabing katangian sa kapwa malusog at may sakit.

Sa kabilang banda, sa mundo ng mataas na teknolohiya, naimpluwensyahan nito ang mga malalaking kumpanya na umunlad, salamat sa resulta na ito, ang software na "Kaalaman-Batay".

Bilang pang-araw-araw na halimbawa mayroon kaming katulong sa Opisina ng Microsoft. Ang teorem ng Bayes ay tumutulong sa software upang masuri ang mga problema na ipinakita ng gumagamit at matukoy kung anong payo ang ibigay sa kanya at sa gayon ay makapag-alok ng isang mas mahusay na serbisyo ayon sa mga gawi ng gumagamit.

Kapansin-pansin, ang pormula na ito ay hindi pinansin hanggang sa mga kamakailan-lamang na oras, ito ay higit sa lahat dahil nang ang resulta na ito ay binuo 200 taon na ang nakalilipas, walang gaanong praktikal na paggamit para sa kanila. Gayunpaman, sa ating panahon, salamat sa mahusay na pagsulong ng teknolohiya, ang mga siyentipiko ay nakahanap ng mga paraan upang maisagawa ang resulta na ito.

Mga Malutas na Pagsasanay

Ehersisyo 1

Ang isang kumpanya ng cell phone ay may dalawang machine A at B. 54% ng mga cell phone na ginawa ay ginawa ng machine A at ang natitira sa pamamagitan ng machine B. Hindi lahat ng mga cell phone na ginawa ay nasa mabuting kalagayan.

Ang proporsyon ng mga sira na cell phone na ginawa ng A ay 0.2 at sa pamamagitan ng B ay 0.5. Ano ang posibilidad na ang isang cell phone mula sa pabrika ay may depekto? Ano ang posibilidad na, alam na ang isang cell phone ay may depekto, nagmula ito sa machine A?

Solusyon

Dito, mayroon kang isang eksperimento na ginagawa sa dalawang bahagi; sa unang bahagi naganap ang mga kaganapan:

A: cell na gawa ng machine A.

B: cell na gawa ng machine B.

Dahil ang makina A ay gumagawa ng 54% ng mga cell phone at ang natitira ay ginawa ng machine B, sumusunod ito na ang makina B ay gumagawa ng 46% ng mga cell phone. Ang mga posibilidad ng mga kaganapang ito ay ibinigay, lalo na:

P (A) = 0.54.

P (B) = 0.46.

Ang mga kaganapan sa ikalawang bahagi ng eksperimento ay:

D: may sira na cell phone.

E: di-depektibong cell phone.

Tulad ng nakasaad sa pahayag, ang mga posibilidad ng mga kaganapang ito ay nakasalalay sa resulta na nakuha sa unang bahagi:

P (DA) = 0.2.

P (DB) = 0.5.

Gamit ang mga halagang ito, ang mga posibilidad ng mga pandagdag sa mga kaganapang ito ay maaari ring matukoy, iyon ay:

P (EA) = 1 - P (DA)

= 1 - 0.2

= 0.8

at

p (EB) = 1 - P (DB)

= 1 - 0.5

= 0.5.

Ngayon ang kaganapan D ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

Gamit ang Multiplication Theorem para sa mga resulta ng posibilidad ng posibilidad:

Kung saan nasasagot ang unang tanong.

Ngayon kailangan lamang nating makalkula ang P (AD), kung saan inilalapat ang Bayes Theorem:

Salamat sa teorema ng Bayes, maipapahayag na ang posibilidad na ang isang cell phone ay ginawa ng machine A, alam na may sira ang cell phone, ay 0.319.

Mag-ehersisyo 2

Ang tatlong kahon ay naglalaman ng itim at puting bola. Ang komposisyon ng bawat isa sa kanila ay ang mga sumusunod: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

Ang isa sa mga kahon ay pinili nang random at ang isang bola ay iguguhit nang random na nagiging puti. Ano ang kahon na malamang na napili?

Solusyon

Gamit ang U1, U2 at U3, kakatawan din namin ang napiling kahon.

Ang mga kaganapang ito ay bumubuo ng isang pagkahati ng S at napatunayan na ang P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 mula nang random ang pagpili ng kahon.

Kung B = {ang iginuhit na bola ay puti), magkakaroon tayo ng P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.

Ang nais nating makuha ay ang posibilidad na ang bola ay kinuha sa labas ng kahon ng Ui alam na sinabi na ang bola ay puti, iyon ay, P (Ui -B), at tingnan kung alin sa tatlong mga halaga ang pinakamataas na malaman kung aling ang kahon ay malamang na ang pagkuha ng cue ball.

Paglalapat ng teorema ng Bayes sa una sa mga kahon:

At para sa iba pang dalawa:

P (U2-B) = 2/6 at P (U3-B) = 1/6.

Pagkatapos, ang una sa mga kahon ay ang isa na may pinakamataas na posibilidad na napili para sa pagkuha ng cue ball.

Mga Sanggunian

1. Kai Lai Chung. Mga Teoryang Kakayahang Pang-Elemento sa Mga Proseso ng Stochastic. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosenado. Discrete Matematika at ang mga Aplikasyon nito. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Mga Aplikasyon sa Posible at Statistics. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Malutas ang mga problema ng Discrete Mathematics. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Mga Suliranin sa Teorya at Posible. McGRAW-HILL.